Chuyên đề Số chính phương

1. Định nghĩa: Số nguyên A được gọi là số chính phương Û ( )2A a a Z= Î 2. Một số tính chất áp dụng khi giải toán: ( ), 1A B = và AB là số chính phương thì ,A B là số chính phương. Số chính phương tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9. Nếu A là số chính phương thì : ( )1 mod8 A º nếu +Còn 1 số tính chất về số dư khi chia cho 5,6 ,7… các bạn có thể tự suy ra bằng cách đặt số ban đầu là nk+q (Ví dụ 5k+1,5k+2,5k+3…). Số chính phương không tận cùng bằng 2 số lẻ. 3.Một số cách nhận biết số không chính phương: A p và 2A p/ (p là số nguyên tố) 2B A< < 2( 1)B + với B ZÎ A có chữ số tận cùng là 2,3 ,7 ,8. 4.Một số điều cần lưu ý: >>>Khi giải các bài toán về số chính phương ta có thể áp dụng phương pháp môđun, nghĩa là xét số dư của các số chính phương khi chia cho 1 số nguyên nào đó. Ta xét ví dụ sau: Tìm k để 24 3k a+ = . Giả sử 24 3k a+ = Þ 2a 3º (mod 4) (1) lại có nếu a là số chính phương thì A 0,1(mod 4)º (2) Từ (1) và (2) Þ vô lý Vậy không k$ để 4 3k + là số chính phương. >>> Số chính phương có thể dùng để giải toán về phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ:Tìm *a NÎ để phương trình sau có nghiệm nguyên: 2 2ax-3a=0x + Xét ' 2 3a aD = + Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2 3a a+ là số chính phương Lại có 2 2 2 2 2 2 3 4 4 3 ( 2) a a a a a a a a a < + < + + Þ < + < + Do đó 2 23 2 1 1 a a a a a + = + + Þ = Với 1a = phương trình có nghiệm 1x = hay 3.x = - 5. Một số bài tập ví dụ: Bài 1:Tìm a để 17 8a + là số chính phương. Theo đề bài y N$ Î để 217 8a y+ = Þ 217( 1) 25a y- = - Þ 17( 1) ( 5)( 5)a y y- = - + 5 17 5 17 y y -é Þ ê +ë   17 5y nÞ = ± Þ 217 10 1a n n= ± + Bài 2:Chứng minh số 3n 63+ không chính phương (n , 0, 4)N nÎ ¹ Xét n lẻ .Đặt 2 1.n k= + Có 2 13 k + 2 1( 1) 1(mod 4)k +º - º - 2 1 63 3(mod 4) 3 63 2(mod 4)k + º Þ + º 3 63nÞ + không chính phương Xét n chẵn .Đặt 2n k= ( 0)k ¹ Giả sử 3 63n + là số chính phương tức là 3 63n + = 2y *( )y NÎ 3yÞ  Đặt 3y t= ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ` 1 1 3 63 9 3 7 (3 ) 7 ( 3 )( 3 ) 7 3 1 3 7 2.3 6 3 3 2 k k k k k k k k k t t t t t t t k - - - + - + - - + = Þ + = Þ - = Þ - + = ì - =ïÞ í + =ïî Þ = Þ = Þ = 4nÞ = (trái với giả thiết đề bài) Vậy 3 63n + không là số chính phương 0, 4n n" ¹ ¹ . Bài 3:Chứng minh rằng phương trình 2 2 21x y z+ + = có vô số nghiệm nguyên. *n N" Î , ta chọn 2 22 ; 2 ; 2 1.x n y n z n= = = + Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 21 (2 ) (2 ) 1 (2 1)x y n n n z+ + = + + = + = Do đó phương trình có vô số nghiệm Bài 4: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên ( )1n > . Chứng minh rằng 1p - không phải là số chính phương. Giả sử 1p - là số chính phương. Do p là tích của số nguyên tố đầu tiên ( )1n > suy ra 3p . Do đó 1 1(mod3)p - º - Đặt 1 3 1p k- = - . Một số chính phương không có dạng 3 1k - .Từ đây ta có điều mâu thuẫn. Bài 5: Chứng minh 7 34 5n n+ + không chính phương. Bổ đề: { }2 (mod 7); 0,1,2,4x i iº Î Theo định lý Fermat ta có: 7 (mod 7)n nº 7 7 34 5 35 5(mod 7) 34 5 5(mod 7) n n n n n Þ + + º + Þ + + º Giả sử 7 234 5 , .n n x x N+ + = Î Suy ra 2 5(mod 7)x º (vô lý) Do đó 7 34 5n n+ + không phải là số chính phương. Bài 6: Cho 1 2 3 ...k k k< < < là những số nguyên dương, không có hai số nào liên tiếp và đặt 1 2 ... , 1, 2,...n nS k k k n= + + + " = . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương, khoảng [ )1,n nS S + chứa ít nhất một số chính phương. Nhận xét: khoảng [ )1,n nS S + có ít nhất một số chính phương khi và chỉ khi khoảng )1,n nS S +éë có ít nhất một số nguyên dương, tức là: 1 1.n nS S+ - ³ Ta có: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n n n S S S S S k S k S + + + + - ³ Û ³ + Û + ³ + Û ³ + Theo đề bài rõ ràng: * 1 1 2, ( 1) n n n n k k n N S nk n n + + ³ + " Î Þ £ - + Ta cần chứng minh: ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 22 1 1 2 1 2 ( 1) 1 2 1 4 4 ( 1) 2(2 1) 2 1 0 2 1 0. n n n n n n n n k nk n n k k nk n n k n k n k n + + + + + + + + ³ - + + Û - + ³ - + Û - + + + ³ Û - - ³ Bất đẳng thức cuối cùng là đúng. Do đó với mọi n khoảng [ )1,n nS S + chứa ít nhất một số chính phương. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, tồn tại một số nguyên dương n sao cho là số chính phương và là số lập phương. Chọn 2 3 3n m m= + + thì: 2 2 3 1 ( 2) 1 ( 1) m n m mn m + + = + + = + J 6. Bài tập luyên tập. Bài 1: Nếu ,a b ZÎ và 2 2 1 a b Z ab + Î + thì 2 2 1 a b Z ab + Î + là số chính phương. Bài 2: Tìm tất cả bộ số nguyên dương ( ), ,x y z sao cho 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1)x y z xy x z y z+ + + + - + + là số chính phương. Bài 3: Tìm a để 19 7a + là số chính phương. Bài 4:Chứng minh rằng: 2 *19 5 2000( )n n n N+ + Î không phải là số chính phương. Bài 5: Tìm n để tổng bình phương các số từ 1 đến n là số chính phương. Bài 6: Với mọi số nguyên dương n , hãy xác định (phụ thuộc theo n ) số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên dương ( ),x y sao cho 2 2 2 210 .30 nx y- = . Ngoài ra chứng minh số các cặp này không là số chiứnh phương. Bài 7:Cho dãy { } 0n na ³ là dãy số mà 0 1 5a a= = và *1 1 , . 98 n n n a aa n N- ++= " Î Chứng minh rằng ( )1 6 na + là số chính phương , *.n N" Î Bài 8: Cho các số 11...11A = ( 2m chữ số 1) 11...11B = ( 1m + chứ số 1) 66...66C = ( m chữ số 6 ) Chứng minh rằng: là một số chính phương. Bài 9: Một số có tổng các chữ số là 2000 có thể là số chính phương hay không.