Chuyên đề Phép nhân và phép chia đa thức

hiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do,q là ước dương của hệ số cao nhất. Như vậy nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là 1, ,3, hoặc . Sau khi kiểm tra ta thấy x= là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x- hay 2x-1. Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1. 2x3 -5x2 +8x -3 = 2x3 –x2 -4x2 +2x +6x -3 = x2 (2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1) = (2x-1)(x2 – 2x +3). Có thể giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng : (x +b)(cx2 +dx +m). Phép nhân này cho kết quả : cx3 +(ad +bc)x2 +(am +bd)x +bm. Đồng nhất đa thức này với 2x3 -5x2 +8x -3, ta được ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3 Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do đó a=1 hoặc a=2. Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể bằng1, 3. Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên. Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2. Ta có : 2x3 -5x2 +8x -3= (2x-1)(x2 – 2x +3). Ví dụ 5: Cho x và y là hai số khác nhau, thoả mãn điều kiện : 9x(x-y) – 10(y –x)2 = 0. Chứng minh rằng: x = 10y. Giải: 9x(x – y) – 10(y-x)2 = 9x(x-y) -10(x-y)2 =(x-y)[9x -10(x-y)]=(x-y)(10y –x). Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0. Vì xy nên –x +10y = 0 hay x = 10y. C- các bài tập vận dụng Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ; b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ; c) (x2 +4y2 -5)2 – 16(x2 y2 +2xy +1). d) x4 -25x2+20x -4; e) (a+b+c)2+(a-b+c)2- 4b2. f) a5 + b5 – (a+b)5 Bài tập 2: Chứng minh rằng: 432 + 43. 17 60 2110 - 1 200 20052007 + 20072005 2006 495 – 49 100. Bài tập 3: Cho x2y-y2x + x2z – z2x+ y2z+z2y = 2xyz Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng nhau hoặc đối nhau. Bài tập 4 : Phân tích thành nhân tử : x5+x + 1 x7+ x2+ 1. Bài tập 5 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = (a-b)3 + (b-c)3+ (c-a)3 B = (a+ b -2c)3 + (b + c -2a)3 + (c + a – 2b)3. Bài tập 6 : Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa thức bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1: A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1. Bài tập 7 : Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên : B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1. Tiết 25-26-27-28 Chuyên đề 6 : phương pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên. I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z. 1. Tính chia hết : a) Định nghĩa : Cho a, b Z ( b0) b) Tính chất cơ bản của quan hệ “ chia hết” trong Z Với mọi a, b, c, m Z : 1. a/ 0 (a 0) 2. 1/ a 3. a/ a (a 0) 4. a/b và b/a a = 5. a/ b và b/ c (Tính chất bắc cầu) 6. c/a và c/b 2. Phép chia có dư : a) Định lí : Cho hai số nguyên a, b (b> 0), bao giờ cũng có duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho : a = bq + r với 0. r là số dư trong phép chia a cho b. (r = 0 : thì a chia hết cho b) Khi r, có thể lấy số dư là số âm r’ = r- b. b) Chia a cho b>0 thì số dư r là một trong b số : +) b chắn (hoặc ) +) b lẻ . 3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số : Ước chung lớn nhất của hai số dương a và b được kí hiệu là ƯCLN(a, b) hoặc (a, b). Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên điịnh lí sau đây : +) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b a = bq +) Nếu a chia cho b, dư r, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r) do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b). Ví dụ : Tìm ƯCLN(300, 105). Chia 300 cho 105, ta được dư 90 chia 105 cho 90, ta được dư 15 Chia 90 cho 15, ta được dư 0 Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15. Có thể thấy rõ điều đó như sau : 300 = 105. 2 + 90 (300; 105) = (105; 90) 105 = 90 . 1 + 15 (105; 90 ) = (105; 15) 90 = 15 . 6 ( 90; 15 ) = 15 Vậy : (300; 15) = 15 Trong thực hành, ta đặt phép tính như sau : 105 105 90 2 90 15 1 0 6 4. Một số định lí quan trọng : *) Định lí 1 : Một số d là ước chung của a và b khi và chỉ khi d là ước của ƯCLN(a, b). d/a và d / b d / (a, b) *) Định lí 2 : Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a, b) *) Định lí 3 : (a,b). [a, b] = ab *) Định lí 4 : Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết cho b. *) Định lí 5 : Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết cho tích a.b. II – Phương pháp giải một số bài toán về chia hết : *) phương pháp 1 : Để chưng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p. Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) Giải : Xét mọi trường hợp khi chia n cho 5, ta có số dư là : r = a) r = 0 c) r = A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A(n) , với mọi . Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : Tổng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 ; Tổng của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 ; Tổng của 2k + 1 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2k + 1. Gợi ý : (n – 1) + n + (n + 1) = 3n (n – 2) + (n – 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n (n – k ) + (n – k + 1) + .... + n + (n + 1) + .... + (n + k – 1) + ( n + k) = (2k + 1) n. Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : a) Trong 2 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 2 (chẵn) ; b) Trong 3 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3 ; c) Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k ; *) Phương pháp 2 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, nói chung nên phân tích m ra thừa số : m = p.q Nếu p, q nguyên tố cùng nhau : ta tìm cách chứng minh : A(n) (Suy ra A(n) theo định lí 5 về chia hết ) Ví dụ 4 : Chứng minh rằng tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu. Giải : Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n + 2 Tích của chúng là : A(n) = n(n + 1)(n + 2) Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố). Trong 2 số nguyên liên tiếp n và n + 1, bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n) Trong 3 số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2 bao giờ cũng có một số chia hết cho 3, nên tích của chúng luôn chia hết cho 3 : A(n) . Chú ý rằng : ba số nguyên liên tiếp có thể là n – 1, n và n + 1. A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Trước hết, ta thấy rằng trong bốn số nguyên liên tiếp : n, n + 1, n + 2, n+3, bao giờ cũng có một số cia hết cho 2 và một số khác chia hết cho 4. Thật vậy : Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1) Do đó : Khi k chẵn thì n Khi k lẻ thì (n + 2) Tương tự như vậy, nếu xét n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số kia chia hết cho 2. Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3) Theo a) thì n(n + 1)(n + 2)(n +3) 3 mà (3, 8) = 1 nên A(n) 3.8 = 24. Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số : A(n) = B(n). C(n) và tìm cách chứng minh suy ra B(n).C(n) p. q Bài tập : Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Trong trường hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu. *) Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m. Ví dụ 5 : Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6. Giải : Ta phải chứng mhinh : A(n) = n3 – 13n 6 Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n 6, ta biến đổi A(n) thành A(n) = (n3 – n) – 12n. Ta có : n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1). Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6. A(n) là hiệu của hai hạng tử : n3 – n và 12n, mỗi hạng tử đều chia hết cho 6, nên : A(n) 6. Ví dụ 6 : Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. Gải : Ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n+ 2, ta phải chứng minh : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9. Ta có : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 -3n + 18n + 9n2 + 9 = 3n(n – 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n2 n, n – 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 3, vậy : B = 3n(n – 1)(n + 1) 9 C = 18n + 9n2 +9 9 A = B +C mà B 9, C 9 nên A 9. Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, ta chứng minh một hạng tử nào đó không chia hết cho m, còn tất cả các hạng tử đều chia hết cho m. Ví dụ 7 : Chứng minh rằng : n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi số n lẻ . Giải : Đặt n = 2k + 1, ta có : n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5 = (4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2 Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2 không chia hết cho 8. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8. Bài tập : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n : n3 – n + 4 không chia hết cho 3 ; n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 ; n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121. *) Phương pháp 4 : Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m : A(n) = m . B(n) Thường phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng đẳng thức (9), (10) và (11) ta có : an – bn chia hết cho a – b (a b) với n bất kì an – bn chia hết cho a + b (a - b) với n chẵn ( n = 2k) an + bn chia hết cho a + b (a - b) với n lẻ ( n = 2k + 1). Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : 25 + 35 + 55 5 . Gợi ý : Vì 5 là số lẻ, nên 25 + 35 (2 + 3) . Ví dụ 9 : Chứng minh rằng : 24n – 1 chia hết cho 15. Giải : 24n – 1 = (24)n – 1n = (24 – 1)[(24)n – 1 + .... + 1] = 15 . M Vậy : (24n – 1) 15 Bài tập : a)Chứng minh rằng : A = 71 + 72 +.......+ 74k (trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400. b) Chứng minh biểu thức : A = 75(41975+ 41974+ .....+ 42 + 5) + 25 chia hết cho 41976. *) Phương pháp 5 : Dùng nguyên tắc Dirichlet Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng nhốt ít nhất là 3 chú thỏ.