Chuyên đề Bồi toán 9 số 3 một số bài toán thuận và đảo

chuyên đề bồi toán 9 số 3 một số bài toán thuận và đảo I/Bài toán1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn. Từ điểm M trên đường tròn (#Avà B) kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt hai tiếp tuyến kia theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng : a, Góc COD vuông. D b, CD = AC + BD. M Hướng dẫn C B A a, Theo t/c tiếp tuyến ta có : . O OC và OD là hai tia phân giác của hai góc kề bù MOA và góc MOB => OC và OD vuông góc với nhau. hay góc COD vuông tại O. b,-Theo t/c tiếp tuyến ta có : AC = CM và MD = BD. - Mà : CD = CM + MD => CD = AC + BD. Bài toán đảo: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Một góc vuông quay xung quanh O luôn cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tại C và D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Hướng dẫn C M D O B A A -Gọi M là trung điểm của CD, H Ta có OM là đường trung bình của hình thang vuông ABDC, do đó : OM // AC . - Kẻ OH vuông góc CD tại H -Tam giác vuông CAO và CHO bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn => OH = OA, mà H nằm trên đường tròn suy ra : CD là tiếp tuyến của (O). Bài toán đảo : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Một đường thẳng bất kỳ luôn cắt hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn O tại C và D thoả mãn CD = AC + BD. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Hướng dẫn D M O B C A - Gọi M là trung điểm của CD, Thì OM là đường trung bình của hình thang vuông ABDC, do đó : OM = (AC+BD): 2 ; => OM = CD : 2. - Xét tam giác COD có OM là đường trung tuyến ứng cạnh CD, mà OM = CD:2 => tam giác COD vuông tại, Từ dây theo bài toán đảo 1 thì CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Thay đổi bài toán trên ta có bài toán sau: Bài toán: Cho đoạn thẳng AB. Một đường thẳng bất kỳ luôn cắt hai đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng AB tại A và B lần lượt ở C và D sao cho CD = AC + BD. Chứng minh rằng : CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. II/Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) tại A’, B’, C’ . Chứng minh rằng : A’, B’, C’ đối xứng với H qua BC, AC, AB. B’ A’ H C B Hướng dẫn A Ta có : (góc có cạnh tương ứng vuông góc) => A’C = B’C ( chắn hai góc bằng nhau). Từ đó suy ra : . Do đó tam giác HAB’ có AC vừa là đường cao, vừa là phân giác góc A => tam giác HAB’ cân tại A => B’ và H đối xứng qua AC. Tương tự thì A’, C’ cũng đối xứng H qua BC và AB. Bài toán đảo : Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Gọi A’, B’, C’ lần lượt đối xứng qua BC, AC, AB. Chứng minh rằng : A’, B’, C’ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hướng dẫn(hình vẽ trên) Ta có : (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Mặt khác cân (do AC vừa là đường cao, vừa là phân giác) => . Suy ra: => Tứ giác AB’CB cùng thuộc một đường tròn vì có hai đỉnh A và B cùng nhìn B’C dưới một góc bằng nhau( quỹ tích cung chứa góc). *, Chứng minh tương tự ta có các tứ giác : ABA’C; AC’BC nội tiếp. *, Cả ba tứ giác trên có ba điểm chung A, B, C nên cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (còn tiếp...)