Chuyên đề Áp dụng hàm số ngược để giải phương trình

theo hệ quả 2, phương trình f(x) = 0 có không quá 3 nghiệm. Mặt khác, dễ thấy x = 0, x = , x = 1 là 3 nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là x = 0, x = và x = 1 . @ Tổng quát: Ta có thể tổng quát ví dụ trên lên bài toán sau: “Cho a,b,c,d R thỏa a(b + 1) = d, (a + 1)(b + c) = dc, (a + )(b +) = d. Giải phương trình sau (a + f(x))(b + cf(x)) = d.cf(x) ”. Ví dụ 6:[2] Giải phương trình log2(x + 1) + log3(2x + 1) – 2x = 0. Giải: ĐK: Xét hàm số f(x) = log2(x + 1) + log3(2x + 1) – 2x liên tục và khả vi trên . Ta có f’(x) = f’’(x) = < 0, Theo định lý Rolle thì f(x) có không quá 2 nghiệm Dễ thấy rằng x = 0 và x = 1 là 2 nghiệm của f(x). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. @Tổng quát: Ví dụ trên có thể tổng quát lên như sau: “ Giải phương trình ” . Cách giải tương tự như ví dụ trên. Ví dụ 7:[3] Giải phương trình Giải: Điều kiện cần: Giả sử y là nghiệm của phương trình đã cho ⇒. Xét hàm số f(t) = với t > 1. Ta có f(t) liên tục, khả vi trên [1,+) Do y là nghiệm của phương trình nên f(2) = f(3). Theo định lý Rolle, tồn tại c (2,3) sao cho f’(c) = 0 Û Û Ta giải (*): Với y > 1, ta có 0 < y < 1, ta có 0 = y, ta có 1 = y, ta có Vậy chỉ có y = 1 thỏa (*) Điều kiện đủ: Dễ thấy x = 0 và x = 1 là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. @Tổng quát: “Giải phương trình với a + b = c + d và f(x) là hàm số xác định trên ” . Kết hợp ví dụ 4 và ví dụ trên sẽ giải được bài toán này. Ví dụ 8:[2] Giải phương trình 3x = 1 + x + log3(1 + 2x) (1) Giải: ĐK: x > . (1) Û 3x + x = 1 + 2x + log3(1 + 2x) (2) Xét hàm số f(t) = t + log3t, t > 0 là hàm đồng biến. Khi đó (2) được viết lại f(3x) = f(2x + 1) Û 3x = 2x + 1 Û 3x - 2x - 1 = 0 (3) Giải (3): Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bernulli, dễ dàng suy ra phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. Cách 2: Xét hàm số g(x) = 3x - 2x – 1 là hàm liên tục và khả vi trên . Mặt khác g’(x) = 3x ln3 – 2 , g’’(x) = 3x ln23 > 0 . Theo định lý Rolle suy ra g(x) có không quá 2 nghiệm trên . Nhận thấy rằng x = 0, x = 1 là 2 nghiệm của g(x). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. * Nhận xét: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số ngược (đã được trình bày ở chương trước). Thông qua việc giải ví dụ trên, ta có thể giải phương trình tổng quát sau: sax+b = c logs(dx + e) + trong đó d = ac + , e = bc + . III. Bài tập đề nghị: 1.[2] Giả sử Chứng minh rằng phương trình a.log22x + b.log2x + c = 0 luôn có nghiệm thuộc khoảng (1,2). 2.[3] Cho a,b,c , n N* sao cho c = . Chứng minh rằng phương trình 3a.sinnx + 2b.cosnx + c.cosx = 0 có nghiệm thuộc . 3.[6] Tồn tại hay không các số thực a,b,c để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt: x + = a.e3x + b.e2x + c.ex –e-x. 4.[2] Giải các phương trình 5.[2] Giải các phương trình sau: 2009sinx – 2008sinx = sinx (1 + sinx)(2 + 4sinx) = 3.4sinx 6.[2] Giải phương trình x = 7.[2] Giải phương trình 3x+1 – 2x.3x = 3. 8.[2] Giải phương trình : . . 9.[6] Giải phương trình: log2(cosx + 1) = 2cosx. log2[3log2(3x – 1) – 1] = x. 2009x + 2007x = 4014x + 2. 10.[3] Giải phương trình log2003(20032|sinx| + 4|cosx| - 4) = . 11. Giải phương trình với a + b = c + d và f(x) là hàm số xác định trên R. 12. Giải phương trình (a + f(x))(b + cf(x)) = d.cf(x). Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ROLLE Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ qua với các bạn một số ứng dụng khác của định lý Lagrange và định lý Rolle. I. Ứng dụng giải bất phương trình: Phương pháp: Trước hết ta tìm nghiệm của f(x) = 0 trên D. Quá trình tìm nghiệm này có thể vận dụng định lý Lagrange và hệ quả của định lý. Giả sử nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên D là x1, x2, , xn (nÎN) và giả sử x1 < x2 < < xn. Dựa vào tính liên tục của f(x) trên D để suy ra dấu của f(x) trên khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn mà f(x) không có nghiệm. Bằng cách kiểm tra dấu của f(x) tại điểm cụ thể nào đó trong khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn kể trên. Nếu tại một điểm mà f(x) có dấu dương (hay âm) thì trên toàn bộ khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn tương ứng f(x) có dấu là dương (hay âm). Ví dụ : Giải bất phương trình 3x + 5x < 6x + 2 (1) Giải: (1) Û 3x + 5x – 6x – 2 < 0. Xét hàm số f(x) = 3x + 5x – 6x – 2 với xÎ R. Ta có f’(x) = 3xln3 + 5xln5 – 6 f’’(x) = 3xln23 + 5xln25 > 0 x Î R. Suy ra f’(x) đồng biến trên R. Theo định lý Rolle, phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Dễ thấy x = 0 và x = 1 là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vậy phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. Mặt khác, f(x) liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên (-¥,0), (0,1), (1, +¥). Và trên mỗi khoảng này f(x) giữ nguyên 1 dấu. Ta lại có f(-1) = > 0 f() = < 0 f(2) = 20 > 0. Ta có bảng xét dấu: x -¥ 0 1 +¥ f(x) + 0 - 0 + Kết luận: Nghiệm của (1) là x Î (0,1). Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta thấy rằng việc giải bất phương trình bằng việc sử dụng định lý Lagrange và hệ quả của nó cũng liên quan mật thiết đến việc giải phương trình bằng phương pháp này. Như vậy chỉ việc thay đổi dấu “=” bằng dấu “³, £, >, <”, ta sẽ có được những bài toán giải bất phương trình và ngược lại. II. Ứng dụng giải hệ phương trình: Lớp bài toán này xuất phát từ bổ đề sau: “Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f’(x) 0 x Î (a,b). Khi đó nếu f(x) = f(y) với x, y Î [a,b] thì x = y”. Phương pháp: Giả sử ta cần giải hệ (I), trong đó x,y Î D Ì R. Giả sử bằng các phép biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả, ta dẫn tới 1 phương trình nào đó có dạng f(x) = f(y), trong đó f(x) là một hàm số xác định, liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và thõa mãn f’(t) 0 t Î (a,b). Khi đó theo bổ đề trên ta suy ra x = y. Do vậy (I) Û (II) thì việc giải hệ (II) có thể thực hiện dễ dàng. Ví dụ: Giải hệ Giải: Đặt |x| = a, |y| = b, 0 £ a,b < 1. (I) Û Lấy (1) – (2) ta được . Xét hàm số f(t) = với t Î [0,1]. Ta có f’(t) = ,t Î (0,1). Theo bổ đề Þ a = b. Do đó (I) ÛÛ Xét hàm số g(t) = t + log3t với t > 0. Ta có g’(t) = 1 + > 0 t > 0. Theo bổ đề, ta có (II) Û Û Û Vậy nghiệm của hệ (I) là . III. Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức: Phương pháp: Giả sử bất đẳng thức A ³ 0 (I) (hoặc A £ 0) nào đó cần chứng minh mà các đại lượng tham gia vào bất đẳng thức (I) cần được đánh giá có liên quan đến các giá trị f(a), f(b), f(c), của một hàm số f(x) nào đó xác định, khả vi trên tập D Ì R, trong đó a, b, c, Î D và các đoạn [a,b], [b,c], [a,c], bao hàm trong D. Khi đó, theo định lý Lagrange tồn tại c1 Î [a,b], c2 Î [b,c], c3 Î [c,a], để f’(c1) = , f’(c2) = , f(c3) = , Nhờ biểu diễn này ta chuyển việc đánh giá f(a), f(b), f(c), về đánh giá f’(c1), f’(c2), f’(c3), thường đơn giản hơn so với f(a), f(b), f(c),. Ví dụ: Cho hàm số f(x) xác định liên tục trên [], khả vi trên (),Î R, , và f’(x) đồng biến trên (). Chứng minh rằng a,b,c Î[], a ³ b ³ c ta có f(a)(b-c) + f(b)(c-a) + f(c)(a-b) ³ 0 Giải: Bất đẳng thức (1) sẽ hiển nhiên trở thành đẳng thức nếu trong 3 số a,b,c có 2 số bằng nhau. Do vậy, không giảm tính tổng quát ta giả sử a > b > c và a, b, c Î[]. (1) Û f(a)(b-c) + f(b)[(c-b)+(b-a)] + f(c)(a-b) ³ 0 Û [f(a) – f(b)](b – c) ³ [f(b) – f(c)](a – b) Û (2) (do a > b > c). Bất đẳng thức (2) gợi ý cho ta dùng định lý Lagrange. Thật vậy, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x) trên [c,b] và [b,a] thì tồn tại t1 Î (c,b) và t2 Î (b,a) để f’(t1) = , f’(t2) = . Hiển nhiên t1 f’(t1). Do đó (2) được chứng minh Þ (1) được chứng minh. Nhận xét: + Nếu f(x) nghịch biến thì bất đẳng thức đổi chiều. + Nếu ta chọn f(x) và các giá trị a,b,c thích hợp thì ta được các bất đẳng thức mà việc chứng minh bằng phương pháp đại số không đơn giản. IV.Bài tập đề nghị: 1. Giải bất phương trình sau: a) 3x + 5x ³ 2.4x b) c) với x > 0, là tham số dương. 2. Giải các hệ phương trình sau: a) b) 3. Chứng minh rằng: a) sinx > b) sinx £ . 4. Cho a,b,c,r,s thỏa a > b > c > 0, r > s > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: ar.bs + br.cs + cr.as > as.br + bs.cr + cs.ar 5. Cho a,b,c,d là 4 số dương bất kì. Chứng minh rằng 6. Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì . 7. Cho 0 £ p < q < r < t £ . Chứng minh rằng . 8. Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng . 9. Biết rằng phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt (a,b,c Î R). Chứng minh rằng |27c + 2a3 – 9ab| < 2. 10. Cho đa thức p(x) = a0 + a1x + + anxn, ai Î R, (n ³ 2, n Î N) có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng ak-1ak+1 < ak2 ,. 11. Chứng minh rằng n > 0 ta có bằng phương pháp sử dụng định lý Lagrange. KẾT LUẬN CHUNG Đề tài của chúng tôi đã giới thiệu đến các bạn hai phương pháp giải phương trình, đó là áp dụng tính chất của hàm số ngược và định lý Lagrange, định lý Rolle. Đồng thời đề tài cũng giới thiệu sơ qua một số ứng dụng khác của định lý Lagrange và định lý Rolle. Chúng tôi đã trình bày cụ thể phương pháp, ví dụ minh họa và tổng quát một số bài toán. Từ dạng tổng quát này, các bạn có thể cho cụ thể hàm hoặc số thích hợp sẽ có được những bài tập khá thú vị. Tuy nhiên, vì kiến thức còn hạn chế nên đề tài không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự nhận xét, đóng góp của bạn đọc về nội dung đề tài. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (chủ biên), Toán nâng cao giải tích hàm số 12, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2000. [2] Lê Hồng Đức (chủ biên), Phương pháp giải toán đại số - Tập 4. [3] Tạ Minh Đức, Ứng dụng định lý Lagrange vào giải toán THPT. [4] Phạm Phu – Hàn Hải Liên – Ngô Long Hậu, Sổ tay tự ôn và luyện thi Đại học – Cao đẳng đại số, NXB Đại học Sư phạm, 2003. [5] Trần Phương – Lê Hồng Đức, Tuyển tập các chuyên đề thi đại học môn Toán: Đại số sơ cấp, NXB Hà Nội, 2004. [6] Nguyễn Bá Thủy, Định lý Rolle và ứng dụng. [7] Tuyển tập 45 năm toán học tuổi trẻ. [8] Các trang web: - - - -