Chuyên đề 9: Số phức

2 2z a b zz 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: z = a + ib (a, b  ) M(a; b) là ảnh của z:   2 2OM r a b môđun của z (Ox,OM)  + k 2 là Argument của z, argz = 4. DẠNG LƯỢNG GIÁC z = r(cos + isin) z = re i r = z  = argz 5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC  Phép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)  Phép trừ: z1  z2 = (a1  a2) + i(b1  b2)  Phép nhân: z1.z2 = (a1a2 + b1b2) + i(a1b2 + a2b1)  Phép chia:       1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 12 z z z a a b b i(a b a b ) z a bz Với dạng lượng giác: z1z2 = rr'[cos( + ) + isin( + )] = rr'e i( + )   i( )1 2 z r r cos( ) isin( ) e z r r          6. LŨY THỪA SỐ PHỨC z = r (cos + isin) z n = r n (cosn + isinn) công thức de Moirve z n =r n e in 7. CĂN BẬC n z = r (cos + isin) = re i (r > 0)                            n n k2n i n n n n k2n k2n z r cos isin n n n n z re Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học 282 B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Tìm tất cả các số phức z, biết 22 z z z  . Giải Giả sử z = x + yi với x, y  R . Ta có: 22 2 2 2 z z z (x iy) x y x iy        2 2 2 2 x y 2xyi x y x yi        2 2 2 2 2 x 2y x y x x y 1 y 2xy y 0 x 2                   2 4y 1 x 0 1 y 0 x 2            1 1 x x x 0 2 2 y 0 1 1 y y 2 2                       . Vậy 1 1 1 1 z 0, z i, z i 2 2 2 2        . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Tính môđun của số phức z, biết      2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i       . Giải Giả sử z = x + yi với x, y  R. Ta có:      2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i              2 x yi 1 1 i x yi 1 1 i 2 2i                 3x 3y 2 x y 0       1 x 3 1 y 3        . Suy ra: z = 1 1 i 3 3  Do đó: 1 1 2 z 9 9 3    . Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Tìm số phức z, biết 5 i 3 z 1 0 z     . Giải Giả sử z = x + yi . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 283 Ta có: 5 i 3 z 1 0 z       zz 5 i 3 z 0          2 2x y 5 i 3 x yi 0          2 2x y x 5 y 3 i 0       2 2 x y x 5 0 y 3 0          2 x x 2 0 y 3         x 1 x 2 y 3        . Vậy z 1 i 3   hoặc z 2 i 3  . Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 1 i 3 z 1 i        . Giải Cách 1: Ta có: z = 2 3 2 3 1 3i 3 9i 3 3i 1 3i 3i i       = 1 3i 3 9 3 3i 1 3i 3 i       = 4 i 1   =   2 4 i 1 i 1    =2 + 2i Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2. Cách 2: Có thể giải bằng cách chuyển về dạng lượng giác như sau: Ta có: 3 2 cos isin 3 3 z 2 cos isin 4 4                    = cos isin 2 2 3 3 cos isin 4 4       = 3 3 2 2 cos isin 4 4                      = 2 2 cos isin 2 2i 4 4          . Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tìm số phức z, biết  z 2 3i z 1 9i    . Giải Gọi z = x + yi với x, y  R. Ta có:  z 2 3i z 1 9i     (x + yi) – (2 + 3i)(x – yi) = 1 – 9i  (x + yi) – (2x – 2yi + 3xi + 3y) = 1 – 9i  (–x – 3y) + (3y – 3x)i = 1 – 9i  x 3y 1 3y 3x 9         x 2 y 1     . Vậy z = 2 – i. Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i) 2 z + z = 4i – 20. Tính môđun của z. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học 284 Giải Đặt z = a + bi. Ta có:    ( 3 4i) a bi a bi 4i 20       3a 3bi 4ai 4b a bi 4i 20        2a 4b 20 4a 4b 4         a 2b 10 a b 1       a 4 b 3     . Vậy z = 4 + 3i z 5  . Bài 7: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho số phức z thỏa mãn z 2 – 2(1 + i)z +2i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của 1 z . Giải Ta có: 2 z 2(1 i)z 2i 0      2 z 1 i 0     z = 1 + i 1 1 i z 2 2    . Vậy phần thực của 1 z là 1 2 và phần ảo là – 1 2 . Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Tìm phần ảo của số phức z, biết   2z ( 2 i) (1 2i) Giải Ta có:   2z ( 2 i) (1 2i) =  (1 2 2i)(1 2i) = 5 2i   z 5 2 i  Phần ảo của số phức z là  2 . Bài 9 : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho số phức z thỏa mãn    2 (1 3i) z 1 i . Tìm môđun của số phức z iz . Giải Ta có: (1 3i) 2 cos isin 3 3                            3(1 3i) 8 cos( ) isin( ) = 8           8 8(1 i) z 4 4i 1 i 2        z iz 4 4i i( 4 4i) =  8(1 i)   z iz 8 2 . Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:   z i (1 i)z . Giải Giả sử z = x + yi (với x, y  ) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 285 Suy ra :    z i x (y 1)i và (1+ i)z = (1 + i)(x + yi) = (x – y) + (x + y)i Ta có   z i (1 i)z       2 2 2 2x (y 1) (x y) (x y)  x 2 + (y 2 – 2y + 1) = 2 (x2 + y2)  x2 + y2 + 2y – 1 = 0  x2 + (y + 1)2 = 2 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn tâm I(0; –1) có bán kính R = 2 . Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Tìm số phức z thoả mãn z 2 và z 2 là số thuần ảo. Giải Đặt z = a + bi (với a, b  )  z 2 = a 2 – b2 + 2abi Từ giả thiết ta có hệ phương trình             2 2 2 2 2 2 a b 0 a 1 a b 2 b 1 . Vậy: 1 2 3 4 z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i          Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = z1 2 + z2 2 Giải Ta có: ’ = -9 = 9i2 do đó phương trình  z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i  A = z1 2 + z2 2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm số phức z thỏa mãn:     z 2 i 10 và z.z 25 . Giải Gọi z = x + yi (với x, y  ) suy ra z – (2 + i) = (x – 2) + (y – 1)i Ta có              2 2 z 2 i 10 x 2 y 1 10 (1)  2 2z.z 25 x y 25 2    Giải hệ (1) và (2) ta được: (x; y) = (3; 4) hoặc (x; y) = (5; 0) Vậy: z = 3 + 4i hoặc z = 5 Bài 14: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học 286 Gọi z = x + yi (x, y  ) Ta có (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2  (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = 8 – 6i  (6x + 4y) – (2x + 2y)i = 8 – 6i  6x + 4y = 8 và 2x + 2y = 6  x = –2 và y = 5 Vậy phần thực của z là –2 và phần ảo của z là 5. Bài 15: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải phương trình z 2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức. Giải Ta có:  = –24 – 10i = (1 – 5i)2 Do đó z 2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0  z = 1 – 2i hay z = 3i. Bài 16: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 – 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 – 2z2. Giải Ta có: z1 – 2z2 = (1 + 2i) – 2(2 – 3i) = 3 + 8i Suy ra số phức z1 – 2z2 có phần thực là 3 và phần ảo là 8. Bài 17: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 – 4i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2. Giải Ta có: z1z2 = (2 + 5i) (3 – 4i) = 6 – 8i + 15i – 20i 2 = 26 + 7i  số phức z1z2 có phần thực là 26 và phần ảo là 7. Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện    z 3 4i 2 . Giải Đặt z = x + yi (x, y  ); suy ra z – 3 + 4i = (x – 3) + (y + 4)i Từ giả thiết, ta có:                 2 2 2 2 x 3 y 4 2 x 3 y 4 4 Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = 2 Bài 19: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 287 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i) 2 (2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải Ta có: (1 + i) 2 (2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z  (2i)(2 – i)z – (1 + 2i)z = 8 + i  z[4i + 2 – 1 – 2i] = 8 + i                8 i 1 2i8 i 8 15i 2 10 15i z 2 3i 1 2i 5 5 5 Phần thực của z là 2. Phần ảo của z là 3. Bài 20: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:      4z 3 7i z 2i z i Giải Ta có:      4z 3 7i z 2i z i  z 2 – (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0 (với z  i)  = (4 + 3i) 2 – 4(1 + 7i) = 3 – 4i = (2 – i)2 Vậy :             4 3i 2 i 4 3i 2 i z 3 i hay z 1 2i 2 2 Kết hợp với điều kiện nên phương trình có nghiệm z = 3 + i; z = 1 + 2i Bài 21: TNPT NĂM 2009 Giải phương trình (S): 8z 2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức. Giải Ta có:  = 16 – 32 = 16 = (4i)2 Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là:     1 4 4i 1 1 z i 16 4 4 và     2 4 4i 1 1 z i 16 4 4 Bài 22: TNPT NĂM 2009 Giải phương trình 2z 2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức. Giải Ta có:  = i 2 – 8 = 9 = (3i)2. Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là:        1 2 i 3i i 3i 1 z i và z i 4 4 2