Chuyên đề 7: Góc với đường tròn

đường cao AI2 = IM . IB. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) BE là tia phân giác góc ABF. (1) Theo trên ta có = 900 BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) BAF là tam giác cân tại B . BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của AF. (3) Từ BE ^ AF AF ^ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác (5) Từ (4) và (5) HAK là tam giác cân tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) AKFH là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường). (HD). Theo c/m trên AKFH là hình thoi HA // FK hay IA // FK tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. Thật vậy: M là trung điểm của cung AB = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) Tam giác ABI vuông tại A có = 450 = 450 .(8) Từ (7) và (8) = 450 AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). Chứng minh AC. AE không đổi. Chứng minh . Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Lời giải: 1. C thuộc nửa đường tròn nên = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) BC ^ AE. = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) ABE vuông tại B có BC là đường cao AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi. 2. D ADB có = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn). = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (1) D ABF có = 900 ( BF là tiếp tuyến ). = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2) Từ (1) và (2) ( cùng phụ với ) 3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) = 1800 . = 1800 (hai góc kề bù) (cùng bù với ). Theo trên . Mà = 1800 (Vì là hai góc kề bù) nên suy ra = 1800 Vậy tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB. 1. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân. 2. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn. Lời giải: 1. Ta có SP ^ AB (gt) = 900 ; = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) = 900 . Như vậy hai đỉnh liên tiếp P và M cùng nhìn AS dưới một góc bằng 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn. 2. Vì M’ đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng nằm trên đường tròn hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ ^ AB tại H MM’// SS’ (cùng vuông góc với AB) (so le trong) (2). Từ (1) và (2) . Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn (góc nội tiếp cùng chắn cung AP ) tam giác PMS’ cân tại P. 3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M (cùng phụ với ) (3) Tam giác PMS’ cân tại P (4) Tam giác OBM cân tại O (vì có OM = OB =R) (5). Từ (3), (4) và (5) mà = 900 nên suy ra = 900 PM ^ OM tại M PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M C. BÀI TẬP TỰ RÈN Bài 1. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F. BF cắt (O) tại I, DI cắt BC tại M. Chứng minh : 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. Bài 2 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp. Tứ giác CMPO là hình bình hành. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Bài 3 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. BEFC là tứ giác nội tiếp. AE. AB = AF. AC. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . Bài 4 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn Bài 5 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Hình trụ: Sxq = 2pR.h với R: bán kính đáy V = B.h = pR2.h h: chiều cao 2/ Hình nón: d: đường sinh; h: chiều cao; P: chu vi đáy; B : diện tích đáy 3/ Hình nón cụt: 4/ Hình cầu: B. BÀI TẬP TRÊN LỚP : Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy là 7 cm, diện tích xung quanh bằng 352 cm2. Tính chiều cao của hình trụ. Bài 2: Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ là 314 cm2. Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ) Bài 3: Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2 cm, đường kính của đường tròn đáy là 4 cm, được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp. Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp. Bài 4: Hãy tính : a/ Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13 cm và chiều cao là 3 cm. b/ Thể tích của hình trụ có bàn kính đường tròn đáy là 5 mm và chiều cao là 8 mm Bài 5: Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ . Diện tích đáy lọ hình trụ là 12,8 cm. Nước trong lọ dâng lên thêm 8,5 cm.Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu? Bài 6: Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương, cạnh hình lập phương bằng 1 cm. Hãy tính : Bán kính đáy của hình nón Độ dài đường sinh Bài 7: Cắt một mặt xung quanh của 1hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy. Biết bán kính đáy bằng 2 cm, độ dài đường sinh là 6 cm. Hãy tính số đo cung của hình quạt tròn. Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B . Lấy trên Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N CMR : MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng Chứng minh : AM . BN = R2 Tình tỉ số khi Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. Bài 9: Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB , ta được một hình trụ . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này Bài 10: Hãy tình diện tích toàn phần của các hình nón tương ứng theo các kích thước đã cho như sau : a/ Bán kính là 2,5 cm, đường sinh là 5,6 cm b/ Bán kính là 3,6 cm, đường sinh là 4,8 cm C. BÀI TẬP TỰ RÈN Bài 11: Cho 3 điểm A, O, B thẳng hàng , theo thứ tự đó thì OA = a, OB = b ( a, b cùng đơn vị cm ) . Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D. a/ Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng ; từ đó suy ra tích AC . Bd không đổi b/ Tính diện tích hình thang ABDC khi góc COA bằng 600 c/ Với góc COA bằng 600, cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo hinh. Bài 12: Một mặt phẳng chứa trục OO’ của một hình trụ ; phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là hình chữ nhật có chiều dài 3 cm, chiều rộng 2 cm. Tình diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó. Bài 13: Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định , ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4 dm, biết góc ACB bằng 300. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón. Bài 14: Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị : m2 ) bằng số đo diện tích (đơn vị: m3). Tính bán kính hình cầu, diện tích hình cầu và thể tích hình cầu. Bài 15: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6 cm, chiều cao 9 cm. Hãy tính : a/ Diện tích xung quanh của hình trụ b/ Thể tích của hình trụ Bài 16: Diện tích xung quanh của một hình trụ là 10m2 và diện tích xung quanh là 14 m2 . Hãy tính bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của hình trụ ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ) Bài 17: Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r(cm) và một hình cầu bán kính r (cm). Hãy tính : a/ Diện tích mặt cầu , biết diện tích toàn phần của hình nón là 21,06 (cm b/ Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu là 15,8( cm3)2) Bài 18: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đường cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít ). Bài 19: Một mặt phẳng qua trục OO’ của một hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hình trụ ( còn gọi là thiết diện) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 72 cm2. Tính bán kính đáy, đường cao của hình trụ biết rằng đường kính đáy bằng một nửa chiều cao. Bài 20: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó.