Các chuyền đề bồi dưỡng giải toán Casio THPT

Các chuyên đề gt trên máy tính cầm tay Chuyên đề 1: các bài toán về tính giá trị của biểu thức 1/ Phép tính tràn màn hình : a/ A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!. Vì n . n! = (n + 1 - 1).n! = (n + 1)! - n! nên: A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! - 1!) + (3! - 2!) + ... + (17! - 16!) A = 17! - 1! = 6227020800 . 57120 b/ A = 123456789 x 97531; B = 2468103 + 13579112.(Đề thi HSG Casio Tỉnh Ninh Bình 03-04) 2/ Tính thông thường: 3 : 0,2 0,1 34,06 33,81 4 2 4 a/ D 26 : : 2,5 0,8 1,2 6,84 : 28,57 25,15 3 21 b/ 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 3/ Tính giá trị của biểu thức có điều kiện kèm theo của biến: 3 3 2 0 sin x(1 cos x) cosx(1 sin x) a/ Cho biết sin x = 0,5842 (0 < x <90 ). Tính A = (1 tg 2 x)(1 cotg 2 x) 1 cos3 x b/ Cho biết tgx = tg330 tg340 tg350 tg550 tg560 (0 < x < 900) tg 2 x(1 cos3 x) cotg 2 x(1 sin 3 x) Tính B = (1 sin x cosx) sin 3 x cos3 x 4 5a3 7a2bc2 3 ab2c 9,2768bc2 13 5,83 c/ Tính giá trị của biểu thức : A = 11 2a2 5ab 7b2 2,54 15 23 10 với a = 45,2008; b = 16 ; c = 3+16 10 2009 4/ Tính giá trị của dãy quy luật tại giá trị của biến: 1 1 1 1 a/ A = .... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2005.2006.2007 1 1 1 1 b/ B = .... ; với x = 2007 2008 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 4015x 4030056 1 1 B x 2008 x 1 1 1 1 1 c/ C = .... ; với x= 2007 2008 x x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 2008 x 2007 C x 2008 x 3 3 3 3 d/ Cho Sn = 1 + 2 + 3 + + n . Tính S2012 4/ Tìm x,y biết: 1 3 1 x 4 : 0,003 0,3 1 2 20 2 1 a/ : 62 17,81: 0,0137 1301 1 1 3 1 (1,88 2 ) 20 3 2,65 4 : 20 5 25 8 1 Chuyên đề 2: một số bài toán về dãy số 2/ Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức (13 3) n (13 3) n U n với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . 2 3 a) Tính U1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n 1 theo U n và U n 1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n 1 theo U n và U n 1 n n 5 7 5 7 2/ Cho dãy số U với n = 0; 1; 2; 3; ... n 2 7 a/ Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b/ Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1– 18Un . c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un. HD giải: a/ Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 b/ Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình: U2 aU1 bU0 c a c 10 U3 aU2 bU1 c 10a b c 82 U4 aU3 bU2 c 82a 10b c 640 Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS Chuyên đề 3: tính số lẻ thập phân thứ n sau dấu phẩy. 1/ Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13 Giải: Bước 1: + Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình) Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923 + Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999 17 - 16,9999999 = 0,0000001 Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001 (tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì 17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001 Bước 2: + lấy 1 : 13 = 0,07692307692 11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692 Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692 Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số. Ta có 105 = 6.17 + 3 (105  3(mod 6) ) Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7 2/ Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19 2 Giải: 250000 17 Ta có 13157 . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 19 19 17 : 19 Bước 1: ấn 17 : 19 = 0,8947368421. Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 + Lấy 17 - 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9 Bước 2: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 + Lấy 2 - 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9 Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là + Lấy 17 - 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9 Bước 4: - Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 ... Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ... = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số. 669 Ta có 133 1(mod18) 132007 133 1669 (mod18) Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân. Kết quả : số 8 Chuyên đề 4 : toán về liên phân số, số thập phân vhth 1/ Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số: 31 10 2003 A ; B ; C 1 1 2 2 7 3 1 1 4 3 6 5 1 1 8 4 5 7 5 4 9 Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315 2003 1 2/ Biết 7 . Tìm các số a, b, c, d. 1 273 2 1 a 1 b 1 c d 3/ Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau: 3 x x y y a) 4 ; b) 1 1 1 1 1 4 1 2 1 1 1 1 2 3 3 4 1 1 3 2 5 6 4 2 5/ Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau: 1 123 41 a/ 0,(123) .123 b/ 7,(37) c/ 5,34(12) 999 999 333 Chuyên đề 5 : tìm ưcln, bcnn của hai hay nhiều số 1/ Cho a = 168599421; b = 2654176. Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của a và b 2/ Cho a 11994; b 153923; c 129935 . Tìm ƯCLN(a; b; c) và BCNN(a; b; c); 3/ Hãy tìm tất cả các số tự nhiên là bội của 2009 có dạng 7*13*1 Chuyên đề 6 : ĐA THỨC 1/ Tính tổng của tất cả các hệ số của đa thức sau : P(x) = (2008 2008x 2 . x3 )66. (7 2008x 1003x2 1004x3 5x5 )3 4,5 3 7 2/ Cho biểu thức E= 5 2. x 2 . x 7 11 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của bthức E 4,6 2,5 3/ Cho đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m a/ Giả sử m = 2010. Tìm số dư r khi chia P(x) cho x + 4. b/ Tìm m để P(x) chia hết cho 2x - 6. c/ Giả sử m = 2010. Tìm dư R(x) khi chia P(x) cho (x + 4)( 2x - 6). 4/ Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết rằng: P(45) = 45; P(54) = 54; P(75) = 75.Tìm a,b,c 5/ Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2009) - Đặt Q(x) = P(x) – (x-1). x2 Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 1,2,3,4 là nghiệm của Q(x) Mà P(x) có bậc 4 Q(x) có bậc 4 Q(x) = P(x) – (x-1). x2 = (x-1)(x-2)(x-3)(x- 4) P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x- 4) + (x-1). x2 Chuyên đề 7: toán phần trăm 1/ Tại một thời điểm gốc nào đó dân số của tỉnh Ninh Bình là a người; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của Ninh Bình là m% a/ Hãy xây dựng công thức tính dân số của Tỉnh Ninh Bình đến năm thứ n b/ Giả sử dân số của Tỉnh Ninh Bình năm 2005 có khoảng 910 000 người . Hỏi dân số của Tỉnh ta đến năm 2010 là bao nhiêu người nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm là 1,2% ? (Lấy kết quả là số tự nhiên) c/ Đến năm 2025 muốn dân số của tỉnh ta có khoảng 1 200 000 người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm là bao nhiêu (Lấy kết quả với 1 chữ số thập phân) 2/ Một người lĩnh lương khởi điểm là 1 400 000 đồng/tháng. Cứ 3 năm anh ta lại được tăng lương thêm 7% . a/ Hỏi sau 36 năm công tác anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền? b/ Hàng tháng bắt đầu từ tháng lương đầu tiên anh ta gửi tiết kiệm 200 000 đồng với lãi suất kép 0,4%/ tháng (hàng tháng anh ta không rút tiền lãi mà để lại số tiền đó làm gốc). Hỏi khi về hưu (sau36 năm công tác) anh ta tiết kiệm được bao nhiêu tiền? HD: a/ Sau 36 năm công tác, anh ta được tăng lương 11 lần và được số tiền là : 4 3600.x r 3600.1400000 7 0 . (1 )12 1 = . (1 )12 1 = 901 577 944 đồng r 100 7 100 b/ Gọi số tiền gửi tháng đầu tiên là là y 0, lãi suất tiết kiệm là m %/ tháng, sau 36 năm công tác anh ta gửi tiết kiệm là 36. 12 = 432 (lần) - Cuối tháng thứ n anh ta tiết kiệm được: y 200000 0 . (1 m)n 1 (1 m) = . (1 0,4%)432 1 (1 0,4%) = 231 422 695 đồng m 0,4% Chuyên đề 8: tìm số dư, chữ số tận cùng, số chữ số của 1 số 1/ Tìm số dư r trong phép của: 1978197819781978 : 2009 - Chia 1978197819 chia cho 2009 ta được dư là 1816 thương 984 667 - Chia 1816781978 chia cho 2009 ta được dư là 1089 thương 904321 1089 là số dư trong phép chia trên 2/ Tìm 4 số tận cùng của 321978. 3/ Tìm tất cả các chữ số x, y sao cho N 1235679x6y chia hết cho 24. 4/ Tìm số dư trong các phép chia sau: (trình bày cả cách giải) a) 20092010 : 2011; b) 2009201020112012 : 2020; 5/ Tìm số chữ số của số 2100 : (Log2) 100 + 1 = 31,102 số chữ số của số 2100 là 31 6/ Số chính phương P có dạng P 17712ab81 . Tìm các chữ số a,b biết rằng a b 13 7/ Số chính phương Q có dạng Q 15cd26849 . Tìm các chữ số c,d biết rằng c2 d 2 58 8/ Số chính phương M có dạng M 1mn399025 chia hết cho 9. Tìm các chữ số m,n Chuyên đề 9: phương trình, hệ phương trình, phương pháp lặp 4x 2 y 2 4xy 4 1/ Tìm nghiệm của hệ phương trình sau : 2 2 x y 2(xy 8) 0 2/ Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương pháp lặp : x2 + sin x –1 = 0 3 2 13x 26102x 2009x 4030056 0 3/ Giải hệ phương trình: 2 2 (x x 4017)(y y 1) 4017 3 1 x 2 2y 2 3 x 2 y 2 2x 7y 13 0 4/ 5/ 7 2 2 x y 5x y 6 0 2 2 4 3x y 5 13 1 (x y)(1 ) 5 xy xy x y 12,34 3 x 3 y 3 6/ 6/ Cho 2 2 Tính P= 2 2 1 x y xy 34,12 (x y )(1 2 2 ) 9 x y a 3 3ab 2 19 7/ Cho a, b thoả mãn: . Tính P = a2+b2. 3 2 b 3a b 98 8/ Tìm nghiệm nguyên dương x2+2y2=2008 9/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7(x+y)=3(x2-xy+y2) 5 10/ Tìm nghiệm nguyên dương 3x + 4y =95 11/ Tìm cặp số ( x , y ) nguyên dương với x nhỏ nhất thỏa phương trình : 3 156x 2 807 (12x)2 20y 2 52x 59 Chuyên đề 10: HÀM SỐ, GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 3 2 5 1/ Cho hai hàm số y= x + 2 (1) và y = - x + 5 (2) 5 5 3 a/ Vẽ đồ thị của hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ của Oxy b/ Tìm tọa độ giao điểm A(xA, yA) của hai độ thị (kết quả dưới dạng phân số hoặc hỗn số) c/ Tính các góc của tam giác ABC, trong đó B, C thứ tự là giao điểm của đồ thị hàm số (1) và độ thị của hàm số (2) với trục hoành (lấy nguyên kết quả trên máy) d/ Viết phương trình đường thẳng là phân giác của góc BAC (hệ số góc lấy kết quả với hai chữ số ở phần thập phân) 2/ Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12,5km / h . ( Kết quả chính xác với 2 chữ số thập phân) 3/ Lúc 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít hơn lúc đầu là 10,5km / h . Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc 11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút) Chuyên đề 11: HÌNH HỌC C 1/ Tam giác ABC có Aµ 90o; AB = c = 1010 cm; AC = b = 2010 cm. Biết AD, AE lần lượt là phân giác góc trong và góc ngoài ở đỉnh A của ABC (như hình vẽ) a/ Tính các góc còn lại của ABC ra độ và phút D b/Viết công thức tính AD, AE theo b, c? Áp dụng tính AD và AE A B (Trình bày ngắn gọn lời giải và ghi kết quả tính AD, AE vào ô vuông) Kẻ DM AC, EM  AC mà AB AC MD  AB, NE  AB *AD là phân giác trong của ABC và MD  AB E AB BD AM AB AM AB.AC AM AC CD MC AC AB MC AM AB AC N A M AB.AC - AMD vuông cân tại M AD = AM. 2 = . 2 C AB AC *AD là phân giác ngoài của ABC và NE  AB AB BE AN AB AN AB.AC D AN B AC CE NC AC AB NC AN AC AB AB.AC - ANE vuông cân tại N AE = AN. 2 = . 2 AC AB E 2/ Tam giác ABC có 0o< Â < 90o và sin BAC = 0,6153 ; AB =17,2 cm ; AC = 14,6 cm; đường cao BH. Tính : 1) Độ dài cạnh CH ? 2) Độ dài cạnh BC ? 3)Trung tuyến AM của tam giác ABC 3/ Hình chóp tứ giác đều O.ABCD có độ dài cạnh đáy BC a , Q độ dài cạnh bên OA l M K O P a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của N l D 6 A H C B a hình chóp O.ABCD theo a và l . b/ Tính ( chính xác đến 2 chữ số thập phân) diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp O.ABCD khi cho biết a 5,75cm,l 6,15cm c/ Người ta cắt hình chóp O.ABCD cho trong câu 1 bằng mặt phẳng song song với đáy ABCD sao cho diện tích xung quanh của hình chóp O.MNPQ được cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều MNPQ.ABCD được cắt ra. Tính thể tích hình chóp cụt được cắt ra ( chính xác đến 2 chữ số thập phân ) PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH f (x) 0 Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (a,b) . Giải phương trình f (x) 0 bằng phương pháp lặp gồm các bước sau: 1. Đưa phương trình f (x) 0 về phương trình tương đương x g(x) . 2. Chọn x0 (a,b) làm nghiệm gần đúng ban đầu. 3.Thay x x0 vào vế phải của phương trình x g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ nhất x1 g(x0 ) . Thay x1 g(x0 ) vào vế phải của phương trình x g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2 g(x1 ) . Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng x1 g(x0 ) , x2 g(x1 ) , x3 g(x2 ) , x4 g(x3 ) ,..., xn g(xn 1 ) , ... Nếu dãy các nghiệm gần đúng xn  , n 1,2,... hội tụ, nghĩa là tồn tại lim xn x thì (với giả thiết hàm g(x) là n liên tục trong khoảng (a,b) ) ta có: x lim xn lim g(xn 1 ) g(lim xn 1 ) g(x) . n n n Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phương trình x g(x) và do đó x cũng là nghiệm đúng của phương trình f (x) 0 . Tính hội tụ: Có nhiều phương trình dạng x g(x) tương đương với phương trình f (x) 0 . Phải chọn hàm số g(x) sao cho dãy xn  xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta có tiêu chuẩn sau. Định lý. Giả sử (a,b) là khoảng cách ly nghiệm x của phương trình f (x) 0 và phương trình x g(x) tương đương với phương trình f (x) 0 . Nếu g(x) và g '(x) là những hàm số liên tục sao cho g (x) q 1 x a,b thì từ mọi vị trí ban đầu x (a,b) dãy x xây dựng theo phương pháp lặp x g(x ) sẽ hội tụ tới nghiệm 0 n  n n 1 x (a,b) f (x) 0 duy nhất trong khoảng của phương trình . Thí dụ 1. Giải phương trình x3 x2 1 0 . Phương trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) và tương đương với 2x 1 x 3 x2 1 . Do g(x) 3 x2 1 có đạo hàm g '(x) thỏa mãn điều kiện g '(x) 1 trong khoảng 33 (x2 1)2 3 4 3 2 (1;1.5) nên dãy lặp xn 1 xn 1 hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (1;1.5) . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 7 Khai báo hàm g(x) 3 x2 1 : SHIFT 3 ( ALPHA X x2 1 ) Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 1 và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans ta cũng đi đến x 1.465571232 . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0 1 bằng cách bấm phím 1 . 3 2 Khai báo dãy xấp xỉ xn 1 g(xn ) xn 1 : SHIFT 3 ( Ans x2 1 ) Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến x 1.465571232 . Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x 1.465571232 . Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình ex x 3 0 . Vì f (x) ex x 3 có đạo hàm f '(x) ex 1 0 x nên nó đồng biến trên toàn trục số. Hơn nữa, f (0) 3 , f (1) e 2 0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1) . Phương trình đã cho tương đương với x ln(3 x) . 1 1 Đặt g(x) ln(3 x) thì g '(x) nên g '(x) x 0,1 . 3 x 2 Do đó dãy lặp xn 1 ln(3 xn ) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1) . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo g(x) ln(3 x) : ln ( 3 ALPHA X ) Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? 1 Khai báo giá trị ban đầu x : 1 ab / c 2 và bấm phím . 0 2 Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans ta cũng đi đến x26 x27 x28 0.792059968 . Vậy nghiệm gần đúng là 0,792059968 . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 1 Khai báo giá trị ban đầu x : 1 ab / c 2 và bấm phím . 0 2 Khai báo dãy xấp xỉ xn 1 g(xn ) ln(3 xn ) : ln ( 3 Ans ) Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến x26 x27 x28 0,792059968 . Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x 0,792059968 Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bước lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206. Nhận xét 2. Nếu ta đưa phương trình ex x 3 0 về dạng x 3 ex thì g(x) 3 ex có đạo hàm g '(x) ex không thỏa mãn điều kiện g '(x) q 1 x 0,1 8 nên ta chưa thể nói gì được về sự hội tụ của dãy lặp. Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát x0 2 ([2], trang 62) thì cần nhiều bước lặp hơn. Dùng lệnh solve để giải phương trình trên Maple: > solve(exp(x)+x-3,x); -LambertW(exp(3)) + 3 Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW. Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30); .79205996843067700141839587788 Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý. Thí dụ 3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x ln x 0 . 1 1 Vì f (x) x ln x là một hàm đồng biến ngặt trên (0, ) . Hơn nữa f (1) 1 0 và f ( ) 1 0 nên phương e e 1 trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1) . e Phương trình đã cho tương đương với x e x g(x) . x x 1 1 xn Vì g '(x) e nên g '(x) e 1 với mọi x ( ,1) nên dãy lặp xn 1 e hội tụ. e e e Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo g(x) e x : SHIFT ex ( ALPHA X ) 1 Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x : 0 2 1 ab / c 2 và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans ta cũng đi đến x 0,567143290 . Vậy nghiệm gần đúng là x 0,567143290 . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: 1 Khai báo giá trị ban đầu x : 1 ab / c 2 và bấm phím . 0 2 x g(x ) e xn SHIFT ex ( Ans ) Khai báo n 1 n : Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến x 0,567143290 . Vậy nghiệm gần đúng là x 0,567143290 . Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x cos x : g(x) . Vì f (x) x cos x có đạo hàm f '(x) 1 sin x 0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc x 2k nên nó 2 là hàm đồng biến ngặt. Do f (0) 1 và f ( ) nên phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0, ) . 2 2 2 Hiển nhiên g '(x) sin x sin( ) 1 với mọi x (0, ) với  đủ nhỏ nên dãy x cos x hội tụ trong 2 2 n 1 n khoảng (0, ) . 2 Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian). Khai báo g(x) cos x : cos ALPHA X 9 Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 1.5 và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans ta cũng đi đến x 0,739085133 radian . Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS: Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS. Khai báo giá trị ban đầu x0 1.5 : 1.5 và bấm phím . x g(x ) cos x cos Ans Khai báo n 1 n n : Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến x 0.739085133. Thí dụ 5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 3x 1 0 . Vì f ( 2) 1, f ( 1) 3 , f (1) 1, f (2) 3 và x3 3x 1 0 là phương trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1) , ( 1,1) , (1,2) . Phương trình trên tương đương với x 3 3x 1 . Xét khoảng ( 2, 1) . 3 1 1 3 Đặt g(x) 3x 1 . Ta có g '(x) 1 nên dãy xn 1 3xn 1 hội tụ trong khoảng ( 2, 1) . 3 (3x 1)2 3 16 Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE 1 (tính theo số thực). Khai báo g(x) 3 3x 1 : SHIFT 3 ( 3 ALPHA X 1 ) Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 1 và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans ta cũng đi đến x1 1,879385242 . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0 1: 1 và bấm phím . 3 3 Khai báo xn 1 g(xn ) 3xn 1 : SHIFT ( 3 Ans 1 ) Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến x1 1,879385242 . Vậy một nghiệm gần đúng là x1 1,879385242 . Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phương trình bậc hai ta tìm được hai nghiệm còn lại là: x 1,53208886 và x 0,3472963 . 3 Chú ý: Để tính nghiệm x2 0,3472963 ta không thể dùng phương trình tương đương x 3x 1 g(x) như trên 1 3 vì g '(x) không thỏa mãn điều kiện g '(x) q 1 trong khoảng (0,1) và dãy lặp xn 1 3xn 1 không 3 (3x 1)2 3 hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu x 0,3472963 và thực hiện dãy lặp xn 1 3xn 1 theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới x1 1,879385242 ). Nhận xét 1: Có thể giải phương trình x3 3x 1 0 trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chương trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau: Vào MODE giải phương trình bậc ba: MODE MODE 1 3 Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 = Máy hiện đáp số x1 1.53088886 . Bấm tiếp phím = , máy hiện x2 1.879385242 . 10