Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 (hình học)

BỒI DƯỠNG HSG LỚP 5.(HÌNH HỌC) I-MỘT SỐ KIẾN THỨC CẤN NHỚ: 1) Hình tam giác : -Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh, 3 góc.Cả 3 cạnh đều có thể coi là đáy . -Hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu đáy cạnh tam giác này gấp 3 lần cạnh đáy của tam giác kia thì đường cao của nó bằng 1/3 đường cao của tam giác kia. -Đường cao : Đoạn thẳng vuông góc hạ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện. - Trong một tam giác có 3 đường cao. -3 đường cao của tam giác gặp nhau tại một điểm : +Tam giác vuông điểm đó là đỉnh góc vuông. +Tam giác có 3 góc đều nhọn: điểm đó nằm trong tam giác. +Tam giác có một góc tù :điểm dố nằm ngoài tam gíac. -Phân loại tam giác : +Tam giác thường : 3 cạnh không bằng nhau,không có góc vuông,không có 2 hoặc 3 góc bằng nhau. +Tam giác cân: 2 cạnh bên bằng nhau. +Tam giác đều: 3 cạnh bằng nhau . +Tam giác vuông: có 1 góc vuông. -Một số công thức: Gọi S là diện tích, a là số đo cạnh đáy, h là số đo đường cao ta có : S = ; a = ; h = . -Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi: +Chúng có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau. +Chúng có chung cạnh đáy và chiều cao bằng nhau. +Chúng có chung chiều cao và đáy bằng nhau. A B A B S1 h h s2 a a D C D C S 1 = S 2 S ACD = S BCD S ABD = S ABC -Hai tam giác có diện tích bằng nhau,cạnh đáy bằng nhau thì chiều cao tương ứng với đáy sẽ bằng nhau. -Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì hai cạnh đáy tương ứng bằng nhau. -Hai tam giác có diện tích bằng nhau,khi cạnh đáy tam giác 1, gấp cạnh đáy tam giác 2 bao nhiêu lần thì đường cao tam giác 1, kém đường cao tam giác 2 bấy nhiêu lần . Đáy 1 = cao 2 Đáy 2 cao 1 -Hai tam giác có diện tích bằng nhau và có một phần diện tích chung thì hai phần diện tích còn lại cũng bằng nhau. A D S ABC = S DBA M S 3 chung => S 1 = S 2 1 3 2 C B Ví dụ : Cho tam gíac ABC vuông tại A. canh AB =a ,cạnh AC = b,M C AC, MN //AB và MN = c.Tính MA ? B E N Hướng giải: S ABC – S ANC = SABN Biết S ABN , biết AB = a,=> NE. A M C Tứ giác ABNM hình thang vuông nên AM=NE. Ví dụ 2: Cho tam giác ABCcó diện tích là 160 cm2. Các điểm M,N,P lần lượt là điểm chính giữa của các cạnh AC, AB, BC. Nối MN, NP, PM. Tính diện tích các tam giác AMN, NBM, MNP, và MPC. Hướng giải : Nối CN => S ANC = S NBC ( có đáy AN = NB, chung A chiều cao hạ từ C xuống AB ) M N -Xét 2 tam giác CNP và NBP ta có CP = PB ( P điểm giữa CB ) chung chiều cao hạ từ N xuống BC => S CNP = S NBP. C P B => S NBP = x S ABC = 160 x = 40 cm2 Tương tự nối BM => S AMN = x S ABC nối AP => S MPC = x S ABC. 2) Hình thang : -Hình thang là tứ giác có 4 cạnh, hai cạnh song song :đáy lớn ( a ) và đáy bé ( b). -Đoạn thẳng vuông góc nối giữa hai đáy gọi là đường cao.=> Có vô số đường cao. -Phân loại : Hình thang thường ,hình thang vuông, hình thang cân. -Các công thức : S= (a + b) x h . h = S x 2 a + b = S x 2 . 2 a + b h - Các cặp tam giác có diện tích băng nhau trong hình thang: B C -S ABD = S ACD ( chiều cao bằng nhau, I chung đáy AD ) -S ABI = S CDI ( Hai tam giác có diện tích bằng nhau và S AID chung) A D -S ABC = S BCD ( chung đáy BC và chiều cao bằng nhau). A B Ví dụ : Cho hình thang ABCD,diện tích AOD = 10,5 cm2,diện tích ABO = 3,5 cm2 .Tính diện tích o hình thang ABCD ? D C Hướng giải: -Biết S AOD => SBOC = 10,5 cm2. ( chung đáy AB, đường cao bằng nhau ) -S BOC gấp S ABO là: 10,5 : 3,5 = 3 (lần). - =>cạnh đáy OC gấp 3 lần cạnh đáy AO. (chung đường cao hạ từ B xuống AC.) -SAOD = SDOC. (chung đường cao hạ từ D xuống AC,cạnh đáy AO = OC) - => S DOC là: 10,5 x 3 . => S ABCD. II- Bài tập : Bài 1:Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm giữa cạnh AC. Trên hình đó có hình thang BENM. Nối B với N, E với M, hai đoạn này gặp nhau ở điểm o. A a)So sánh diện tích tam giác OBM và diện tích tam E giác OEN N b) So sánh diện tích tam giác EMC và tứ giác AEMB. ( Hình bên ) o B M C Giải: a) BENM là một hình thang do đó các đường cao kẻ từ M A và từ N đến đáy BE là bằng nhau. Ta suy ra các tam Giác MBE và NBE có diện tích bằng nhau nghĩa là : S2 S1 + S3 = S2 + S3. Suy ra S1 =S2 S3 o Vậy hai tam giác OBM và OEN có diện tích bằng S1 nhau B M C b) Hai tam giác BAN và BCN có cùng chiều cao và có cạnh đáy bằng nhau (AN = CN) nên có cùng diện tích . Ta có : Diện tích hình AEMB = diện tích hình AEOB = S1 = diện tích hình AEOB = S2 = diện tích tam giác BAN. Mặt khác ta có : Diện tích tam giác EMC = S2 + diện tích hình OMCN = S1 + diện tích hình OMCN = diện tích tam giác BCN = diện tích tam giác BAN. Vậy : Tam giác EMC và tứ giác AEMB có diện tích bằng nhau. Bài 2: Cho hình tam giác ABC có góc A là góc vuông, AB= 15cm, AC = 18cm, P là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = 10cm. Qua điểm P, kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt cạnh AC tại Q. Tính diện tích của hình tam giác APQ. Giải: B Ta có : PB = AB- AP P = 15CM – 10CM =5CM. Suy ra S CPB = CA x PB A Q C = x 18,5 = 45(cm2). Nhưng ta lại có : S CQB = S CPB Nên S CQB = 45cm2 Hay AB x QC = 45 x 15 x QC = 45 QC = 6 (cm). Ta suy ra AQ = AC – QC = 18 – 6 = 12(cm). Do đó ta có : S APQ = AP x AQ = x 10 x 12 = 60 (cm2) Đáp số: S APQ = 60 cm2 Bài 3: Cho tam giác ABC, M là điểm chính giữa cạnh BC, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = x AC. Nối điểm M với điểm N. Kéo dài MN và AB cắt nhau tại P. Nối điểm P với điểm C. Cho biết diện tích tam giác APN bằng 10cm2 ( xem hình vẽ). P Tính diện tích tam giác PNC Tính diện tích tam giác ABC. A N . B M C Giải : SPNC = SPNA x 3 vì hai tam giác này có đáy NC = NA x 3 và có chung chiều cao hạ từ P xuống AC. Do đó: S PNC = 10 x 3 = 30 (cm2) b)-Hai tam giác PMB và PMC có MB = MC P và có chung chiều cao hạ từ P xuống BC. Do đó : S PMB = S PMC. A 10cm2 Hai tam giác này lại có chung đáy PM N nên có hai chiều cao tương ứng bằng nhau D là BD = CG. - Hai tam giác PNB và PNC có chung đáy PN B M C và có hai chiều cao tương ứng bằng nhau là G BD = CG nên : S PNB = S PNC = 30 cm2 ( theo câu a ) Do đó : SABN = 30 – 10 = 20 (cm2). Hai tam giác ABC và ABN có AC = AN x 4 và có chung chiều cao hạ từ B xuống AC. Do đó : SABC = SABN x 4 = 20 x 4 = 80 (cm2) Đáp số : a) S PNC = 30 cm2 b) SABC = 80 cm2.