Bộ đề thi tự luận - Môn Toán - Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học - Cao đẳng

b b c a c b c a c a b a c a b b c                      www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 255 B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2 2: 16C x y  . Viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai 1 2 e  biết elip cắt đường tròn  C tại bốn điểm , , ,A B C D sao cho AB song song với trục hoành và 2AB CD . 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm    2;0;0 , 1;1;1A H . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua ,A H sao cho  P cắt ,Oy Oz lần lượt tại ,B C thỏa mãn diện tích tam giác ABC bằng 4 6 . Câu VII a (1,0 điểm). Cho số phức 1 3 2 2 z i   . Hãy tính 21 z z  . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol   2: 16P y x và điểm  1;4A . Hai điểm phân biệt ,B C ( khác A ) di động trên  P sao cho  090BAC  . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2 3 6 18 0x y z     . Gọi , ,A B C lần lượt là giao điểm của   với các trục , ,Ox Oy Oz và gọi H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi M thuộc mặt phẳng   không trùng với các điểm , , ,A B C H ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 22 MA MB MC MH OA OB OC OH     . Câu VII b (1,0 điểm). Giải bất phương trình:  2 3 4 2 22 25 6 log log 5 5 6x x x x x x x x x x         . BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C :        2 2 2 2 3 2 1 1 0 *2 1 xx x m x m x mx               Vì   24 4 25 0 1 3 0 m m m f         nên phương trình  * luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1 với mọi m . Vậy d luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt m  . Gọi    1 1 2 2; , ;A x x m B x x m  là tọa độ giao điểm của d và  C . www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 256 Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 2 3 , 1 2 mx x x x m      . Ta có:        2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22 4 2 2OA OB x x m x x m x x x x m x x m             =  21 4 2 17 2 m m  . Giả thiết  2 2 2 2 5 37 1 374 2 17 2 10 0 2 2 2 2 2 m OA OB m m m m m                . Vậy 5 2 m   hoặc 2m  là những giá trị cần tìm. Câu II 1. Điều kiện: 1 2 13 2 sin os x c x         . Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với: 5sin 5cos3 2sin 1 2cos3 1 0x x x x        2sin os3 5 0 2sin 1 2cos3 1 x c x x x           . Do đó:  8 2sin os3 os os3 2 4 x k x c x c x c x k x k                       . Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác và so sánh với điều kiện ta được các nghiệm cần tìm là:  52 ; 2 8 8 x kk x k       . 2. Điều kiện: 0 ; 33 3 0 ; 0x y x x y y     . Ta có:    2 2 3 2 3 36 2 3 3 3 3 3 x y x y x yx x y y y x y y y y y               . Đặt 3x y t y   . Khi đó: 2 1 2 3 0 3 2 t t t t          . + Với 1t   ta có: 2 2 0 0 3 3 3 y y x y y x y y x y y               . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 2 2 22 2 5 4 2 2 5 4 2 2 5 4y y y y y y y y y            www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 257 2 4 4 2 7 4 0 1 0 2 y x y y y              . + Với 3 2 t  ta có: 2 0 33 92 3 4 y x y y x y y         . Thay vào phương trình thứ hai ta được: 2 29 5 92 5 4 4 2 2 y y y y    . Đặt 2 9 4 u y y  , 0u  . Ta có: 2 2 2 2 4 0 1 0 u u u u          . Với 2u  suy ra: 2 8 8 9 10 16 0 9 9 2 0 y x y y y            . Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:   8 84; 4 , ; 9 9       . Câu III Ta có:      2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1I x x x dx x x dx x x dx J K             .           2 22 2 23 1 5 3 2 2 2 2 1 11 1 1 2 2 8 3 4 21 1 1 1 1 1 1 5 3 5 15 J x x dx x dx x dx x x                     2 2 2 1 1 1 1 1 1K x x dx x x dx       . Đặt 21 1 2t x t x dx dt           11 1 2 4 2 5 3 0 0 0 2 4 262 .2 2 2 5 3 5 K t t tdt t t dt t t            . Vậy 8 3 4 2 26 5 15 5 I    . Câu IV Ta có: 2 2 2 2 2 3 4 4 8 8D MN A B C D D A M B MN D CN a a a aS S S S S a                    . 2 31 1 3. . 3 3 8 8AD MN D MN a aV AA S a    . Gọi H là hình chiếu của S lên D N và  là góc giữa AD và D N . N M D A C B A' D' C'B' H www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 258 Ta có: 5 32 , , 2 2 a aAD a D N AN    . 22 2 2 2 3sin 1 os 1 . 2. . 10 D A D N ANc D A D N               3 3.sin 2. 10 5 aAH AD a   . Vậy 3 8AD MN aV   và   3, 5 ad A D N  . Câu V Đặt , , x a b y b c z a c      . Suy ra:  2 1x y z a b c      . Khi đó: xy yz zxP xy z yz x zx y       . Ta có:      1 2 .xy xy xy xy x y xy z xy z x y z x z y z xy z x y x zy y zx z z                   . Chứng minh tương tự ta được: 1 2 yz y z yz x y x z x         ; 1 2 z x z y x x zx y y z         . Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 3 2 P  . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 6 a b c   . Vậy 3max 2 P  khi 1 6 a b c   . B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VIa 1. Giả sử elip có phương trình chính tắc là:   2 2 2 2: 1 x yE a b   . Theo đề: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 4 4 4 c c a be b a a a a          . Suy ra elip có phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 4 1 3 4 3 3 x y x y a a a      . Tọa độ các giao điểm , , ,A B C D của  E và  C là nghiệm của hệ 2 2 2 2 2 16 3 4 3 x y x y a       (I) Do  E và  C cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và AB song song Ox nên ,A B đối xứng nhau qua Oy ; ,C D đối xứng nhau qua Ox . 2 22 2 2.2 4AB CD x y x y     (*) www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 259 Giải hệ  I ta tìm được: 2 264 16, 5 5 x y  . Thay vào (*) ta tìm được: 2 256 15 a  . Vậy elip có phương trình là   2 2 : 1256 64 15 5 x yE   . 2. Giả sử    0; ;0 , 0;0;B b C c ; 0,b c  . Suy ra   : 1 2 x y zP b c    .    1;1; 11 1 1 2 P b H c     (1) 2 2 2 21 14 6 ; 4 6 4 4 4 6 2 2ABC S AB AC b c c b           2 2 2 24 4 384b c b c    (2) Đặt , u b c v bc   . Từ (1) và (2) ta có:  2 2 2 8, 16 4 2 384 6, 12 v u u v v u v u v            . Suy ra: 4b c  ; 3 21b c     ; 3 21b c     . Vậy có ba mặt phẳng  P thỏa mãn là: 2 4 0x y z    ;    6 3 21 3 21 12 0x y z      ;    6 3 21 3 21 12 0x y z      . Câu VIIa Ta có: 2 1 3 2 2 z i   . Do đó: 2 1 3 1 31 1 0 2 2 2 2 z z i i                         . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VIb 1.   2 2 , ; , ; 16 16 b cB C P B b C c               với 4, 4, cb b c   . Ta có: 2 2 1; 4 , 1; 4 16 16 b cAB b AC c                    và  090BAC  nên:     2 2 . 0 1 1 4 4 0 16 16 b cAB AC b c                   . Khai triển rồi phân tích thành nhân tử ta được:    272 4 0b c b c bc       . Dễ dàng lập được phương trình đường thẳng BC là:  16 0x b c y bc    . Rõ ràng  17; 4 BM C  nên BC luôn đi qua một điểm cố định  17; 4M  . 2. Ta luôn có: 2 2 2 2 1 1 1 49 1 324OA OB OC OH     . www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 260    ; ; 2 3 6 18 0 1 9 6 3 a b cM a b c a b c          (*) Ta có:   2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 9 2 21 1 9 9 a b cMA a b c a OM a OA OA OA OA             . Tương tự: 2 2 2 2 2 1 6 MB OM b OB OB    ; 2 2 2 2 2 1 3 MC OM a OC OC    . Kết hợp với (*) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1MA MB MC OM OA OB OC OA OB OC           = 2 2 2 2 2 2 21 1 2 OM OH MH MH OH OH OH       . Câu VIIb Điều kiện: 26 0 0 3 0 x x x x         . Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với:   2 26 1 log 5 0x x x x x      (1) + Với 0 1x  thì dễ thấy bất phương trình (1) vô nghiệm. + Với 1 3x  thì: 2 23log 35 0log 5x x    . Do đó:   2 2 2 1 1 6 1 0 6 1 2 3 5 0 5 2 x x x x x x x x x x                      Suy ra: 5 2 x  . Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là: 5 ;3 2 S      . www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam