Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 7: Tọa độ trong không gian Oxyz

ao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là hình chiếu của trên ; là hình chiếu của trên . Ta có (Không đổi) GTLN của là lớn nhất khi . Ta có , qua và Vậy . Trong không gian với hệ trục toạ độ cho mặt phẳng và hai đường thẳng ; Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với ; cắt và tạo với góc Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là đường thẳng cần tìm, là VTPT của mặt phẳng . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và Ta có: Ta có Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là . Khi đó, Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến lớn nhất biết rằng không cắt đoạn . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm đoạn ; các điểm lần lượt là hình chiếu của trên . Ta có tứ giác là hình thang và là đường trung bình. Mà (với không đổi) Do vậy, lớn nhất khi đi qua và vuông góc với Trong không gian với hệ trục toạ độ cho các điểm trong đó dương và mặt phẳng . Biết rằng vuông góc với và , mệnh đề nào sau đây đúng? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có phương trình mp( là Ta có Từ (1) và (2) . Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm . Điểm sao cho giá trị của biểu thức nhỏ nhất. Khi đó, điểm cách một khoảng bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Ta có với nhỏ nhất khi nhỏ nhất là hình chiếu vuông góc của trên . (Đề minh họa L1) Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm và . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. B. C. D. Có vô số mặt phẳng. Hướng dẫn giải Ta có: Suy ra: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Khi đó, mặt phẳng cách đều cả 4 điểm A, B, C, D sẽ có hai loại: Loại 1: Có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại (đi qua các trung điểm của 3 cạnh chung đỉnh) có 4 mặt phẳng như thế). Loại 2: Có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại (đi qua các trung điểm của 4 cạnh thuộc hai cặp cạnh chéo nhau) có 3 mặt phẳng như thế). Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C. (Đề minh họa L1 )Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng có phương trình: . Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Do cắt nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi . Phương trình tham số của : . Do , suy ra Do nên là vectơ chỉ phương của . Theo đề bài, vuông góc nên (là vector chỉ phương của ). Suy ra . Giải được . Vậy Chọn đáp án B. (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số . A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Ta có: ; ; và Ta có: thẳng hàng và Chọn đáp án A. (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng và A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Ta có: đi qua điểm và có VTCP . và đi qua điểm và có VTCP Vì song songvới hai đường thẳng và nên VTPT của là Khi đó có dạng loại đáp án A và C. Lại có cách đều và nên đi qua trung điểm của . Do đó Chọn đáp án B. (Tạp chí THTT Lần 5) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và cách một khoảng lớn nhất. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là hình chiếu của trên vuông tại . Khi đó đi qua và vuông góc với là vecto pháp tuyến của phương trình của mặt phẳng là hay Chọn đáp án A. (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Tìm điểm trong mặt phẳng có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện bằng 2 và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm thỏa mãn bài toán là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Vì , do cao độ âm nên Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 1 Suy ra tọa độ . Ta có: Mà . Chọn đáp án Chọn đáp án A. (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm . Mặt phẳng đi qua điểm cắt tại sao cho là trực tâm của tam giác . Phương trình của mặt phẳng là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Do tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc nên nếu là trực tâm của tam giác dễ dàng chứng minh được hay . Vậy mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT nên phương trình là Chọn đáp án D. (THPT Chuyên ĐHKH Huế Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , điểm nằm trên mặt phẳng và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là trung điểm của . Biết đường thẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Ta có tam giác luôn vuông tại . Gọi là trung điểm của (Điểm cố định). Ta có tam giác vuông tại có là đường trung tuyến nên Ta có là đường trung bình của tam giác nên song song với mà Mặt khác tam giác cân tại . Từ đó suy ra là đường trung trực của Nên Vậy luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính Chọn đáp án A. (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , điểm nằm trên mặt phẳng và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là trung điểm của . Biết đường thẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có tam giác luôn vuông tại . Gọi là trung điểm của (Điểm cố định) Ta có tam giác vuông tại có là đường trung tuyến nên Ta có là đường trung bình của tam giác nên song song với mà Mặt khác tam giác cân tại . Từ đó suy ra là đường trung trực của Nên Vậy luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Cho điểm và mặt cầu có phương trình và điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp xúc với sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Giả sử là một vectơ pháp tuyến của . Lúc đó A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Mặt phẳng qua có dạng . Điều kiện tiếp xúc: . (*) Mà . Dấu bằng xảy ra khi . Chọn thỏa mãn (*). Khi đó . Suy ra . Suy ra: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong không gian cho đường thẳng và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Đường thẳng có VTCP là . Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP là . Do nên . Giả sử VTPT của là . Phương trình có dạng . Do nên . Gọi là góc giữa và . Ta có . TH1: Với thì . TH2: Với đặt ta có . Xét hàm số trên . Ta có . . Và . Bảng biến thiên 0 0 Từ đó ta có khi . Khi đó . So sánh TH1 và Th2 ta có lớn nhất là khi . Chọn . Phương trình là . (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong không gian cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Khi đó A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Mặt cầu có tâm và bán kính Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc Suy ra phương trình tham số của đường thẳng là . Gọi lần lượt là giao của và , khi đó tọa độ ứng với là nghiệm của phương trình Với Với Với mọi điểm trên ta luôn có Vậy khoảng cách từ đến là lớn nhất bằng khi Do đó (LÊ HỒNG PHONG) Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu tâm có phương trình . Đường thẳng cắt tại hai điểm . Tính diện tích tam giác . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Mặt cầu có tâm , bán kính Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Khi đó: , với ; Vậy Suy ra Vậy, (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau: * Mặt phẳng qua và nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến. Phương trình là : * Mặt phẳng qua và nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến. Phương trình là : Suy ra hai mặt phẳng và song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Trong không gian , cho điểm Điểm trong mặt phẳng có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện bằng 2 và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm thỏa mãn bài toán là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Vì , do cao độ âm nên Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 1 Suy ra tọa độ . Ta có: Mà . Chọn đáp án Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Biết rằng khi thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng và cùng đi qua . Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó. A.. B. . C. . D. . Lời giải tham khảo: Gọi lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu . Do mặt cầu tiếp xúc với nên ta có TH1: Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều kiện sao cho không phụ thuộc vào . Do đó luôn đúng với mọi Suy ra . Lại có nên suy ra : TH2: làm tương tự TH1 (trường hợp này không thỏa đề bài ) Tóm lại : Khi thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng và cùng đi qua và có tổng bán kính là : suy ra chọn D Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm và . Kí hiệu là đường thẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ các điểm đến lớn nhất. Hỏi đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải tham khảo: Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là : . Dễ thấy .Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Suy ra .Dấu bằng xảy ra khi . Hay tổng khoảng cách từ các điểm đến lớn nhất khi d là đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng suy ra chọn B Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm và mặt phẳng . Tính thể tích của khối tứ diện biết đỉnh thuộc mặt phẳng và . A. . B. . C. . D. . Lời giải tham khảo: Gọi . Ta có : Do Ta có hệ : . Lại có : Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng và .Gọi D là điểm đối xứng của B qua C .Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng ? A. B. C. D. Lời giải tham khảo : Cách 1 : Dựng CG vuông góc với , Qua E dựng mặt phẳng vuông góc với , mặt phẳng này cắt CG tại F . Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD .Đặt Xét hình chữ nhật : Lại có : .Từ (1) và (2) suy ra Suy ra chọn D Cách 2 : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ . Ta có : suy ra chọn D