Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 6: Khối tròn xoay

kính đáy hình nón là , chiều cao hình nón là . Gọi là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón thì ta có . Gọi là thể tích khối nón thì Vậy thể tích đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi , từ đó hay . Chọn C. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính cho trước có thể tích bằng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính và hình tròn này nội tiếp tam giác cân Kí hiệu bán kính đáy hình nón là , chiều cao hình nón là thì \ Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính là Ta có Từ đó , tức là đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi từ đó . Gọi và lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Khi và thay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì cắt hình nón. Theo tam giác cân , cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân. Khi đó, bán kính của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức , ở đó Xét Vì nên khi xét dấu của , ta chỉ cần xét dấu của . Ta có . Dễ thấy vì khi thì , đồng thời Vậy là hàm tăng trên miền và nên Với thì Cho khối nón tròn xoay có đường cao , bán kính đáy . Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có . Từ tâm O của đáy ta kẻ tại H, ta có và do đó theo giả thiết ta có . Xét tam giác vuông SOI ta có: Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có : Do đó Gọi St là diện tích của thiết diện SAB. Ta có: , trong đó Vì nên và Vậy thiết diện SAB có diện tích là: . Chọn A. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Mặt phẳng tạo với mặt đáy góc và điểm là trọng tâm tam giác . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng: A. B. . C. D. Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm , ta có . Trong , có ; . Gọi là trọng tâm tam giác đều , suy ra cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp Vì lặng trụ đứng nên . Do đó là trục của tam giác . Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại . Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính Ta có . Chọn D. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng và có chiều cao bằng Hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa và trục của hình trụ bằng . Khoảng cách giữa và trục của hình trụ bằng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có Gọi là đường sinh của hình trụ thì và . Vì nên Gọi là trung điểm , suy ra nên . Tam giác vuông tại nên Suy ra tam giác đều có cạnh bằng nên Chọn C. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Gọi là trọng tâm tam giác , là bán kính mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng . Đẳng thức nào sau đây sai? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có . Tam giác đều cạnh nên . Trong tam giác vuông , ta có . Vì mặt cầu có tâm và tiếp xúc với nên bán kính mặt cầu Ta có Gọi lần lượt là trung điểm và . Suy ra và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , suy ra . Ta có Từ và , suy ra nên . Trong tam giác vuông , ta có . Vậy . Chọn D. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Gọi là chiều cao của khối chóp và là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số bằng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là tâm , suy ra và Trong , ta có Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn cắt tại , suy ra ● nên . ● nên . Do đó nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . Gọi là tung điểm , ta có nên Vậy Chọn C. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi , suy ra . Ta có . Trong , ta có . Ta có là trục của hình vuông . Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực của đoạn . Gọi . Xét có đều. Do đó cũng là đường trung tuyến của . Suy ra là trọng tâm . Bán kính mặt cầu . Suy ra Chọn D. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp có bán kính bằng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là tâm của hình vuông . Ta có là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi là trung điểm của và là chân đường phân giác trong của góc . Suy ra là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính . Ta có Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: Chọn B. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có Khi quay quanh trục , tam giác tạo ra một hình nón có thể tích Khi quay quanh trục , hình vuông tạo ra một hình trụ có thể tích Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục là (NGÔ QUYỀN – HP) Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang quanh trục , biết . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Công thức tính thể tích khối nón cụt . Trong đó là độ dài đường cao, lần lượt là bán kính hai đáy. Gọi là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang quanh trục . Gọi là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang quanh trục . Khi đó . Ta có và . Vậy . (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là , độ dài đường sinh là và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng , lồng vào nhau như hình vẽ. . Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có . Thể tích khối nón lớn (có đường cao ) là . Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao ) là Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là . Thể tích khối trụ là là . Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là . (CHUYÊN KHTN L4) Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay , một mặt phẳng chứa trục của cắt theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của (đơn vị ). A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Thể tích khối trụ là . Thể tích khối nón là . Thể tích phần giao là: . Vậy . (CHUYÊN KHTN L4) Cho một mặt cầu bán kính bằng . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn A. Hướng dẫn giải Gọi cạnh đáy của hình chóp là Ta có .Ta có (CHUYÊN KHTN L4) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Đường kính đáy của khối trụ là Bán kính đáy của khối trụ là Thể tích của khối trụ là . Thể tích của khối trụ là . Thể tích của H là . (CHUYÊN VINH – L2) Cho lăng trụ có . Cạnh bên . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn B. Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đường thẳng qua vuông góc với cắt mặt phẳng trung trực của tại . Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Mặt khác Ta có: do đó . Cho khối chópcó ; tam giác cân tại ,;. Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm . A. B. C. D. Không tồn tại mặt cầu như vậy Hướng dẫn giải Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và là một đường kính của đường tròn . Tam giác vuông tại , suy ra: mà nên . Ta lại có: . Suy ra tam giác vuông tại , suy ra: . Tương tự như trên ta cũng có: . Vậy thì , do đó 5 điểm cùng nằm trên một mặt cầu(đpcm). Bán kính của mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Áp dụng định lý cos ta có: . Áp dụng định lý sin ta có: . Chọn B. Cho khối chópcó ; đáy là hình thang vuông tại và với; . Gọi là trung điểm của . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm của . Kẻ tia thì . Ta có: là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông và , nên là trục của đường tròn . Gọi lần lượt là trung điểm của . Ta có: ; nên suy ra . Do đó tam giác cân tại , suy ra . Dễ thấy và nên suy ra và do đó . Vậy nên , do đó là trục của đường tròn . Gọi là giao điểm của và thì chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là . Trong đó và ( là giao điểm của và ). Vậy thì . Chọn C. Cho khối chópcó tam giác vuông tại biết ; . Gọi là trung điểm , biết . Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện vàb bằng . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóplà: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Dễ kiểm tra được và tam giác đều cạnh . Đặt . Gọi và lần lượt là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp của các hình , và . Gọi và lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác , và . Ta có: và . Vì , nên dễ kiểm tra được: và . Theo giả thiết tổng diện tích các mặt cầu thì: Suy ra: . Từ đây tìm được . Dựng trung trực của , cắt tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp của . Dễ kiểm tra , suy ra . Vậy thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóplà . Chọn C. Cho hình lập phương cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Mặt phẳng chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi là thể tích của phần chứa đỉnh là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Gọi ; cắt tại , cắt tại ; cắt tại . Thiết diện tương ứng là ngũ giác . Phần đa diện chứa có thể tích là: . Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: ; ; và . Đặt độ dài cạnh hình lập phương bằng thì: . Ta có: . ; Vậy thì phần đa diện chứa có thể tích là: . Suy ra phần đa diện không chứa có thể tích là: . Chọn B.