Bài tập ôn tập HSG Toán 8 - Tháng 2 - Năm học 2023-2024

Thỏng 2 – Ngày soạn: 28/12/2023 Luyện đề số 3: 1 2 5−−xx 1 2 Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức: A = + − 22: 1−x x + 1 1 − x x − 1 a. Rỳt gọn biểu thức A. b. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn. c. Tỡm x để AA= . Bài 2 (4 điểm): Giải cỏc phương trỡnh sau: a. x3 – x2 – 12x = 0 x − 214 x −132 x − 54 b. + + = 6 86 84 82 Bài 3 (5 điểm): Cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và BC= a 2 . Gọi E là trung điểm của CD. a. Tứ giỏc ABED là hỡnh gỡ? Tại sao? b.Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD theo a . c.Gọi I là trung điểm của BC, H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D xuống AC. Tớnh gúc HDI ? Bài 4 (4 điểm): a.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5 (3 x + )1 b.Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau : B = x3 + x 2 + x +1 Bài 5 (2 điểm): a. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giỏc,p là nửa chu vi .CMR : 1 1 1 1 1 1 + + 2( + + ) p− a p − b p − c a b c a − b b − c c − d a − d b. Cho a,b,c,d là cỏc số dương . Chứng minh rằng : + + . b + c c + d d + a a + b ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Cõu 1 Hướng dẫn giải (5.0 điểm) 1 + ĐKXĐ: xx 1; 0.25 2 2 1+x + 2(1 − x ) − (5 − x ) x − 1 0.75 A = 2 . a 1−−xx 1 2 (2.0 điểm) −−21x2 = 2 . 0.75 1−−xx 1 2 2 = 0.25 12− x A nguyờn, mà x nguyờn nờn 2 1− 2x 0.5 b và x = 0 0.5 (1. Từ đú tỡm được x = 1 5 điểm) Bỏ đi giỏ trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0 0.5 Ta cú: AAA= 0 0.5 c 21 0 1 − 2xx 0 0.5 (1.5 điểm) 1− 2x 2 1 Kết hợp với điều kiện: −1 x 0.5 2 Cõu 2 (4.0 điểm) 3 2 x – x – 12x = 0  x(x-4)(x+3) = 0 1.0 a (2.0 điểm) Vậy x = 4 hoặc x= -3 hoặc x=0 1.0 x − 214 x −132 x − 54 + + = 6 86 84 82 0.75 x − 214 x −132 x − 54 ( − )1 + ( − )2 + ( − )3 = 0 0.5 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + = 0 86 84 82 0.5 b. 1 1 1 (2.0 điểm) (x-300) + + = 0 x-300=0 x=300 0.25 86 84 82 Vậy S = 300  Cõu 3 (5.0 điểm) Hỡnh vẽ + GT +KL a A B (1.5 điểm) 0.5 H I D C E 0.5 0.25 Chỉ ra ABED là hỡnh bỡnh hành .(AB//DE, AB=DE) 0.25 Chỉ ra ABED là hỡnh thoi. (AB=AD) Chỉ ra ABED là hỡnh vuụng. ( gúc BAD=90o) + Chỉ ra tam giỏc BEC vuụng cõn. 0.75 + Từ đú suy ra AB=AD=a. DC=2a. 0.5 b ()AB+ CD. AD 0.25 (2.0 điểm) + Diện tớch của hỡnh thang ABCD là S = 2 ()a+ 2. a a 3a2 0.5 == 22 + ACH = ACD (1) (cựng phụ với gúc HDC ) 0.25 + Xột hai tam giỏc ADC và IBD vuụng tại D và B cú AD IB 1 ==, do đú hai tam giỏc ADC và IBD đồng dạng. c DC BD 2 0.5 (1.5 điểm) Suy ra ACD = BDI (2) + Từ (1) và (2), suy ra ADH = BDI 0.25 + Mà ADH + BDH = 45o BDI + BDH = 45o hay HDI = 45o 0.5 Cõu 4 (4.0 điểm) Ta cú : A = x2 – 2xy + y2 +y2 – 4y +4 + 1 0.75 = (x-y)2 + (y – 2)2 + 1 Do (x-y)2 0 ; (y – 2)2 0 0.5 a Nờn A= (x-y)2 + (y – 2)2 + 1 1 (2 điểm) 0.5 Dấu ‘’=’’ xảy ra x = y và y = 2 0.25 Vậy GTNN của A là 1 x = y =2 b 1.0 (2 điểm) (3 x + )1 (3 x + )1 (3 x + )1 3 0.75 B = = = = x3 + x 2 + x +1 x 2 (x + )1 + x +1 (x 2 +1)(x + )1 x 2 +1 0.25 3 Do x2 +1>0 nờn B = 3. Dấu ‘’=’’ xảy ra x = 0 x 2 +1 Vậy GTLN của B là 3 x = 0 Cõu 5 2.0 điểm Ta cú 1 1 4 2 + = 0.5 p− a p − b p − a + p − b c 1 1 4 2 0.5 a + = p− b p − c p − b + p − c a 1 1 4 2 0.5 + = p− c p − a p − c + p − a b Cộng từng vế ta cú điều phải chứng minh 0.5 Ta cú: a − b b − c c − d a − d a − b b − c c − d d − a + + + + + 0 b + c c + d d + a a + b b + c c + d d + a a + b a + c b + b c + a d + b 0.5 + + + 4 b + c c + d d + a a + b Xột: a+ c b + d c + a d + b b + + + − 4 b+ c c + d d + a a + b 1 1 1 1 =()a + c + +() b + d + − 4 b+ c d + a c + d a + b 44 1.0 ()a + c. +() b + d . − 4 = 0 a+ b + c + d a + b + c + d => đpcm. 0.5 Dấu = xảy ra khi a=b=c=d Điểm toàn bài (20điểm) Luyện đề số 4: Bài 1: (5 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (6 điểm): Tỡm x biết x− 241 x − 220 x − 195 x − 166 a, + + + =10 . 17 19 21 23 22 ()()()()2009− x + 2009 − x x − 2010 + x − 2010 19 b, = ()()()()2009− x22 − 2009 − x x − 2010 + x − 2010 49 2010x+ 2680 Bài 3: (3 điểm)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = . x12 + Bài 4: ( 6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, D là điểm di động trờn cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm D lờn AB, AC. a) Xỏc định vị trớ của điểm D để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng. b) Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giỏ trị nhỏ nhất. ĐÁP ÁN Bài 1: 3 a) (x + y + z) 3 x3 y3 z3 = x+ y + z − x3 − y 3 + z 3 – – – () 2 = yzxyz+ ++++++−+ xyzxx2 yzyyzz 2 −+ 2 ()()()() () 2 = ()y+ z() 3x + 3xy + 3yz + 3zx = 3()()()y+ z x x + y + z x + y = 3(x+ y )( y + z )( z + x ) . b, x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ()()x42− x + 2010x + 2010x + 2010 = xx1x()−()()22 + x1 + + 2010x + x1 + = (x22+ x + 1 )( x − x + 2010 ) . Bài 2: x− 241 x − 220 x − 195 x − 166 a, + + + =10 17 19 21 23 x− 241 x − 220 x − 195 x − 166 −1 + − 2 + − 3 + − 4 = 0 17 19 21 23 x−−−− 258 x 258 x 258 x 258 + + + = 0 17 19 21 23 1 1 1 1 ()x − 258 + + + = 0 17 19 21 23 =x 258 22 ()()()()2009− x + 2009 − x x − 2010 + x − 2010 19 b, = . ()()()()2009− x22 − 2009 − x x − 2010 + x − 2010 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 . Đặt a = x – 2010 (a 0), ta cú hệ thức: 2 ()()a+ 1 − a + 1 a + a 2 19 a2 ++ a 1 19 = = ()()a+ 12 + a + 1 a + a 2 49 3a2 ++ 3a 1 49 49a22 + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 8a2 + 8a − 30 = 0 3 a = 2 2 2 (2a1 + ) − 4 = 0 ( 2a32a5 − )( + ) = 0 (thoả ĐK) 5 a =− 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giỏ trị cần tỡm. 2 2 Bài 3: 2010x+ 2680 A = x12 + −335x2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015 335(x + 3)2 = = −335 + − 335 x22++ 1 x 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 4: o a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật (vỡ E= A = F = 90 ) C Để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng thỡ AD là tia phõn giỏc của BAC. b) Do tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật nờn AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D D là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn BC. F A E B Luyện đề số 5: Bài 1: Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100. Bài 2: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: P = x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y ) x +1 1 2 x3 − 2x 2 Bài 3: Cho biểu thức: Q = 1 + − − : x3 +1 x − x 2 −1 x +1 x3 − x 2 + x a- Rỳt gọn Q. 3 5 b- Tớnh giỏ trị của Q biết: x − = 4 4 c-Tỡm giỏ trị nguyờn của x để Q cú giỏ trị nguyờn. Bài 4: Tỡm giỏ trị của m để cho phương trỡnh: 6x - 5m = 3 + 3mx cú nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trỡnh: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 Bài 5: Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn ( x; y) thoả món phương trỡnh: x2 -25 = y( y+6) Bài 6: Cho hỡnh vuụng ABCD, M là điểm bất kỡ trờn cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hỡnh vuụng AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F. a- Chứng minh rằng: BM = ND. b-Chứng minh rằng: N; D; C thẳng hàng. c-EMFN là hỡnh gỡ? d-Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giỏc MFC khụng đổi khi M thay đổi vị trớ trờn BC. ...................................Hết ........................................... ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Cõu Nội dung Bài 1 1110 - 1 = ( 11 -1 )(119 +118 ++ 11+1) = 10(119 +118 ++ 11+1) Vỡ 10  10 và (119 +118 ++ 11+1) cú chữ số tận cựng ( hàng đơn vị) bằng 0 Nờn: (119 +118 ++ 11+1) chia hết cho 10 Vậy: 1110 - 1 chia hết cho 10. Bài x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y ) 2 2 2 2 2: = x 2 ()y − z + y z − y x + z x − z y = x 2 ()()y − z + yz y − z − x() y 2 − z 2 = ()y − z ()x 2 + yz − xy − xz = ()()()y − z x x − y − z x − y  = (y − z )(x − y )(x − z ) Bài 3 x +1 1 2 x3 − 2x 2 a) Q = 1 + − − : x3 +1 x − x 2 −1 x +1 x3 − x 2 + x x +1+ x +1− 2()x 2 − x +1 x 2 − x +1 =1+  ()x +1 ()x 2 − x +1 x() x − 2 − 2x 2 + 4x x 2 − x +1 = 1+  ()x −1 ()x 2 − x +1 x() x − 2 (Điều kiện: x 0;-1; 2) − 2x() x − 2 x 2 − x +1 = 1+  ()x +1 ()x 2 − x +1 x() x − 2 − 2 = 1+ x +1 x −1 = x +1 3 5 x − = b) 4 4 x = 2 ( Loại) 1 x = − 2 −1 V ới x = Q = −3 2 c) Q Z với x − 3;− 2;1  Bài 4 ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 ( 1) x 2 −1− x 2 − 4x − 4 = 3 −4x = 8 x = −2 Để phương trỡnh 6x - 5m = 3 + 3mx cú nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trỡnh ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 hay x =-6 Ta cú: 6(-6) - 5m = 3 +3m(-6) −5m +18m = 39 13m = 39 m = 3 Vậy: Với m = 3 thỡ phương trỡnh 6x - 5m = 3 + 3mx cú nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trỡnh: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 Bài 5 x2 -25 = y( y+6) x 2 − (y + )3 2 = 16 (x + y + 3 )(x − y − 3 )()()()()()(= 4 ;4 2 ;8 1 16 ) Vậy: cỏc cặp số nguyờn phải tỡm là: ()()()()()()− ;3;4 − − ;0;5;3;4 − − − ;6;5;6;5 − 0;5 Bài 6 A B 1 2 E d M 3 1 O 2 1 2 N D F C a) ABCD là hỡnh vuụng ( gt) H 0 A1 + MAD = 90 ( gt) (1) Vỡ AMHN là hỡnh vuụng ( gt) 0 A2 + MAD = 90 (2) Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2 Ta cú: AND = AMB ( c.g.c) 0 B = D1 = 90 và BM= ND 0 b) ABCD là hỡnh vuụng =>D2 = 90 D1 + D2 = NDC 900 + 900 = NDC NDC = 1800 N; D; C thẳng hàng c) Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AH và MN của hỡnh vuụng AMHN O là tõm đối xứng của hỡnh vuụng AMHN AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH EN = EM và FM = FN (3) Tam giỏc vuụng EOM = tam giỏc vuụng FON ( OM= ON; N1=M3) O1 = O 2 EM = NF (4) Từ (3) và (4) EM=NE=NF=FM MENF là hinh thoi (5) d) Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN Mà DN = MB ( cmt) MF=DF+BM Gọi chu vi tam giỏc MCF là p và cạnh hỡnh vuụng ABCD là a P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vỡ MF = DF+MB) = (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a Hỡnh vuụng ABCD cho trước a khụng đổi p khụng đổi Luyện đề số 6: Bài 1: (4,5 điểm) 1) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 2) Cho a, b, c đụi một khỏc nhau và khỏc 0. Chứng minh rằng: a− b b − c c − a c a b Nếu a + b + c = 0 thỡ + + .9 + + = c a b a− b b − c c − a 3) Cho A = p4 trong đú p là số nguyờn tố. Tỡm cỏc giỏ trị của p để tổng cỏc ước dương của A là số chớnh phương. Bài 2: (4,0 điểm) x−− 4 1 x 8 1) Cho biểu thức P= 32 + : 1 − (Với x 1) x− 1 x − 1 x + x + 1 a) Rỳt gọn biểu thức P b) Tớnh giỏ trị của P khi x là nghiệm của phương trỡnh: x2 − 3x + 2 = 0 2. Chứng minh rằng: f(x)= (x2 + x1) − 2018 + (x 2 − x1) + 2018 − 2 chia hết cho g(x)=− x2 x Bài 3: (3,5 điểm) x−− m x 3 1) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm (với m tham số) +=2 x++ 3 x m 2) Giải phương trỡnh: 2x(8x− 1)2 (4x − 1) = 9 Bài 4 (7,0 điểm) Cho hỡnh chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Trờn cạnh AD lấy điểm M, trờn cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuụng gúc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N. a) Chứng minh tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành. b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuụng gúc với NP 1 1 1 c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng =+ AB2 AP 2 4AF 2 Bài 5 (1,0 điểm): Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng cú số đo cỏc cạnh là cỏc số nguyờn dương và số đo diện tớch bằng số đo chu vi. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: 1. M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 M = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24 M = (x2 + 7x + 11 - 1)(x2 + 7x + 11 + 1) - 24 M = (x2 + 7x + 11)2 - 25 M = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16) M = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) 2. Cỏc ước dương của A là 1, p, p2, p3, p4 Tổng cỏc ươc là 1+p + p2 + p 3 + p 4 = n 2 ()nN 4 + 4p + 4 p2 + 4 p 3 + 4 p 4 = 4 n 2 Ta cú 4p4+ 4 p 3 + p 2 4 n 2 4 p 4 + p 2 + 4 + 4 p 3 + 8 p 2 + 4 p (2p2 + p ) 2 (2 n ) 2 (2 p 2 + p + 2) 2 (2 n ) 2 = (2 p 2 + p + 1) 2 Do đú: 4444444521p4+ p 3 + p 2 ++= p p 4 + p 3 + p 2 ++ −−= p p 2 230 p p1 = -1(loại); p2 = 3 a−−− b b c c a c1 a 1 b 1 1 1 1 3. Đặt =x;;;; = y = z = = = (1) (x + y + z ) + + = 9 c a b abxbcycaz−−− x y z 1 1 1 y+++ z x z x y Ta cú (x+ y + z ) + + = 3 + + + (2) x y z x y z yz+ bcca − − c bbcaca22 − + − c Ta lại cú: = +.. = x a b a−− b ab a b cabcabccab(− )( − − ) ( − − )c2 c− ( a + b + c )  2 c2 = = = = ab() a− b ab ab ab x++ z22 a22 x y b Tương tự ta cú ==; y bc z ac 2 2 2 1 1 1 2c 2 a 2 b 2 3 3 3 (x++ y z ) ++=+++=+ 3 3 (a ++ b c ) x y z ab bc ac abc Vỡ a+ b + c =03 a3 + b 3 + c 3 = abc 1 1 1 2 Do đú (x+ y + z ) + + = 3 + .3 abc = 3 + 6 = 9 x y z abc Bài 2: a. Với x 1ta cú x−4 x22 + x + 1 x + x + 1 − x + 8 P =+ 2 2 : 2 (x− 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1 x−+++4 x2 x 1 x 2 ++−+ x 1 x 8 x 2 +− 2 x 3 x 2 + 9 P == 2 :: 2 2 2 (x− 1)( x + x + 1) x + x + 1 ( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1 (x+ 3)( x − 1) x2 + x + 1 x + 3 ==. (x− 1)( x2 + x + 1) x 2 + 9 x 2 + 9 x + 3 Vậy x 1 thỡ P = x2 + 9 b. xx2 −3 + 2 = 0 suy x = 2 hoặc x = 1 (loại) 2+ 3 5 Thay x = 2 vào P ta cú P ==. 22 + 9 13 5 Kết luận với x = 2 thỡ P = 13 2. Đa thức g( x )= x2 − x = x ( x − 1) cú hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 1 Ta cú f (0)= ( − 1)2018 + 1 2018 − 2 = 0 x = 0 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x Ta cú f (1)= (12 + 1 − 1) 2018 + (1 2 − 1 + 1) 2018 − 2 = 0 x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x- 1 mà cỏc thừa số x và x - 1 khụng cú nhõn tử chung do đú f(x) chia hết cho x(x - 1) 2 2018 2 2018 2 Vậy f( x )= ( x + x − 1) + ( x − x + 1) − 2 chia hết cho g() x=− x x x−− m x 3 1. ĐKXĐ: x -3; x -m ta cú + =2 x2 − m 2 + x 2 − 9 = 2( x + 3)( x + m ) Bài 3: x++3 x m 2x2 − m 2 − 9 = 2( x 2 + 3 x + 3 m + mx ) −2(m + 3) x = ( m + 3)2 (1) Với m = 3 thỡ (1) cú dạng 0x = 0. Nghiệm đỳng mọi x thỏa món điều kiện x -3; x -m, do đú tập nghiệm của phương trỡnh là x 3 (mm++ 3)2 3 Với m −3 thỡ phương trỡnh (1) cú nghiệm x = − = − 2(m + 3) 2 Để giỏ trị này là nghiệm của phương trỡnh thỡ ta phải cú: m + 3 m + 3 m + 3 − −3 và − −m tức là m 3. Vậy nếu m 3 thỡ x =− là nghiệm 2 2 2 m + 3 Kết luận: với m = -3 thỡ S= x/3 x . Với m 3 thỡ S =−  2 2. Ta cú 2x (8 x− 1)2 (4 x − 1) = 9 (64x2− 16 x + 1)(8 x 2 − 2 x ) = 9 (64 x 2 − 16 x + 1)(64 x 2 − 16 x ) = 72 (*) Đặt 64x2 -16x = t ta cú (*) t(t + 1) – 72 = 0 t = - 9 hoặc t = 8. Với t = -9 ta cú 64x2 -16x= -9 64x2 -16x + 9 = 0 (8x -1)2 +8 = 0 (vụ nghiệm vỡ (8x -1)2 + 8 > 0) Với t = 8 ta cú 64x2 -16x= 8 64x2 -16x – 8 = 0 (8x -1)2 -9 = 0 1 1 x = hoặc x= − . 2 4 1 1 Vậy nghiệm của phương trỡnh là x = hoặc x= − . 2 4 Bài 4: a, Chưng minh được DH // BK (1) Chứng minh được AHD = CKBsuy ra DH = BK (2) Từ (1) và (2) tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành b. Gọi E là trung điểm BK, chứng minh được QE là đường trung bỡnh của KBC nờn QE // 11 BC QE ⊥ AB(vỡ BC ⊥ AB) và QE== BC AD 22 Chứng minh AM = QE và AM//QE tứ giỏc AMQE là hỡnh bỡnh hành Chứng minh AE//NP//MQ (3). Xột AQB cú BK và QE là hai đường cao của tam giỏc E là trực tõm của tam giỏc nờn AE đường cao thứ ba của tam giỏc AE⊥ BQ BQ ⊥ NP Vẽ tia Ax vuụng gúc AF. Gọi giao của Ax với CD là G. Chứng minh (cựng phụ ) ADG ~ ABP (g.g) AP AB 1 = =2 AG = AP AG AD 2 Ta cú AGF vuụng tại A cú AD ⊥ GF nờn AG.AF = AD.GF 2 2 2 2 (= 2S AGF ) =AG.AF AD . GF (1) Ta chia cả hai vế của (1) cho AD2. AG 2 .AF 2 Mà AG2 + AF2 = GF2( Định lý pitago) 1 1 1 1 1 1 2 = 2 + 2 22 = + 2 AD AG AF 11 AF AB AP 22 4 4 1 1 1 1 = + = + AB2 AP 2 AF 2 AB 2 AP 24 AF 2 Gọi cỏc cạnh của tam giỏc vuụng là x, y, z trong đú cạnh huyền là z (x, y, z là cỏc Bài 5: số nguyờn dương). Ta cú xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy, thay (1) vào ta cú: z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z) +=+−+ ++=+−++zzxy24 ( ) 2 4( xyzz ) 2 4 4 ( xy ) 2 4( xy ) 4 (z + 2)22 = ( x + y − 2) z +22 = x + y − hoặc z + 2= -x – y + 2 (loại vỡ z >0) z = x + y − 4; thay vào (1) ta được xy = 2(x + y + x + y - 4) xy −4 x − 4 y = − 8 (xy − 4)( − 4) = 8 = 1.8 = 2.4 từ đú tỡm được cỏc giỏ trị của x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10)