Bài giảng Lựa chọn dạng hàm số và kiểm định đặc trưng mô hình

này được diễn đạt bởi L( βˆ ), bỏ qua 2. Hãy đặt hàm thích hợp theo giả thuyết  = 0 là L(0). Tỉ số thích hợp được xác định như sau: )ˆ( )( 0 β L βL λ  Bởi vì mẫu số dựa trên mô hình không giới hạn, nên giá trị của nó không thể nhỏ hơn giá trị của tử số. Vì thế, 0    1. Nếu giả thuyết này đúng, bằng trực giác chúng ta kỳ vọng  gần bằng 1. Nếu  cách xa 1 thì LR theo giả thuyết không khác với LR theo mô hình không giới hạn, đó là giả thuyết ngược lại. Điều này cho thấy rằng chúng ta nên bác bỏ giả thuyết không nếu  quá nhỏ. Kiểm định LR được thành lập như là một kiểm định bác bỏ giả thuyết không nếu   K, với K được xác định bởi điều kiện, theo giả thuyết không, 0    K tương đương với mức ý nghĩa (); nghĩa là, P(0    K| = 0) = . Trong một số trường hợp, vùng tới hạn   K có thể chuyển sang một hình thức khác liên quan đến thống kê mẫu phổ biến như là thống kê t hay F. Trong những tình huống này, kiểm định LR giảm xuống thành kiểm định t-, F-, hay 2. Ví dụ cho những trường hợp này, người đọc tham khảo Mood, Graybill và Boes (1974) và cả Ramanathan (1993), Chương 9. Những kiểm định khác trình bày ở Chương 2 có thể xuất phát từ nguyên tắc tỉ số thích hợp. Khi  không thể chuyển sang dạng thống kê khác có phân bố phổ biến, thì phép thử tiến hành trên một lượng mẫu lớn thường được sử dụng. Điều đó có thể chỉ ra rằng (xem Ramanthan. 1993, trang 228), đối với kích cỡ mẫu lớn, thống kê )(ln 2 - )ˆ(ln 2 ln 2- LR 0βLβ L λ  (6.A.3) có phân bố chi-square với bậc tự do tương đương với số giới hạn, bậc tự do bằng 1 như trong ví dụ của chúng ta. Ý tưởng đằng sau kiểm định này có thể được trình bày một cách hình học. Ở hình 6.A.1, logarit của hàm thích hợp được vẽ khi chỉ có duy nhất một tham số trong mô hình. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Ch.6: Lựa chọn dạng hàm số và kiểm định đặc trưng mô hình Ramu Ramanathan 40 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi )(Lln  )(Lln 0  )ˆ(Lln  ˆ0 LR 2 1 Hình vẽ nằm bên dưới trục bởi vì log của hàm thích hợp (nó là một mật độ phân bố nhỏ hơn 1) là số âm. Điểm βˆ tương ứng với trường hợp khi hàm thích hợp đạt giá trị cực đại và 0 tương ứng với giả thuyết không. Kiểm định LR dựa trên hiệu số về tung độ, chính là bằng một nửa LR. Nếu khoảng cách theo tung độ lớn, giả thuyết không bị bác bỏ.  VÍ DỤ 6.A.1 Nguyên tắc kiểm định tỉ lệ thích hợp được minh họa cho kiểm định giả thuyết  = 0 trong phương trình (6.A.1). Bằng cách tiến hành như trong Phần 3.A.5 và sử dụng chú thích trong Phần 3.2, chúng ta lưu ý rằng hàm thích hợp không giới hạn chỉ đạt cực đại khi βˆ = Sxy/Sxx và 2σˆ = 2ˆtu /n = ESS/n, trong đó ESS là tổng bình phương sai số. Giá trị cực đại tương ứng là   /2-22 2ˆ 1 )ˆ/(2ˆexp 2ˆ 1 ˆ n n t n euL                  Theo giả thuyết không  = 0, mô hình trở thành yt = ut và hàm thích hợp trở thành    )/(2 exp 2 1 )/(2exp 2 1 )( 222                    22 t n t n yu L Hàm này cực đại khi 2σ~ = 2ty /n = TSS/n, trong đó TSS là tổng bình phương. Do vậy, giá trị cực đại theo giả thuyết không được cho bởi /2- 2~ 1 ~ n n eL         Tỉ số thích hợp là n/222n )~/ˆ( )~/ˆ( ˆ/ ~   LL λ . Trị thống kê kiểm định LR là  Hình 6.A.1 Biểu diễn hình học của các kiểm định Wald, LR, và LM Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Ch.6: Lựa chọn dạng hàm số và kiểm định đặc trưng mô hình Ramu Ramanathan 41 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi ) - ln(1 - (ESS/TSS)ln - )~/ˆ(ln - ln 2- LR 222 Rnnn λ   trong đó R2 là R2 chưa hiệu chỉnh của mô hình không giới hạn. Đối với những mẫu lớn, LR có phân phối chi-square với bậc tự do là 1. Chúng ta sẽ bác bỏ giả thuyết không với  = 0 nếu LR > K, trong đó K là điểm trên 2 tχ mà vùng bên phải của K là mức ý nghĩa. 6.A.2 KIỂM ĐỊNH WALD Không giống như kiểm định LR, sử dụng hiệu số tung độ (xem hình 6.A.1), kiểm định Wald sử dụng phép đo bình phương hiệu số hoành độ. Đặc biệt, hiệu số hoành độ bình phương ( – 0) 2 , được gán trọng số bởi hàm dạng I( βˆ ), được sử dụng: )ˆ( ) - ˆ( 2 0 βIββW  (6.A.4) trong đó          2 2 ln - )( β L EβI (6.A.5) là giá trị kỳ vọng của đạo hàm bậc hai của hàm thích hợp-logarit theo . Đó là một phép đo độ cong của hàm thích hợp-logarit. Hàm I được biết như là ma trận thông tin. Thủ tục tính toán đối với kiểm định này có thể được tiến hành bằng cách ước lượng mô hình giới hạn và mô hình không giới hạn, như đã được thực hiện trong Chương 4, và bằng cách xây dựng một trị thống kê F. Việc chứng minh có bài bản cho kiểm định này đòi hỏi về đại số tuyến tính. (xem Ramanathan, 1993, trang 273-275).  VÍ DỤ 6.A.2 Trong trường hợp hồi quy đơn, lưu ý rằng βˆ tuân theo phân bố N(0,  2 /Sxx). Vì thế, )/)/(- ˆ( z 0 xxSσββ tuân theo phân phối chuẩn, và vì thế z 2 là chi-square với bậc tự do bằng 1. Vì vậy, thống kê kiểm định Wald tương ứng với giả thuyết không  = 0 được cho bởi 2 xx 2 ˆ/Sˆ W σβ . Từ phương trình (3.12) chúng ta có βˆ Sxx=Sxy. Chúng ta cũng đã tìm ra βˆ Sxy=RSS, tổng bình phương hồi quy, trong Phần 3.A.1. Sử dụng hai kế quả này, chúng ta có 2 2 xx 1 ESS RSS ESS/ )Sˆ(ˆ R nRn n ββ W   Như trong trường hợp kiểm định LR, hàm này có phân phối chi-square đối với mẫu lớn. Giả thuyết không sẽ bị bác bỏ nếu W vượt quá giá trị tới hạn K được rút ra trong Ví dụ 6.A.1. 6.A.3 KIỂM ĐỊNH NHÂN TỬ LAGRANGE Kiểm định LM trong Chương 2 dựa trên kỹ thuật nhân tử Lagrange để tối ưu hóa các ràng buộc. Mô hình giới hạn có được bằng cách áp đặt điều kiện  bằng với 0. Điều này gợi ý rằng chúng ta tối đa hóa logarit của hàm thích hợp theo  và2, với ràng buộc  = 0. Như chúng ta đã thấy Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Ch.6: Lựa chọn dạng hàm số và kiểm định đặc trưng mô hình Ramu Ramanathan 42 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi ở Phần 2.A.2, điều này tương đương với cực đại hóa ln L() – ( – 0), trong đó  là nhân tử Lagrange. Điều kiện đạo hàm bậc nhất cho việc cực đại hóa là μ β L ln    Nếu giả thuyết không  = 0 là đúng, ước lượng thích hợp cực đại giới hạn sẽ gần với giá trị ước lượng không giới hạn. Chúng ta cũng lưu ý rằng nếu nhân tử Lagrange, , là 0, thì phương trình sẽ cho giá trị ước lượng thích hợp cực đại. Do đó, nhân tử Lagrange có thể được diễn giải như là “giá mờ” của ràng buộc  = 0. Nếu giá cao, ràng buộc nên bị bác bỏ vì không nhất quán với số liệu. Điều này chính là động cơ dẫn đến kiểm định LM. Kiểm định LM dựa trên đạo hàm riêng phần ( ln L)/, được biết đến như hàm giá trị điểm và được mô tả bởi S. Engle (1982), có được từ thống kê kiểm định cho mô hình hồi quy bội và cho thấy rằng kiểm định có thể được thực hiện bằng cách chạy hồi quy phụ trên các phần dư ước lượng của mô hình giới hạn (cũng có thể xem Ramanthan, 1993, trang 276-277). Các bước thực hiện được trình bày trong Phần 6.14. Thống kê kiểm định LM có dạng LM = S 2 (0) I(0) -1 (6.A.6) Trong hình 6.A.1, hàm giá trị điểm, đạo hàm riêng phần của hàm thích hợp-logarit, chính là độ dốc của của đồ thị tại 0. Giả thuyết ngược lại tương ứng với S() = 0: có nghĩa là độ dốc gần tới 0. Vì thế, kiểm định Wald dựa trên hiệu số hoành độ giữa βˆ và 0 trong đồ thị, kiểm định LR dựa trên hiệu số tung độ, và kiểm định LM dựa trên độ dốc của đường cong 0. Mỗi kiểm định là phép đo hợp lý về khoảng cách giữa giả thuyết không và giả thuyết ngược lại. Một cách độc lập nhau, Engle (1982) và Buse (1982) đã chỉ ra rằng khi hàm thích hợp-logarit là hàm bậc hai (như phương trình ở Phần 6.A.2), thì tất cả ba thủ tục kiểm định này đều cho kết quả như nhau. Đối với một mô hình tuyến tính tổng quát, có sự bất cân xứng về ràng buộc giữa ba tiêu chuẩn kiểm định. Điều này được thể hiện như sau: W  LR  LM Điều đó có nghĩa là bất cứ khi nào kiểm định LM bác bỏ giả thuyết không với các hệ số zero, thì các kiểm định khác cũng vậy. Tương tự, bất cứ khi nào kiểm định Wald không bác bỏ giả thuyết không thì các kiểm định khác cũng vậy. Nói một cách máy móc, kiểm định LR thì rườm rà nhất, trừ khi chuyển đổi sang kiểm định t, F, hay kiểm định 2. Hai cách kiểm định khác đơn giản hơn, như đã thể hiện trong tài liệu.  VÍ DỤ 6.A.3 Trong trường hợp hồi quy đơn, hàm giá trị điểm được cho bởi 22 )( ln S σ ux σ xβx - y β L ttttt      và phương sai của nó là x2t/ 2 = Sxx/  2. Do đó,   2χ 1 tt σ ux ~ S Var(S) S z xx 2 2 2 2  Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Ch.6: Lựa chọn dạng hàm số và kiểm định đặc trưng mô hình Ramu Ramanathan 43 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi Do đó, trị thống kê kiểm định LM được cho bởi   xx 2 2 S~ ˆ LM σ ux tt  Hãy xem xét hồi quy phụ tuˆ = xt + vt. Làm theo các bước giống như ví dụ 6.A.1, dễ dàng có được các phương trình sau: ˆ σ~ ,ˆˆ RSS , S ˆ ˆ 2 2 aux xx n u uxγ ux γ t tt tt     Thay thế các biểu thức này vào trị thống kê kiểm định LM, chúng ta có      2auxauxaux2aux TSSRSS ˆRSS LM nRnun t   Điều này tạo ra kết quả đã được cho trong tài liệu rằng trị thống kê kiểm định LM bằng số quan sát nhân với R2 chưa hiệu chỉnh của hồi quy phụ. Mặc dù chứng minh này chỉ cho trường hợp hồi quy đơn được xem xét ở đây, nhưng nó cũng đúng cho mô hình hồi quy bội tổng quát. Muốn biết thêm chi tiết, hãy xem Ramanathan (1993), trang 276-278.