Bài giảng Hình học 11 - Phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau : . . .Nếu lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo để chứng minh chúng vuông góc . ; ; . Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau : . . . (là mặt phẳng trung trực của AB). . Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau : . Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: (theo phương pháp hình học) Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O . Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính . Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ) Tìm lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng Khi đó . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp : ; ; Để tìm ta lấy tùy ý điểm , dựng tại H , suy ra Xác định góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp : Cách 1 : Dùng định nghĩa : trong đó : Cách 2 : Dùng nhận xét : . Cách 3 : Dùng hệ quả : . Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau : Cách 1 : Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) . Xác định . Dựng , suy ra MH là đoạn cần tìm . Cách 2: Dựng Chú ý : Nếu . Nếu Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: Khi . Khi với . Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : Khi . Khi với . Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khi . Khi với . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và là đường thẳng cắt ở và cắt ở đồng thời vuông góc với cả và . Đoạn được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đườngthẳng đó . Phương pháp : Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) . Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm . Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : Cách 1: Khi Dựng một tại H . Trong (P) dựng tại K . Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b . Cách 2: Dựng . Dựng , bằng cách lấy dựng đoạn , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a . Gọi , dựng là đoạn vuông góc chung cần tìm . Một số bài tập ôn tập chương Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,, các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . a) Chứng minh . b) Chứng minh . c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông . d) Khi . Tính góc giữa với mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng và . d) Tính các khoảng cách : . Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a. a) Tính đường cao của hình chóp . b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy . c) Tính d(O, (SCD)) . d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC . e) Gọi (a) là mặt phẳng chứa AB và (a) vuông góc với (SCD) , (a) cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện . Cho hình chữ nhật có . Lấy điểm trên cạnh sao cho và là trung điểm của . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm sao cho . a) Chứng minh ; b) Chứng minh ; c) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : d) Xác định vị trí điểm sao cho . (Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) . (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là DABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC) . a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) . b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của DSBC. Chứng minh (MBE) vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC) . c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của DSBC và DABC . Chứng minh OH vuông góc với (SBC) . d) Cho (a) qua A và song song với BC và (a) vuông góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi (a) khi SA = 2a . e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất . Khi SA = . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông DSAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) . a) Chứng minh DSCD cân . b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) . c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC . Cho DOAB cân tại O . OA = OB = a , . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho . a) Tính các cạnh của DOMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để DOMN vuông tại O . b) Cho DOMN vuông tại O và x + y = . Tính x, y ( x < y ) . c) Với kết quả câu b) . Tính góc . d) Giả sử M , N lưu động sao cho . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định. (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt . a) Chứng minh khi thì góc giữa DI và AC’ bằng . b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất . c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo và . Cho hình chóp tứ giác đều có . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với đường thẳng . Tính khoảng cáh từ đến (CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) . Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , . Gọilà trung điểm của đoạn thẳng , là giao điểm của và . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . (KHỐI D NĂM 2009) . Cho hình lăng trụ tam giác có , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 600 ; là tam giác vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách ttừ đến mặt phẳng và diện tích của tam giác ABC . (KHỐI B NĂM 2009). Cho hình choùp có đáy là hình thang vuông tại và ,, ; goùc giöõa hai maët phaúng vaø baèng 600. Goïi laø trung ñieåm cuûa caïnh . Bieát hai maët phaúng vaø cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng , tính khoảng cách từ đến mặt phẳng và diện tích của hình thang . (KHỐI A NĂM 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo a. (KHỐI D NĂM 2010) . Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa hai mặt phẳng và bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng và . Tìm điểm cách đều bốn điểm tính khoảng cách từ đến các điểm đó theo . (KHỐI B NĂM 2010) . Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; là giao điểm của và . Biết vuông góc với mặt phẳng và . Tính diện tích của và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . (KHỐI A NĂM 2010) . Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông , . Gọilà trung điểm của đoạn thẳng . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và . (KHỐI D NĂM 2008) . Trong mặt phẳng cho nửa đường tròn đường kính và điểm thuộc nửa đường tròn đó sao cho . Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên .Chứng minh tam giác vuông và tính diện và khoảng cách từ đến . (KHỐI A NĂM 2007) . ˜˜&™™