Bài giảng Hình học 11 - Bài 4: Tích của một vecto với một số

§ 4: TÍCH CỦA MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ I. Mục đích, yêu cầu: 1.Mục đích: ● Hình thành cho học sinh phép nhân vecto với một số thực nhằm hoàn thành các phép toán trên vecto.Về bản chất lúc này đây chính là phép nhân ngoài trên cấu trúc không gian vecto.Phép cộng vecto và phép nhân ngoài là hai phép toán cơ bản tạo nên không gian tuyến tính. ● giới thiệu một số tính chất quan trọng của phép nhân một vecto với một số và ứng dụng của nó trong việc chứng minh hai vecto cùng phương và phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng. ● Dạy cho học sinh biết cách biểu diễn một vecto qua hai vecto không cùng phương cho trươc.Đây là một việc làm hết sức thiết thực tạo tiền đề cho việc hình thành toạ độ điểm,toạ độ vecto trong hệ trục toạ độ sau này. 2. Yêu cầu: Học xong bài này học sinh cần phải đạt được những yêu cầu sau: ● Nắm được định nghĩa và tính chất của phép nhân một vecto và một số thực và bước đầu biết vận dụng vào giải toán. ● Hiểu được định lý điều kiện hai vecto cùng phương và phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng. ● Biết cách biểu diễn một vecto qua hai vecto không cùng phương cho trước. II. Phương tiện dạy học 1.Thực tiễn: Học sinh đã nắm được tổng, hiệu hai vecto và các tính chất của tổng hai vecto. 2. Phương tiện: Bảng, phấn viết,sách. III. Phương pháp dạy học Thuyết trình, nêu vấn đè, gợi mở vấn đáp. IV. Tiến trình dạy học 1.Kiểm tra bài cũ Yêu cầu học sinh nhắc lại phép cộng hai vecto, qui tắc hình bình hành, thông qua kiến thức cũ chuẩn bị bài mới. 2.Bài mới HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS Hoạt động 1: dẫn dắt hình thành định nghĩa Gv: Ta đã biết thế nào là tổng của hai vecto.Bây giờ nếu ta lấy vecto cộng với chính nó thì kết quả là hai lần vecto , một cách tự nhiên ta kí hiệu là 2.Như vậy: + = 2 Như vậy phép nhân 1 số tự nhiên với 1 vecto có thể xem như là phép cộng liên tiếp nhiều lần của vecto đó. n= + + + .+ . Tổng quát hơn, với k là một số thực bất kỳ ,ta định nghĩa phép nhân của 1 vecto với một số thực k như sau: trình bày định nghĩa trong sgk. Hs: tiếp thu, ghi chép. Hoạt động 2: củng cố định nghĩa Gv: ra ví dụ 1, gỉai mẫu câu a, giảng giải để làm rõ hơn định nghĩa, yêu cầu học sinh làm câu b, sau đó gọi 1 học sinh lên bảng làm. Hs: chú ý, theo dõi tỉ mỉ và hoàn thành nhiệm vụ. Gv: yêu cầu học sinh rút ra nhận xét ( k dương, k âm) hướng của vecto tích ra sao, độ lớn (modun) của nó thế nào. Hs: suy nghĩ, trả lời: k>0:k cung chieu voi k<0: k nguoc chieu voi NỘI DUNG BÀI HỌC 1.Định nghĩa: Cho trước vecto và một số thực k.Ta định nghĩa tích của vecto và số thục k là một vecto k được kí hiệu và được xác định như sau: ● nếu k 0 thì vecto. kcùng hướng với vecto ● nếu k < 0 thì vecto kngược hướng với vecto . ● về độ lớn: = Phép lấy tích của 1 vecto và 1 số được gọi là phép nhân 1 vecto với 1 số hoặc nhân 1 số với 1vecto. Ví dụ 1: cho vecto như hình vẽ. Hãy xác định vecto 2,-3 Hoạt động 3: trình bày các tính chất cơ bản của phép nhân vecto với 1 sô (về bản chất đây là 4 tiên đề của phép toán nhân ngoài trong không gian vecto) Gv: với định nghiã như vậy,phép nhân 1 vecto với 1 số có những tính chất cơ bản sau đây (i,ii,iii,iv). Đối với các tính chất (i, ii, iii ) chỉ nêu phân tích không cần chứng minh.Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất (iv). Hs: theo dõi , ghi chép , hiểu được các tính chất để có thể vận dụng khi cần thiết, tập trung suy nghĩ tìm cách chứng minh tính chất ( iv) Gv: giả sử k=0 hoặc = hãy chứng minh k= Hs: nếu k=0 k= 0= = =0 k= Nếu = = = =0 k= Như vậy điều kiện đủ đã được chứng minh. Gv: giả sử k= và k 0 hãy chứng minh = Hs: vì k= nên = 0 =0. do k 0 nên =0 = Tương tự nếu thì k = 0. điều kiện cần được giải quyết. 2. Các tính chất của phép nhân một vecto với một số: Với 2 vecto , và hai số k, l , ta có các tính chất sau: k( l) = (kl) (k + l)= k + l k( ) = k k k= k=0 hoặc = ◊ Chú ý: ● nhờ tính chất (i) ta có thể suy ra: (-k)= (-1.k)= (-1)(k ) = - ( k) Như vậy ( -k )và - ( k) có thể viết đơn giản là -k. Vecto có thể viết . Ví dụ 2: chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ ta đều có: 2= + Gỉa sử I là trung điểm của đoạn AB + = (1) Khi đó : + = + + + = 2 + + = 2(do (1)) Ngược lại, nếu 2= + , O. Chọn O I, ta có + = I là trung điểm của AB O I B A Hoạt động 4: củng cố Gv: ra 2 ví dụ 2 và 3,sau đó hướng dẫn học sinh làm ví dụ 2,còn ví dụ 3 tương tự xem như bài tập về nhà. Hs: suy nghĩ tìm cách giải quyết. Gv: nhấn mạnh,củng cố: các kết quả của vd 2 và 3 là các kêt quả cơ bản thường dùng.Sau bài hôm nay chúng ta có thể xem đó như 1 kết quả có thế sử dụng mà không cần chứng minh.Và đặc biệt nó tạo tiền đề cho việc hình thành tọa độ trung điểm,tọa độ trọng tâm tam giác sau này.Lúc này đưa bài tập số 23sgk vào để áp dụng kêt quả trên. Hướng dẫn; chuyển đổi từ giả thiết hình học sang giả thiết vecto, dựa vào kết quả vừa có để chứng minh. Hs: M là trung điêm AB 2= + . N là trung điểm CD += 2= ( + ) + ( + ) 2= + Hoạt động 5: hình thành định lý điều kiện 2 vecto cùng phương. Gv: ta đã biết nếu = k thì 2 vecto và cùng phương. Điều ngược lại có đúng hay không? Câu trả lời là có, đl sau cho câu trả lời.Gv phát biểu đl Hs: theo dõi, ghi chép. Gv: khăng định tính ưu việt của định lý đó là cho chúng ta 1 cách để chứng minh 2 vecto cùng phương. Gv: dẫn dắt hs rút ra hệ quả điều kiện ba điểm thăng hàng.nếu và cp thì có nhận xét gì về vị trí 3 điểm A,B,C. Hs: A, B, C thẳng hàng. Gv: hãy suy ra điều kiện ba điểm thẳng hàng. Hs: A,B,C thk := k Vi dụ 3: sgk. Bt 23 sgk: gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: 2= + 3.Điều kiện để 2 vecto cùng phương a. Định lý: Cho 2 vecto và ( ). Khi đó điều kiên cần và đủ để và cùng phương đó là tồn tại 1 số thực k sao cho = k. Cm:() giả sử k : = k và kcùng phương. Mà và kcùng phương (theo định nghĩa). Suy ra và cùng phương. ) giả sử và cùng phương ● nếu và cùng hướng, chọn k= , ta có = k ● nếu và ngược hướng, chọn k=-, ta cũng có = k. Như vậy nếu và cùng phương ta luôn tìm được k : = k. b.Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là .k := k Hoạt động 6: củng cố định lý Gv: ra vd 4,chỉ cho hs thấy đây là 1 định lý khá hay, nói về sự thẳng hàng của 3 điểm đặc biệt trong tam giác.Bài này có thể giải bằng nhiều cách và chúng ta có thể sử dụng hệ quả trên để chứng minh 3 điểm thẳng H, G, O thẳng hàng. Hs: đọc kĩ đề,vẽ hình, suy nghĩ tìm cách giải quyết. Gv: gọi I là trung điểm của BC. Hãy chứng minh = 2. Theo tc trọng tâm tam giác: + + = 3(1) Mặt khác, + + = 2+ =+ = (2) Từ (1,2) suy ra = 3 Suy ra H, G, O thẳng hàng. Hoạt động 7: giới thiệu phép biểu diễn 1 vecto qua 2 vecto không cùng phương Gv: nêu định nghĩa phép biểu thị 1 vecto qua 2 vecto cho trước. Lấy ví dụ và phân tích. Đặt vấn đề: nếu đẵ cho 2 vecto không cùng phương và thì phải chăng mọi vecto đều có thể biểu thị được qua 2 vecto đó. định lý sau sẽ cho ta câu trả lời. Sau đó gv phát biểu định lý như trong sgk và hướng dần hs cách chứng minh. Hs: chú ý theo dõi, lắng nghe, ghi chép. Gv: cho và không cùng phương và 1 vecto bất kỳ nào đó. ● chọn O bất kì. Ví dụ 4: ( định lý đường thẳng euler) Chứng minh rằng trong 1 tam giác thì trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng. Đường thẳng đó được gọi là đường thẳng euler. A O G H C B Giải: gọi I là trung điểm BC = 2 ( BHCD là hbh) Mà : + = 2 + + = 2+ =+ = Từ đó suy ra = 3 Suy ra H, G, O thẳng hàng. Hơn nữa điểm G chia đoạn OH theo tỉ số 1:2. 4. Biểu thị 1 vecto qua 2 vecto không cùng phương cho trước. a) định nghĩa: Cho 2 vecto và . Ta nói vecto nào đó được biểu thị tuyến tính qua 2 vecto và nếu tồn tại 2 số , sao cho = + . Ví dụ: cho . Gọi M là trung điểm của BC. Hãy biểu thị vecto = + b) định lý: Cho và là 2 vecto không cùng phương. Khi đó luôn có thể biểu ● dựng = , = , = . ● xét các trường hợp cp , cp , không cùng phương với cả và . ● tính duy nhất được suy ra nhờ giả thiết và không cùng phương. Hs: làm theo hướng dẫn của gv, đề xuất ý kiến khác. Diễn qua 2 vecto và . Hơn nữa sự biểu diễn đó là duy nhất. Chứng minh: A’ O B’ A B X Chọn O cố định nào đó. Dựng = , = , = . Nếu cp : ==+ 0 Nếu cp ; == 0+. Nếu không cùng phương với và Dựng hbh OX sao cho OA, OB. = + = + =+. Tính duy nhất: nếu có , thỏa (-)+ (- )= =,=đpcm. Hoạt động 8: củng cố bằng vd Gv: đưa bt 21.sgk vào. Hướng dẫn hs làm câu a). Các câu còn lại yêu cầu học sinh về làm. Hs: tập trung làm theo hướng dẫn của gv. Gv: Sau đó yêu cầu hs về làm bài tập trong sgk và sbt Bài 21,sgk: cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Hãy dựng vecto sau đây và tính độ dài của chúng. 3 + 4