Bài giảng Giới hạn của dãy số (tiếp theo)

maët phaúng vuoâng goùc · (P) ^ (Q) Û · Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: 4. Tính chaát · · · VAÁN ÑEÀ 1: Goùc giöõa hai maët phaúng Phöông phaùp: Muoán tìm goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q) ta coù theå söû duïng moät trong caùc caùch sau: · Tìm hai ñöôøng thaúng a, b: a ^ (P), b ^ (Q). Khi ñoù: . · Giaû söû (P) Ç (Q) = c. Töø I Î c, döïng Þ * Ví dụ: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a vuông đáy. a)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Lời giải: a)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Ta có: (Hai đường chéo hình vuông) và (Vì SO là đường trung tuyến của cân tại S do hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau) g[(SBD), (ABCD)] = g(SO, AO) = - Trong vuông tại A, ta có: Vậy g[(SBD), (ABCD)] = g(SO, AO) = b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). - Ta có: ( Hai cạnh kề của hình vuông) (1) ( vì ) (2) Từ (1) và (2) g[(SCD),(ABCD)] = g(SD, AD) = - Trong vuông tại A, ta có: Vây g[(SCD), (ABCD)] = g(SD, AD) = ?BÀI TẬP. 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD), SA = a.Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: (SBC) và (ABC) (SBD) và (ABD) (SAB) và (SCD) 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) 3.Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a; SA ^ (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC. a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC). b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC). 4.Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, taâm O; SA ^ (ABCD). Tính SA theo a ñeå soá ño cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SCB) vaø (SCD) baèng 600. 5.Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, SA ^ (ABCD) vaø SA = a. Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng sau: a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD) 6.Cho hình thoi ABCD caïnh a, taâm O, OB = ; SA ^ (ABCD) vaø SO = . a) Chöùng minh vuoâng. b) Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc. c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC). 7.Cho hình choùp SABCD coù SA ^ (ABCD) vaø SA = a, ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D vôùi AB = 2a, AD = DC = a. Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng: a) (SBC) vaø (ABC) b) (SAB) vaø (SBC) c) (SBC) vaø (SCD) VAÁN ÑEÀ 2: Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc. Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng. * Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc Ñeå chöùng minh (P) ^ (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: · Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a ^ (Q). · Chöùng minh * Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng Ñeå chöùng minh d ^ (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: · Chöùng minh d Ì (Q) vôùi (Q) ^ (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q). · Chöùng minh d = (Q) Ç (R) vôùi (Q) ^ (P) vaø (R) ^ (P). · Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc. * Ví dụ: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Chứng minh rằng : . Chứng minh rằng: . Lời giải: a) Chứng minh rằng: . Ta có: ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ( Vì ) mà b) Chứng minh rằng: . Ta có: ( Hai đường chéo của hình vuông ABCD) ( Vì ) mà Bài 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của BC, dựng AH vuông góc với SM tại H. a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: . Chứng minh rằng: . Lời giải: Chứng minh rằng: . Ta có: Chứng minh rằng: . Ta có: (Vì AM là trung tuyến của cân tại A) ( Vì chứng minh trên) mà Chứng minh rằng: . Do (chứng minh trên) và có giao tuyến là SM nên khi kẽ thì mà ?BÀI TẬP. 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a, cạnh bên và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB và AC. Chứng minh rằng: a) . b) . 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) . b) . 3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của BC, AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng ming rằng: a) . b) . 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD). a) Chứng minh rằng: . b) Gọi BE và DF là hai đường cao của . CMR: 5. Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët ABC vaø ABD cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy DBC. Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa DBCD, ñöôøng cao DK cuûa DACD. a) Chöùng minh: AB ^ (BCD). b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC). c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH ^ (ADC). 6.Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA ^ (ABCD). a) Chöùng minh (SAC) ^ (SBD). b) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAD) vaø (SCD). c) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC). 7.Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ^ (ABCD). Goïi M, N laø 2 ñieåm laàn löôït ôû treân 2 caïnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chöùng minh 2 maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau. 8.Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm I caïnh a vaø coù goùc A baèng 600, caïnh SC = vaø SC ^ (ABCD). a) Chöùng minh (SBD) ^ (SAC). b) Trong tam giaùc SCA keû IK ^ SA taïi K. Tính ñoä daøi IK. c) Chöùng minh vaø töø ñoù suy ra (SAB) ^ (SAD). §5. KHOAÛNG CAÙCH 1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng, ñeán moät maët phaúng trong ñoù H laø hình chieáu cuûa M treân a hoaëc (P). 2. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song, giöõa hai maët phaúng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) trong ñoù M laø ñieåm baát kì naèm treân a. d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong ñoù M laø ñieåm baát kì naèm treân (P). 3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau · Ñöôøng thaúng D caét caû a, b vaø cuøng vuoâng goùc vôùi a, b ñöôïc goïi laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa a, b. · Neáu D caét a, b taïi I, J thì IJ ñöôïc goïi laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a, b. · Ñoä daøi ñoaïn IJ ñöôïc goïi laø khoaûng caùch giöõa a, b. · Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng khoaûng caùch giöõa moät trong hai ñöôøng thaúng ñoù vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng kia vaø song song vôùi noù. · Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song laàn löôït chöùa hai ñöôøng thaúng ñoù. VAÁN ÑEÀ : Tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng, maët phaúng. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau Ñeå tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng) ta caàn xaùc ñònh ñoaïn vuoâng goùc veõ töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng). * Ví dụ: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA đáy và SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). Tính khoảng cách giữa SC và BD. Lời giải: a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). - Trong vuông tại A, kẽ đường cao AH. () (1) Ta có: (Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ( Vì ) (2) Từ (1) và (2) nên AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC) - vuông cân tại A có AB = AS = a Vây khoảng cách từ A đến mp(SBC) là b) Tính khoang cách giữa SC và BD. - Trong kẽ Ta có: (Hai đường chéo hình vuông ABCD) ( Vì ) Vậy OK = d(SC, BD) - Trong kẽ đường cao AI, ta có AI // OK ( OK là đường trung bình của ). vuông tại A có: Vây d(SC, BD) = OK = Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’(ABC) và AA’ = a. Đáy ABC là một tam giác vuông tại A có BC = 2a và AB = . Tính khoảng cách giữa hai đáy. Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BCC’B’). Lời giải: a) Tính khoảng cách giữa hai đáy. Ta có: ABC.A’B’C’ có cạnh bên vuông góc với đáy nên nó là lăng trụ đứng . Vậy AA’ là khoảng cách giữa hai đáy và AA’ = a b) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BCC’B’). - Vì AA’ // BB’ nên AA’ //( BCC’B’) khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’) bằng khoảng cách từ A đến (BCC’B’). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta có: ( Vì , ABC.A’B’C’là lăng trụ đứng) tại H. d[AA’,(BCC’B’)] = d[A, (BCC’B’)] = AH - vuông tại A nên vuông tại A có AH là đường cao nên: Vậy d[AA’,(BCC’B’)] = AH = . ? BÀI TẬP 1. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, SA(ABC) và SA = a. a) Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) c) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) d) Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và SA (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng: SB và CD SA và BD BD và SC AB và SC 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và SO (ABCD), SO = 2a. Tính khoảng cách giữa SO và CD Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD) Tính khoảng cách giữa SA và BD. 4. Cho hình laêng truï ABC.A¢B¢C¢ coù AA¢ ^ (ABC) vaø AA¢ = a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A coù BC = 2a, AB = a. a) Tính khoaûng caùch töø AA¢ ñeán maët phaúng (BCC¢B¢). b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (A¢BC). c) Chöùng minh raèng AB ^ (ACC¢A¢) vaø tính khoaûng caùch töø A¢ ñeán maët phaúng (ABC¢). 5. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a. a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD). b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi (SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán (SBD). 6. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø . Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng SO ^ (ABCD) vaø SO = . Goïi E laø trung ñieåm cuûa BC, F laø trung ñieåm cuûa BE. a) Chöùng minh (SOF) ^ (SBC). b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC).