Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ & hàm số lôgarit - Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

1 GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO) Ch ươ ng II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT §5. Hàm số mũ và hàm số lôgarit CHÂU THÀNH TIỀN GIANG T H P T TÂN HIỆP 2 NỘI DUNG BÀI HỌC TIẾT 1 Kiểm tra bài cũ Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit. Một số giới hạn liên quan TIẾT 2 3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit TIẾT 3 4.Sự biến thiên và đ ồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit Củng cố Bài tập làm thêm 3 KIỂM TRA BÀI CŨ : Câu hỏi : Viết công thức tính lãi kép . Aùp dụng : Một ng ư ời gửi 15 triệu đ ồng vào Ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một n ă m với lãi suất 7,56% một n ă m . Hỏi số tiền ng ư ời đ ó nhận đư ợc (cả vốn lẫn lãi) sau 2 n ă m, sau 5 n ă m là bao nhiêu triệu đ ồng .(Làm tròn đ ến chữ số thập phân thứ hai ) 4 TRẢ LỜI : Công thức : C= A(1 + r) N A : Số tiền gửi ban đ ầu r : lãi suất N : Số kì hạn C : Số tiền thu đư ợc ( cả vốn lẫn lãi ) Aùp dụng : C= 15(1 + 0,0756) N N = 2 : C = 17 triệu 35 N = 5 : C = 21 triệu 59 5 Câu 1 : Tính các giá trị cho trong bảng sau x -2 0 1 2 2 x x 1 2 4 log 2 x PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 1 2 4 2 -1 0 1 6 1. Khái niệm hàm số mu Õ , hàm số lôgarit : a)Định nghĩa : Cho a là số thực d ươ ng, khác 1. + Hàm số y = a x , xác đ ịnh trên R đư ợc gọi là hàm số mũ c ơ số a . + Hàm số y = log a x , xác đ ịnh trên (0; + ) đư ợc gọi là hàm số lôgarit c ơ số a . b) Chú ý : + Hàm số y = e x kí hiệu y = exp(x). + Hàm số y =logx = log 10 x (hoặc y= lgx) , + Hàm số y = lnx = log e x . 7 Câu 2 : Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ, hàm số lôgarit. Khi đ ó cho biết c ơ số : e) y = x x . i) y = lnx PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 8 e) y = x x . TRẢ LỜI Hàm số mũ c ơ số a = Hàm số mũ c ơ số a = 1/4 Hàm số mũ c ơ số a = Không phải hàm số mũ Không phải hàm số mũ 9 i) y = lnx TRẢ LỜI Hàm số lôgarit c ơ số a = 3 Hàm số lôgarit c ơ số a = 1/4 Không phải hàm số lôgarit Hàm số lôgarit c ơ số a = e Không phải hàm số lôgarit 10 2. Một số giới hạn liên quan đ ến hàm số mũ, hàm số lôgarit : a) Tính liên tục Các hàm số y = a x , y = log a x liên tục trên tập xác đ ịnh của nó : 11 Ví dụ : Tính các giới hạn sau : 12 GIẢI a) Khi x + 1/x 0 . Do đ ó : c) Khi x 0 Do đ ó : 13 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 Do đ ó : 3) Đặt t = e x = t => e x = t + 1 => x = ln(1 + t ) Khi x 0 khi và chỉ t 0 Aùp dụng công thức (1) . Do tính liên tục của hàm số lôgarit , ta có : Đặt : 1) Các em đ ã biết : 14 b) ĐỊNH LÝ 1  : 15 Aùp dụng : Tính các giới hạn sau : 16 GIẢI 17 3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôragit : a) Đạo hàm của hàm số mũ : PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 a) Phát biểu đ ịnh nghĩa đ ạo hàm của hàm số  : b) Aùp dụng tính đ ạo hàm của hàm số y=f(x)= e x Cho x số gia x + y = f(x + x ) – f(x) = e x + x – e x = e x (e x – 1). + Kết luận : (e x )’ = e x . 18 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 c ) Chứng minh (a x )’ = a x . lna . Biến đ ổi số a d ươ ng khác 1 thành lũy thừa theo c ơ số e a= e lna => a x = e (lna)x = e x.lna . Do đ ó theo công thức đ ạo hàm của hàm số hợp . Ta có : 19 ĐỊNH LÝ 2  : i) Hàm số y = a x có đ ạo hàm tại mọi đ iểm x R và . (a x )’ = a x .lna Đặc biệt : (e x )’ = e x . ii) Nếu hàm số y = u(x) có đ ạo hàm trên tập J thì hàm số y = a u(x) có đ ạo hàm trên J và (a u(x) )’ = u’(x).a u( x) .lna Đặc biệt : (e u(x) )’ =u’(x)e u(x) . 20 Ví dụ : Tính đ ạo hàm các hàm số sau : y = (x 2 + 2x).e x . 21 y = (x 2 + 2x).e x . y ’ = (2x + 2) e x + (x 2 + 2x).e x y’ = (x 2 + 4x + 2).e x GIẢI : 22 b) Đạo hàm của hàm số loragit : PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4 Do đ ó : a) Aùp dụng tính đ ạo hàm của hàm số y=f(x)= lnx Cho x > 0 số gia x + y = f(x + x ) – f(x) = ln(x + x) – lnx 23 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4 Aùp dụng công thức đ ổi c ơ số a về c ơ số e . Ta có : b) Chứng minh : 24 ĐỊNH LÝ 3  : Hàm số y =log a x có đ ạo hàm tại mọi đ iểm x> 0 và Đặc biệt : ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị d ươ ng và có đ ạo hàm trên tập J thì hàm số y = log a u(x) có đ ạo hàm trên J và Đặc biệt : 25 Ví dụ : Tính đ ạo hàm các hàm số sau : 1) y = (x 2 + 1).lnx 2) y = ln(x 2 – x + 1) 3) y = log 2 (2 + sinx). 26 3) y = log 2 (2 + sinx). GIẢI y = (x 2 + 1).lnx 2) y = ln(x 2 – x + 1) 27 HỆ QUẢ : i) với mọi x 0 ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị khác 0 và có đ ạo hàm trên tập J thì với mọi x J . Ta có : Với x < 0 Mặt khác với x > 0 . Ta có : Suy ra : với mọi x 0 28 4. Sự biến thiên và đ ồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit : Khảo sát và vẽ đ ồ thị của hàm số mũ y = a x . + Tập xác đ ịnh : + Sự biến thiên Đạo hàm : Nếu a > 1 Nếu 0 < a < 1 Tiệm cận : Khi a > 1 : Khi 0 < a < 1 KL: PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5 D= R =>y’ >0 x R => Hàm số đ ồng biến trên R => y’ Hàm số nghịch biến trên R Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành a) Hàm số mũ 29 Đồ thị : Cho x = 0 ==> y = 1 Cho x = 1 ==> y = a Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5 + Bảng biến thiên : x - + y’ + y + 0 x - + y’ - y + 0 0 < a < 1 a > 1 30 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y 0< a <1 a >1 31 + Tập xác đ ịnh : + Sự biến thiên Đạo hàm : + Tiệm cận : + Bảng biến thiên : D= R y’= 3 x .ln3 > 0 v ới mọi x => đường thẳng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngang x - + y’ + y + 0 Ví dụ : Khảo sát và vẽ đ ồ thị hàm số : y = 3 x . 32 Đồ thị : Cho x = 0 => y = 1 Cho x = 1 => y = 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y y= 3 x 33 b) Hàm số y = log a x . + Tập xác đ ịnh : + Sự biến thiên Đạo hàm : Nếu a > 1 Nếu 0 < a < 1 + Tiệm cận : Khi a > 1 Khi 0 < a < 1 KL về tiệm cận : PHIẾU HỌC TẬP SỐ 6 (0 : + ) Khảo sát và vẽ đ ồ thị của hàm số logarit y = log a x . => y’ > 0 => hàm số đ ồng biến trên (0 ; + ) => y’ hàm số nghịch biến trên (0 ; + ) Đồ thị hàm số có tiệm cận đ ứng là trục tung 34 + Bảng biến thiên : PHIẾU HỌC TẬP SỐ 6 +Đồ thị : Cho x = 1 ==> y = 0 Cho x = a ==> y = 1 Nh ận xét : Đồ thị nằm bên phải trục tung Oy. x 0 + y’ + y + - a > 1 x 0 + y’ - y + - 0 < a < 1 35 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 1 2 3 x y a > 1 0< a < 1 36 + Tập xác đ ịnh : Ví dụ : Khảo sát và vẽ đ ồ thị hàm số : y = log 3 x . + Tiệm cận : + Sự biến thiên Đạo hàm : (0 : + ) => Đ ư ờng thẳng x = 0 (trục tung ) là tiệm cận đ ứng 37 +Đồ thị : Cho x = 1 => y = 0. Cho x = 3 => y = 1 x 0 + y’ + y + - + Bảng biến thiên : 38 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 1 2 3 x y y= log 3 x 39 NHẬN XÉT : Đồ thị hàm số mũ y = a x và đ ồ thị hàm số logarit y=log a x đ ối xứng nhau qua đư ờng phân giác của góc phần t ư thứ nhất y = x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 x y y=3 x y=log 3 x y = x 40 CỦNG CỐ : 1) Nhắc lại các công thức đ ạo hàm đ ã học  Haøm soá muõ Haøm soá hôïp (e x )’ = e x (a x )’ = a x .lna (e u )’ = u’.e u . (a u )’ = u’.a u .lna Haøm soá logarit Haøm soá hôïp 41 2)Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a x Taäp xaùc ñònh R Ñaïo haøm y’ = a x lna Chieàu bieán thieân a > 1 : Haøm soá luoân ñoàng bieán 0 < a < 1 : Haøm soá luoân nghòch bieán Tieäm caän Tieäm caän ngang laø Ox Ñoà thò Luoân ñi qua caùc ñieåm (0;1) , (1;a) vaø naèm phía treân truïc hoaønh 42 3) Nhắc lại bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lôgarit y = log a x Taäp xaùc ñònh (0 ; + ) Ñaïo haøm Chieàu bieán thieân a > 1 : Haøm soá luoân ñoàng bieán 0 < a < 1 : Haøm soá luoân nghòch bieán Tieäm caän Tieäm caän ñöùng laø Oy Ñoà thò Luoân ñi qua caùc ñieåm (1;0) , (a;1) vaø naèm phía beân phaûi truïc tung 43 Câu 1 : Tìm mệnh đ ề sai : B A C D 44 Câu 2 : Hàm số nào đ ồng biến trên tập xác đ ịnh của nó ? y = 2 -x B A C D S S S 45 Vậy : Mệnh đ ề C là mệnh đ ề sai Câu 2 46 A) y = 2 -x =(1/2) x => Hàm số nghịch biến trên R => Hàm số nghịch biến (0; + ) => Hàm số nghịch biến (0; + ) => Hàm số đ ồng biến R 47 H Ư ỚNG DẪN TỰ HỌC Ở NHÀ : + Làm bài tập : từ bài 47 đ ến bài 56 SGK trang 112, 113 . + Bài tập làm thêm : Bài 2 : Tính đ ạo hàm các hàm số sau : Bài 3 : Cho hàm số y = e sinx . CMR : y’.cosx – y.sinx – y” = 0 . Bài 4 : Cho hàm số y = x[cos(lnx)+ sin(lnx)] với x > 0 . CMR : x 2 .y” – x.y’ + 2y = 0 . Bài 1 : Tìm tập xác đ ịnh của hàm số : a) y = ln( - x 2 + 5x – 6) 48 EM CÓ BIẾT ? John Napier (1550 – 1617) Ôâng đ ã bỏ ra 20 n ă m ròng rã mới phát minh đư ợc hệ thống logarittme. . . Việc phát minh ra logarithme đ ã giúp cho Toán học Tính toán tiến một b ư ớc dài, nhất là trong các phép tính Thiên v ă n . 49 CHÚC CÁC EM HỌC TỐT