50 Bài tập chứng minh về đường tròn

iểm I của BH. 3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMH, CIMH nội tiếp . 3. Chứng minh 4. Chứng minh PQ ⊥ MI. Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD ⊥ AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh : 1. 2. AM là tia phân giác của góc CMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp. 4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M. Bài 27. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn, các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB. Chứng minh 1. Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. Chứng minh 3. Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK. 4. Chứng minh . Bài 28. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. 2. E, F nằm trên đường tròn (O). 3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. 4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 29. BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. 1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng vàới tam giác ABC. 2. Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’. 3. Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chứng minh suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất. Bài 30. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH và bán kính OA. 1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH. 2. Giả sử . Chứng minh: 3. Cho và . Tính: a) và của tam giác ABC. b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R. Bài 31. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết . 1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2. Vẽ đường kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh BD // AH và AD // BH. 3. Tính AH theo R. Bài 32. Cho đườngtròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. 1. Chứng minh khi MN di động, trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định. 2. Từ A kẻ Ax ⊥ MN, tia Bi cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành. 3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. 4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào. 5. Cho . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN. Bài 33. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. Chứng minh: 1. Chứng minh OM ⊥ BC. 2. Chứng minh . 3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn . Bài 34. Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 cm, chiều cao AH = 4 cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của đường tròn (O). 2. Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 3. Kẻ AK ⊥ CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao? 4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC. Bài 35. Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh . 4. Chứng minh . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 36. Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh: 1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật. 2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. Bài 37. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈(O), C ∈ (O’) . tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp . 2. Chứng minh 3. Tính số đo góc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Bài 38. Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngo i, B∈(O), C∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh : 1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . 2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. Bài 39. Cho đườngtròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. 3. Chứng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 40. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N. 1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng vàới tam giác APB. 2. Chứng minh . 3. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I). 4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra. Bài 41. Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho 1. Chứng minh tích BD. CE không đổi. 2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE 3. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE. Bài 42. Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AB, AC ở D và E. Chứng minh : 1. 2. Tứ giác BCDE nội tiếp . 3. BC song song với DE. Bài 43. Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . 2. Chứng minh NE ⊥ AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O). 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài 44. Cho hai đườngtròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đườntròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: 1. AB ⊥ KB. 2. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn. Bài 45. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 1. Chứng minh BC // AE. 2. Chứng minh ABCE là hình bình hành. 3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. So sánh và Bài 46. Cho đường tròn (O) đường kính AB , trên đường tròn ta lấy hai điểm C và D sao cho cung AC = cung AD . Tiếp tuyến với đường tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F. 1. Chứng minh hệ thức : 2. Chứng minh BD tiếp xúc với đường tròn đường kính AF. 3. Khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó Bài 47. Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đườngtròn (O) bất kỳ đi qua B và C ( BC không là đường kính của (O). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh: 1. . 2. Tứ giác AEOF 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn. 4. ED song song với AC. 5. Khi (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 48. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB; AC tại E và D. BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyến AM và AN của (O). Chứng minh: 1. Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp được. 2. 3. M; H; N thẳng hàng. 4. Tính chu vài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE nếu tam giác ABCD là tam giác đều có cạnh bằng 2a. Bài 49. Cho đườngtròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đườngthẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đường kính BB’. Qua O kẻ đườngthẳng vuông góc với BB’ đường này cắt ; BC lần lượt tại K và E . Chứng minh: 1. Tứ giác MOIC nội tiếp. 2. OI vuông góc với Mx. 3. ME có độ dài không phụ thuộc vị trí của điểm M. 4. Khi M di động m OM = 2R thì K chuyển động trên đườngn o? Tại sao? Bài 50. Cho (O; R) và điểm A ∈ (O). Một góc vuông xAy quay quanh A và luôn thoả mãn Ax; Ay cắt (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax; Ay với (O) lần lượt là B; C. Đường tròn đường kính AO cắt AB; AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M; N. Tia OM cắt (O) tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh: 1. Tứ giác AMON là hình chữ nhật. 2. MN // BC. 3. Tứ giác PHOP nội tiếp. 4. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất