5 Đề luyện tập HSG Toán 7 - Năm học 2023-2024

Ngày soạn: 20/2/2024 ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ 1 Câu 1. (4,0 điểm) 2 2 1 1 0,4− + − 0,25 + 2012 1) M = 9 11− 3 5 : 7 7 1 1,4− + 1 − 0,875 + 0,7 2013 9 11 6 2) Tìm x, biết: x 2 + x −1 = x 2 + 2 . Câu 2. (5,0 điểm) a+ b− c b+ c− a c+ a− b 1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: = = . Hãy c a b b a c tính giá trị của biểu thức B = 1+ 1+ 1+ . a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2xx− 2 + 2 − 2013 với x là số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x+ y + z = xyz . Câu 4. (6,0 điểm) Cho xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. Câu 5. (1,0 điểm) a b c Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng: + + 2 bc+1 ac + 1 ab + 1 Đề Số 2 Bài 1. (4 điểm). a) Thực hiện phép tính: 1 212 .3 5−+ 4 6 .9 2 16 3 .3 10 120.6 9 A = + (22 .3) 6++ 8 4 .3 5 4 6 .3 12 6 12 b) Cho đa thức P(x) = x2012 – 2011 x2011 - 2011 x2010 - .. – 2011 x2 - 2011 x + 1 Tính P( 2012) Bài 2. (5 điểm) . Tìm x , y, z biết : a) 2012 = xx−2010 + − 2008 b) (xx− 3)xx − ( − 3)+2 = 0 3x− 2 y 2 z − 5 x 5 y − 3 z c) == và x + y + z = 50 5 3 2 Bài 3.(3 điểm) a) Cho dãy tỉ số bằng nhau : 2012abcda+++ + 2012 bcdab ++ ++ 2012 cdabc + +++ 2012 d === a b c d a + b b + c c + d d + a TÝnh M = + + + c + d d + a a + b b + c b) Cho a , b là các số nguyên thỏa mãn ( 7 a – 21 b + 5)( a – 3 b + 1) 7 Chứng minh rằng 43 a + 11b + 15 7 Bài 4. (2 điểm). Cho biểu thức : A = xxx−2010 + − 2012 + − 2014 . Tìm x để biểu thức A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Bài 5. ( 6 điểm) Cho tam gi¸c ABC vuông tại A . M là một điểm thuộc cạnh BC . Qua M dựng các đoạn thẳng MD, ME sao cho AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD và AC là đường trung trực của đoạn thẳng ME. a) Với điểm M không trùng với điểm B và C . Chứng minh rằng : AM = AD = AE b) Với M bất kỳ . Chứng minh rằng : Ba điểm A, D, E thẳng hàng c) Cho tam giác ABC cố định. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho DE có độ dài ngắn nhất . ---------Hết-------- ĐỀ SỐ 3: Câu 1: (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1 1 1 a. A = 1+ 1+ 1+ ... 1+ . 2 3.1 4.2 5.3 2015.2017 1 b. B = 2x2 – 3x + 5 với x = . 2 0 2015 c. C = 2x − 2y +13x y 23 ()x − y +15()y 2 x − x 2 y + , biết x – y = 0. 2016 Câu 2: (4,0 điểm) 2 1 1. Tìm x, y biết: 2x − + 3y +12 .0 6 2 3x − 2y 2z − 4x 4y − 3z 2. Tìm x, y, z biết: = = và x + y + z = 18. 4 3 2 Câu 3: (5,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0. 2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + – 101x + 101. Tính f(100). 3. Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Câu 4: (5,0 điểm) 1. Cho ABC có B + C = 600, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM = ABO. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN = ACO. Chứng minh rằng: a. AM = AN. b. MON là tam giác đều. 2. Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M trên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1,0 điểm) a 2 b 2 Cho x + y = 1, x 0, y 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + (a và b là x y hằng số dương đã cho). ---------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Đề số 4: Câu 1. (2,5 điểm) 11 a. Tìm x biết: : 2015x =− . 2016 2015 3n − 1 b. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M = có giá trị là số nguyên. n − 1 c. Tính giá trị của biểu thức: N = xy2 z 3+ x 2 y 3 z 4 + x 3 y 4 z 5 + ... + x 2014 y 2015 z 2016 tại: x= -1; y = -1; z = -1. Câu 2. (2,0 điểm) 2bz− 3 cy 3 cx − az ay − 2 bx x y z a. Cho dãy tỉ số bằng nhau ==. Chứng minh: ==. a23 b c a23 b c b. Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho : 2m + 2015 = n− 2016 + n - 2016. Câu 3.(1,5 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x−2015 + x − 2016 + x − 2017 . b. Cho bốn số nguyên dương khác nhau thỏa mãn tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng của ba số bất kì chia hết cho 3. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này ? Câu 4. (3,0 điểm) 3 Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. Câu 5. (1,0 điểm) Có sáu túi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ trong khi năm túi kia chỉ chứa bóng xanh. Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi. Túi còn lại chứa bóng đỏ. Biết lúc này bạn Toán có số bóng xanh gấp đôi số bóng xanh của bạn Học. Tìm số bóng đỏ trong túi còn lại. ĐỀ 5 Bài 1. (2,5 điểm) a) Tính giá trị A =1000− − )5( 3.(− )2 3 −117. 2 − 2.5 3 + (8 112 −121)   9 19 2 4 b) Tìm x biết 3− − x + 2 : −1− + =1 10 10 5 5 c) Tìm x thỏa mãn x −10 10 + x −1111 = 1 Bài 2. (3 điểm) a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn: xy yz zx x 2 + y 2 + z 2 = = = ay + bx bz + cy cx + az a 2 + b2 + c 2 Bài 3. (2,5 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ab, ad là hai số nguyên tố; ii) db + c = b2+ d. Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC có Bˆ < 900 và Bˆ = 2Cˆ . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D. 4 a) Chứng minh rằng: DA = DC. b) Chứng minh rằng: AE = HC. 5