194 Câu vận dụng cao Toán từ các trường năm 2018

i là . Tìm để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Gọi , lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón. Thể tích khối nón là , với là chiều cao khối nón. Ta có Suy ra Dấu “=” xảy ra Mà là chu vi đường tròn đáy hình nón và đường sinh Từ , suy ra ( THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2018 ) Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. A. B. C. D. Lời giải Chọn C Gọi như hình vẽ. Gọi V là thể tích khối nón ban đầu. Thể tích nước đổ vào bằng Khi lộn ngược phễu thì thể tích phần không gian không chứa nước là Khi đó: mà nên Vậy chiều cao của nước khi lộn ngược phễu là (THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho khối lăng trụ tam giác . Tính tỉ số giữa khối đa diện và khối lăng trụ . A. B. C. D. Lời giải Chọn A Dễ thấy mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành 2 phần là khối đa diện A’B’C’BC và chóp A’.ABC. Mà [2H1-0.0-4] Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72dm3 và chiều cao là 3dm. Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể. A. B. C. D. Lời giải Chọn D @ Tự luận: Có: Bể cá tốn ít nguyên liệu nhất nghĩa là diện tích toàn phần nhỏ nhất. Ta có diện tích toàn phần của bể cá là: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Từ (1), ta suy ra: (TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là độ dài đường sinh . Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi , thứ tự là trung điểm và . Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh trùng (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Lời giải Đáp án A Phương pháp: Tính độ dài các đoạn thẳng và sau đó áp dụng công thức tình thể tích hình trụ . Cách giải: Độ dài cung là chu vi đường tròn đáy nên Ta có độ dài cung là Áp dụng định lí cosin trong tam giác có Hạ ta có là tia phân giác của cắt tại . Xét tam giác vuông có Xét tam giác có Mà Xét tam giác có Xét tam giác vuông có: Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật là: Chú ý khi giải: Có thể tính độ dài bằng cách như sau: Xét tam giác có: Gọi là giao điểm của với đường tròn tâm bán kính Khi đó theo tính chất hai cát tuyến , ta có Từ suy ra Do đó Vậy (MEGABOOK-ĐỀ 3). Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính của hai đáy sao cho . Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua trong điểm để thu được khối đá có hình tứ diện. Biết rằng và thể tích khối tứ diện bằng Tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân). A. B. C. D. Lời giải Chọn D Ta dễ dàng chứng minh được vuông góc với . Do đó thể tích khối tứ diện là: Trong đó Vậy thể tích của lượng đá bị cắt bỏ bằng: (THTT - Lần 2 – 2018) Có tấm bìa hình tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng Người ta muốn cắt tấm bìa đó thành hình chữ nhật rồi cuộn lại thành một hình trụ không dáy nhu hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu để diện tích chung quanh của hình trụ là lớn nhất? A. B. C. D. Lời giải Đáp án D Đặt có Có Xét hàm số có (MEGABOOK-ĐỀ 3). Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là, chiểu cao trong lòng cốc là đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc. A. B. C. D. Lời giải Chọn A Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kì có (tam giác màu đen): Thể tích hình cái nêm là: Thể tích khối nước tạo thành khi ngyên cốc có hình dạng cái nêm nên (Toan Luyen de THPTQG) Cho hình vuông ABCD cạnh . Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là A. B. C. D. (THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là độ dài đường sinh . Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi thứ tự là trung điểm và . Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh trùng (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu? A. B. C. D. Lời giải Chọn A Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy nên Ta có độ dài cung AB là Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB có Hạ ta có OD là tia phân giác của cắt AQ tại E. Xét tam giác vuông OMH có Xét tam giác OPQ có Mà Xét tam giác DOQ có Xét tam giác vuông DQF có: Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là: (THPT Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1) Cho hình chóp có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của lên mặt phẳng là điểm nằm trong tam giác sao cho Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp là . Tính thể tích khối chóp . A. B. C. D. Lời giải Đáp án B Gọi lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp Theo định lí Sin, ta có tương tự Gọi lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp Đặt và Suy ra Vậy thể tích khối chóp là Chú ý: “Cho hình chóp có SA vuông góc với đáy và là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ” [THPT-Chuyên-Bắc-Ninh-Bắc-Ninh-Lần-2]Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là độ dài đường sinh . Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Phương pháp: Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MQ sau đó áp dụng công thức tình thể tích hình trụ . Cách giải: Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy nên Ta có độ dài cung AB là Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB có Hạ ta có OD là tia phân giác của cắt AQ tại E. Xét tam giác vuông OMH có Xét tam giác OPQ có Mà Xét tam giác DOQ có Xét tam giác vuông DQF có: Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là: Chú ý khi giải: Có thể tính độ dài MQ bằng cách như sau: Xét tam giác OAE có: Gọi F là giao điểm của ED với đường tròn tâm O bán kính Khi đó theo tính chất hai cát tuyến EQA, EDF ta có Từ (1),(2) suy ra Do đó Vậy . Chương 13. Oxyz [THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm Tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Gọi thỏa mãn điều kiện Ta có Suy ra trùng với điểm . Vậy [THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng Điểm thay đổi thuộc , điểm thay đổi thuộc mặt phẳng . Biết rằng tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm là A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn A Gọi lần lượt là hai điểm đối xứng với qua và mặt phẳng ( hình vẽ bên: Điểm nằm giữa , vì cùng phía với và . Khi đó Suy ra thẳng hàng. Hay là hình chiếu của trên , Vậy ( THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có Tọa độ chân đường phân giác trong góc của tam giác là A. B. C. D. Lời giải Chọn A Gọi D là chân đường phân giác góc B của . Theo tính chất đường phân giác ta có: Với và Từ (*) ta có, điểm D chia đoạn thẳng AC theo tỷ số k nên D có toạ độ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho. Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) A. 2017. B. . C. . D. Lời giải Chọn.D Gọi lần lượt là trung điểm của Từ kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt mặt phẳng trung trực của tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện suy ra Tương tự Suy ra Vậy khoảng cách từ điểm đến bằng . (MEGABOOK-ĐỀ 3). Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng. Đường thẳng đi qua và có véctơ chỉ phương cắt tại . Điểm thay đổi trong sao cho luôn nhìn đoạn dưới góc . Khi độ dài lớn nhất, đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. B. C. D. Lời giải Chọn B Phương trình đường thẳng là: Mà Do vuông tại Để lớn nhất => nhỏ nhất Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng Xét vuông tại H Để MA nhỏ nhất là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng (là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng ) Vậy phương trình đường thẳng : .Thấy ngay điểm thỏa mãn. (THPT CHUYÊN LAM SƠN-THANH HÓA LẦN 1 NĂM 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm ,, , . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm? A. 10. B. 6. C. 7. D. 5. Lời giải - O,A,B,C không đồng phẳng nên chúng là 4 đỉnh của một tứ diện. Phương trình mặt phẳng (ABC) là Þ D Î (ABC). Dễ thấy D không nằm trên các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) ( tự vẽ hình minh họa). Đếm trực tiếp ta có 7 mặt phẳng phân biệt. Đáp án C (MEGABOOK-SỐ 06) Trong không gian với hệ toạ độ cho điểm Gọi , , lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng toạ độ Biết , , nằm trên đoạn sao cho Giá trị của tổng là: A. B. C. D. Lời giải Đáp án B Đường thẳng Từ điều kiện và . M, N, P là trung điểm của AB, AN và BN Mà Vậy [THPT CHUYÊN LAM SƠN-THANH HÓA LẦN 2-2018] Trong mặt phẳng tọa độ , cho bốn điểm , , , . Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức . Biết rằng là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính bằng bao nhiêu? A. B. C. D. Lời giải Chọn A Gọi là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có , , , . Từ giả thiết: Suy ra quỹ tích điểm là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm , và mặt cầu tâm , . Ta có: . Dễ thấy: .