Tuyển tập các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

hương trình: x x m4 28cos 9cos 0   với x [0; ] (1) Đặt t xcos , phương trình (1) trở thành: t t m4 28 9 0   (2) Vì x [0; ] nên t [ 1;1]  , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau. Ta có: t t m4 2(2) 8 9 1 1     (3) Gọi (C1): y t t 4 2 8 9 1   với t [ 1;1]  và (d): y m1  . Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (d). Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền x1 1   . Khảo sát hàm số ST&BS: Cao Văn Tú- Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Trang 32 Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: m 0 m 0 m0 1  m 81 1 32   m 81 32  m 81 32  vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm Câu 89. Cho hàm số x y x 3 4 2    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 2 0; 3       : x x m x x6 6 4 4sin cos (sin cos )    Xét phương trình: x x m x x6 6 4 4sin cos (sin cos )   (*) x m x 2 23 1 1 sin 2 1 sin 2 4 2           x m x2 24 3sin 2 2 (2 sin 2 )   (1) Đặt t x2sin 2 . Với x 2 0; 3       thì  t 0;1 . Khi đó (1) trở thành: t m t 3 4 2 2    với t 0;1   Nhận xét : với mỗi t 0;1   ta có : x t x t x t sin2 sin2 sin2       Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn 2 0; 3       thì t t 3 3 ;1 ;1 2 4            Dưa vào đồ thị (C) ta có: y m y m 3 7 (1) 2 1 2 4 5            m 1 7 2 10   . Câu 90. Cho hàm số 1 . 1 x y x    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x     Số nghiệm của 1 1 x m x    bằng số giao điểm của đồ thị (C): 1 1 x y x    và .y m Dựa vào đồ thị ta suy ra được: 1; 1 m m 1 m 1 1  m 2 nghiệm 1 nghiệm vô nghiệm KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Câu 91. Cho hàm số 3 3 2y x x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3). ST&BS: Cao Văn Tú - Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Khảo sát hàm số Trang 33  Gọi  A x y 0 0 ; , B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)  B x y 0 0 2 ;6    A B C, ( )  y x x y x x 3 0 0 0 3 0 0 0 3 2 6 ( 2 ) 3( 2 ) 2                   x x x x x x 33 2 0 0 0 0 0 0 6 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0                x y 0 0 1 0    Vậy 2 điểm cần tìm là:  1;0 và  1;6 Câu 92. Cho hàm số 3 3 2y x x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x y2 – 2 0  .  Gọi    1 1 2 2; ; ;M x y N x y thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d I là trung điểm của AB nên 1 2 1 2; 2 2 x x y y I        , ta có I d Có:    3 31 1 2 21 2 1 23 2 3 2 2. 2 2 2 2 x x x xy y x x                   3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 0 3 3 2 1                x x x x x x x x x x x x x x x x Lại có:    2 1 2 1.1 .2 0MN d x x y y          2 2 2 22 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 7 7 2 0 2           x x x x x x x x x x x x - Xét 1 2 0x x  1 2 7 7 ; 2 2 x x   - Xét 2 22 2 1 21 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 9 1 4 7 5 2 4 x xx x x x x x x x x x                  vô nghiệm Vậy 2 điểm cần tìm là: 7 1 7 7 1 7 ;2 ; ;2 2 2 2 2 2 2                  Câu 93. Cho hàm số x y x x 3 2 11 3 3 3      . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.  Hai điểm M x y N x y C 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) ( ) đối xứng nhau qua Oy  x x y y 2 1 1 2 0       x x x x x x x x2 2 1 3 3 2 31 2 1 1 2 0 11 11 3 3 3 3 3 3                  x x 1 2 3 3      hoặc x x 1 2 3 3      Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M N 16 16 3; , 3; 3 3             . Khảo sát hàm số ST&BS: Cao Văn Tú- Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Trang 34 Câu 94. Cho hàm số x y x 2 1 1    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.  Giao điểm 2 tiệm cận là I( 1;2) . Gọi M I IM M I y y M x C k x x x x 0 2 0 0 3 3 ;2 ( ) 1 ( 1)              + Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:   M k y x x 0 2 0 3 ( ) 1    + YCBT M IM k k. 9   x x 0 0 0 2      . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5) Câu 95. Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.  Gọi M x y 0 0 ( ; ) (C), ( x 0 1  ) thì x y x x 0 0 0 0 2 1 1 2 1 1       Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: MA x MB y x 0 0 0 1 1 , 2 1       Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x x 0 0 1 2 . 2 1 . 2 1        MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x x xx 0 0 00 01 1 21          . Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). Câu hỏi tương tự: a) 2 1 1    x y x ĐS: 0 1 3x    Câu 96. Cho hàm số x y x 3 4 2    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.  Gọi M x y( ; ) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. Ta có: x x x y x x x x 3 4 2 3 2 2 2 2 2              x x x xx 1 ( 2) 42           Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) Câu 97. Cho hàm số x y x 2 4 1    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. ST&BS: Cao Văn Tú - Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Khảo sát hàm số Trang 35 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).  MN (2; 1)   Phương trình MN: x y2 3 0   . Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: y x m2  . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x m x 2 4 2 1      x mx m x22 4 0 ( 1)      (1) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  m m2 –8 –32 0  (2) Khi đó A x x m B x x m 1 1 2 2 ( ;2 ), ( ;2 )  với x x 1 2 , là các nghiệm của (1) Trung điểm của AB là x x I x x m 1 2 1 2 ; 2         m m I ; 4 2       (theo định lý Vi-et) A, B đối xứng nhau qua MN  I  MN  m 4  Suy ra (1)  x x x x 2 0 2 4 0 2         A(0; –4), B(2; 0). Câu 98. Cho hàm số 2 1 x y x   . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0).  Ta có C y x 2 ( ) : 2 1    . Gọi B b C c b c 2 2 ;2 , ;2 1 1                 với b c1  . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox. Ta có: AB AC BAC CAK BAH CAK ACK BAH ACK0 0; 90 90        và: AH CKBHA CKA ABH CAK HB AK 0 90          Hay:  b bc c c b 2 2 2 11 2 3 2 2 1                 . Vậy B C( 1;1), (3;3) Câu 99. Cho hàm số 1 12    x x y . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tọa độ điểm M  (C) sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(I tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.  Giả sử )( 1 3 2; 0 0 C x xM         . PTTT  của (C) tại M là: )( )1( 3 1 3 2 02 00 xx xx y       0)1(3)2()1()(3 0 2 00  xyxxx Khoảng cách từ )2;1(I tới tiếp tuyến  là: H K B A C Khảo sát hàm số ST&BS: Cao Văn Tú- Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Trang 36   2 02 0 4 0 0 4 0 00 )1( )1( 9 6 )1(9 16 19 )1(3)1(3          x x x x x xx d . Theo BĐT Cô–si: 692)1( )1( 9 2 02 0   x x  6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi   3131)1( )1( 9 0 2 0 2 02 0   xxx x . Vậy có hai điểm cần tìm là:  32;31 M hoặc  32;31 M Câu 100. Cho hàm số x y x 2 2 1    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).  PT đường trung trực đọan AB: y x . Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT: x x x 2 2 1     x x x x 2 1 5 2 1 0 1 5 2          Hai điểm cần tìm là: 1 5 1 5 1 5 1 5 , ; , 2 2 2 2                    Câu 101. Cho hàm số    3 1 x y x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.  Tập xác định D = R \{ 1} . Tiệm cận đứng x 1 . Giả sử A a B b a b 4 4 1 ;1 , 1 ;1                  (với a b0, 0  ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) AB a b a b ab ab a b aba b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 16 16 64 ( ) 16 ( ) 1 4 1 4 32                              AB nhỏ nhất               4 4 4 2 416 4 4 a b a b AB a b ab a ab Khi đó:    A B4 4 4 41 4;1 64 , 1 4;1 64      . ST&BS: Cao Văn Tú. Lớp: CNTT_K12D Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Blog: www.caotu28.blogspot.com