Tuyển chọn phương trình và hệ phương trình

^_____________` e NGUYỄN XUÂN HIẾU a e a e a e a e a e a e a e a e a e TUYỂN CHỌN PT VÀ HPT a e a e a e a e a e a e a e a e a e a e Hà Tĩnh - 2016 a dcccccccccccccb TUYỂN CHÅN PT VÀ HPT Bài 1. GiÊi phương trẳnh: p p 32x2 + 8x + 4 2 2x2 + x + 2x − 1 = 4x2 + 7 (SĂng tĂc: ThƯy Khoa TrƯn) LÍI GIẢI 1 Đk: x > 2 p 14x + 3 Ta cú: 2 2x2 + x (1) > 5 Thêt vêy: (1) , (2x − 1)(2x + 9) > 0 Vêy đĂnh giĂ trản là đỏnh giĂ đỳng !!! Khi đú: p p 20x2 − 34 2x − 1 + 35 + (28x2 − 60x + 33) 2x − 1p VT − VP > 2 2x − 1 5(4x + 7) p 20x2 − 34x + 35 + (28x2 − 60x + 33) 2x − 1p 2x − 1 0 > 5(4x2 + 7) > p (AM − GM : 2x − 1 6 x) 1 ) VT VP , DĐu "=" xÊy ra , x = > 2 Thỷ lÔi thĐy thỏa mÂn !!!! 1 Vêy phương trẳnh đó cho cú 1 nghiằm x = 2 Bài 2. GiÊi hằ phương trẳnh: EF 8 15 08 > + p = 98 (1) <> r 35 2y − 1 x − 36 > p p :> 2 + xy(1 + x) = 2 xy(1 + x) (2) (SĂng tĂc: ThĂm Tỷ Cụ Nan nhƠn dịp tát trung thu 2016) HG LÍI GIẢI NguyạnNGUYỄN XuƠn Hiáu1 XUÂN HIẾU ĐẲNG CẤP LÀ HIẾUPRầ K42 Trường THPT Câm Bẳnh - Hà Tĩnh 8 35 >x 36 Đk: 1 > y : > 2 p p (2) , ( xy − 1)2 + (x y − 1)2 = 0 ( x = 1 , y = 1 Thỷ lÔi vào (1) thĐy thỏa mÂn Vêy HPT đó cho cú 1 nghiằm (x; y) = (1; 1) abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d Bài 3. GiÊi hằ phương trẳnh: e d e d ( p p e d ( x2 + 1 + x)(y − y2 − 1) = 1 (1) e d p p p e d ( x2 + 1 + y2 − 1)2 + 8 y − x + 14 = 17 (2) e d e d e d (Sưu tƯm bởi: MÔnh TrƯn)e d e d e fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh LÍI GIẢI 8 " > y 1 Đk: y 6 −1 (∗) > :> y − x + 14 0 p > (1) , x + x2 + 1 = y + py2 − 1 (3) Ta cú: VT (3) > x + jxj > 0 p ) VP (3) > 0 , y + y2 − 1 > 0 ) y > 0 Kát hủp với điều kiằn (∗) ) y > 1 Khi đú: (3) được viát lÔi: q p p 2 p x2 + 1 + x = ( y2 − 1) + 1 + y2 − 1 (4) p X²t hàm số: f(t) = t + t2 + 1 liản tục trản R 0 t t + jtj Ta cú: f (t) = 1 + p > p > 0 t2 + 1 t2 + 1 ) Hàm số f(t) đồng bián trản R, khi đú: Nguyạn XuƠnNGUYỄN Hiáu2 XUÂN HIẾU TUYỂN CHÅN PT VÀ HPT ( x 0 (4) , f(x) = f(py2 − 1) ) x = py2 − 1 , > p y = x2 + 1 (do y 1) p > Thay y = x2 + 1 vào (2) ta được: p pp ( x2 + 1 + x)2 + 8 x2 + 1 − x + 14 = 17 s p 1 , ( x2 + 1 + x)2 + 8 p + 14 = 17 x2 + 1 + x p Đặt t = x2 + 1 > 1 r1 Phương trẳnh trở thành: t2 + 8 + 14 = 17 p t Với t > 1, ta cú: VT > 1 + 8 14 > 17 = VP ) PTVN Vêy hằ phương trẳnh đó cho vụ nghiằm ! Bài 4. GiÊi Phương trẳnh: p rx − 1 p x(1 − x + x + 2) − 2 = 5 − 2x x + 2 (sĂng tĂc: ThƯy Khoa TrƯn) LÍI GIẢI  5 Điều kiằn: x 2 1; 2 Quy đồng bỏ mău và liản hủp ta được: p p p  3 x − 1 x x − 1 PT , (x − 2) x − 1 p p − p −x + 4 + 5 − 2x x + 2 2 + x + 2 | {z } f(x) x − 4  − p − 1 = 0 (∗) 1 + x − 1 | {z } f(x)  5 Với 8x 2 1; ta cú cĂc đỏnh giĂ sau: 2 8 p 1p 3 > x + 2 > x − 1 + < 2 2 p p 5p > 5 − 2x x + 2 < −x + 7 − x − 1 : 2 NguyạnNGUYỄN XuƠn Hiáu3 XUÂN HIẾU ĐẲNG CẤP LÀ HIẾUPRầ K42 Trường THPT Câm Bẳnh - Hà Tĩnh Khi đú: 8a6 + 22a5 + 19a4 + 30a3 − 153a2 − 154a + 252 f(x) > > 0 (−4a2 − 5a + 18)(a + 1)(a + 7) 8 p > a = x − 1 < " p # (Trong đú: 6 ) > a 2 0; :> 2 " x = 1 Phương trẳnh (*) tương đương với: (t=m) x = 2 Vêy phương trẳnh đó cho cú 2 nghiằm x = 1; x = 2. Bài 5. GiÊi phương trẳnh: p p x x 5 x 5 31 r 6 r 2 − + + p = 3 + + 2 + 2 8 4 8 x x x (sĂng tĂc ThƯy TrƯn Quốc Thịnh) LÍI GIẢI Điều kiằn: x > 0 p Đặt: t = x(t > 0) ) x = t2 p p Phương trẳnh trở thành: 4t4 − 5t2 + 10t + 31 = 8( 3t2 + 6 + 2t2 + 2)  3 *) TH1: x 2 0; , Theo AM - GM ta cú: 4 8 p p 36(t2 + 2) + 75 > 6 t2 + 2:5 3 < 6 2 p p 49(t2 + 1) + 50 :> 7 t2 + 1:5 2 6 2 p p  52 1082 ) 8 3t2 + 6 + 2t2 + 2 t2 + 6 5 35 140t4 − 539t2 + 350t + 3 Khi đú: VT − VP > 35  3 KhÊo sĂt hàm số cho thĐy: 140t4 − 539t2 + 350t + 3 > 0, với 8t 2 0; 4 ) V T > V P ) PTVN Nguyạn XuƠnNGUYỄN Hiáu4 XUÂN HIẾU TUYỂN CHÅN PT VÀ HPT 3 *) TH2: x , Theo AM - GM ta cú: > 4 ( p 2 2 3 (t2 + 2) 6 t + 5 p 2 2 2 (t2 + 1) 6 t + 3 2 2
2 Khi đú: VT − VP > (t − 1) 4t + 8t − 1 ≥ 0 (Do: 4t + 8t − 1 > 0, với 3 8t ) > 4 ) VT > VP , DĐu "=" xÊy ra , t = 1 ) x = 1 Thỷ lÔi thĐy thỏa mÂn!!! Vêy phương trẳnh đó cho cú 1 nghiằm x = 1. Bài 6. GiÊi phương trẳnh: q x2 − 4x + 11 p x2 + 3p 2x (x2 − 1) + = 2x2 + 2x + x − 1 4 4 (sĂng tĂc ThƯy Khoa TrƯn) LÍI GIẢI Điều kiằn: x > 1 p  p q  PT , x − 1 − 1
x2 + 7 + 4 x − 1 − 4 2x (x + 1) = 0 | {z } f(x) " p x − 1 − 1 = 0 , f(x) = 0 p *) Với: x − 1 − 1 = 0 , x = 2(t=m) *) Với: f(x) = 0 X TH1: x > 2 p p 2 2 p 2   f(x) > x + 11 − 4 2x (x + 1) = (x − 3) + 2 2x − x + 1 > 0 ) PT : f(x) = 0 Vụ nghiằm p X TH2: x 2 [1; 2), ta cú: x − 1 > x − 1 2 p p  2 Khi đú: f(x) > 2 2x − x + 1 + (x − 1) > 0 dĐu "=" xÊy ra , x = 1, thỷ lÔi thĐy thỏa mÂn!!! Vêy phương trẳnh đó cho cú 2 nghiằm x = 1; x = 2 NguyạnNGUYỄN XuƠn Hiáu5 XUÂN HIẾU ĐẲNG CẤP LÀ HIẾUPRầ K42 Trường THPT Câm Bẳnh - Hà Tĩnh Bài 7. GiÊi phương trẳnh: p x2 + 7
x2 + 1 + 2 x4 + 3x2 + 2
= 1 q p 3 3 + (x2 + 3) 9x2 + 12 + 8 x2 + 1 (nguồn Huỳnh Minh Sang) LÍI GIẢI p Đặt t = x2 + 1 (t > 1)  p   p  PT trở thành: t2 + 3t − 8t3 + 9t2 + 3 3t − 2 + 8t3 + 9t2 + 3 = 0 p p 2 , t +3t− 8t3 + 9t2 + 3 = 0 (Do: 3t−2+ 8t3 + 9t2 + 3 > 0, với 8t > 1) h i , t4 − 2t3 − 3 = 0 , (t + 1) (t − 1)3 − 2 = 0 p r p 2 3  3  , t = 1 + 2 (Do: t > 1) ) x = ± 1 + 2 − 1 Vêy phương trẳnh đó cho cú 2 nghiằm!!! Bài 8. GiÊi phương trẳnh: p p p 3 x2 − 1
2x2 − 1 + 3 2 − x2 = 4x2 + 2x − 3
2x − 1 (sĂng tĂc MÔnh TrƯn) LÍI GIẢI  1 p  Điều kiằn: x 2 p ; 2 2 p   p  PT , 4x2 + 2x − 3
2x − 1 − 1 + 3 1 − 2 − x2 p − 3 x2 − 1
2x2 − 1 + (x − 1) (4x − 6) = 0 , (x − 1) :h (x) = 0 Trong đú: 2
2 4x + 2x − 3 3 (x + 1) p h (x) = p + p + 4x + 6 − 3 (x + 1) 2x2 − 1 2x − 1 + 1 1 + 2 − x2 | {z } f(x) | {z } g(x) Nguyạn XuƠnNGUYỄN Hiáu6 XUÂN HIẾU TUYỂN CHÅN PT VÀ HPT  1 p  Với 8x 2 p ; 2 , ta cú: f (x) > −1 2  p  3x + 2 − 2 − x2 nản suy ra: g (x) > p > 0 1 + 2 − x2  h (x) > 0 Khi đú: PT , x = 1 (t=m) Vêy phương trẳnh đó cho cú 1 nghiằm x = 1 Bài 9. GiÊi phương trẳnh: q 4 p p 4 (x + 1) (2x − 1)2 = 3 (2x − 1) − x + 1 + 12x2 − 11x + 4 (sĂng tĂc ThƯy Khoa TrƯn) LÍI GIẢI Điều kiằn: x > −1  1 *) TH1: x 2 −1; ) 1 − 2x > 0 2 p p p p (1 − 2x) 1 − 2x  PT , 1 − 2x 4 x + 1 + 3 1 − 2x − p p = 0 x + 1 + 12x2 − 11x + 4 | {z } f(x) 1 p p , x = (Do: x + 1 + 12x2 − 11x + 4 > 1 2 p p nản: f (x) > 4 x + 1 + 2 (x + 1) 1 − 2x > 0) 1 Vêy x = là 1 nghiằm cừa phương trẳnh!!! 2 1  *) TH2: x 2 ; 1 ) 2x − 1 > 0 2 p p  p p (2x − 1) 2x − 1  PT , 2x − 1 4 4 x + 1 − 3 2x − 1 − p p = 0 x + 1 + 12x2 − 11x + 4 1 p p 12 , x = (Do: x + 1 + 12x2 − 11x + 4 > 2 5p p (10x + 31) 2x − 1 nản: f (x) > 4 4 x + 1 − > 0) 12 1 Vêy x = là 1 nghiằm cừa phương trẳnh!!! 2 *) TH3: x > 1 NguyạnNGUYỄN XuƠn Hiáu7 XUÂN HIẾU ĐẲNG CẤP LÀ HIẾUPRầ K42 Trường THPT Câm Bẳnh - Hà Tĩnh p  9x + 3 x + 1 PT , (4x − 5) p + p 12x2 − 11x + 4 + 3 2 x + 1 + 3 | {z } f(x) 3 2 1024x3 − 528x2 − 564x + 259
+ p p h p i5 = 0 8x − 1 + 6 4 x + 1 2x − 1
(8x − 1)2 + 36 (2x − 1) x + 1 | {z } f(x) 3 2 khÊo sĂt hàm số cho thĐy: 1024x − 528x − 564x + 259 > 0, với 8x > 1 ) f (x) > 0, với 8x > 1 5 Khi đú: PT , x = (t/m) 4 5 Vêy x = là 1 nghiằm cừa phương trẳnh!!! 4 1 5 Kát luên: phương trẳnh đó cho cú 2 nghiằm x = ; x = 2 4 p p Bài 10. GiÊi phương trẳnh: (5x − 4) 2x − 3 − (4x − 5) 3x − 2 = 2 (Nguồn: Huỳnh Minh Sang) LÍI GIẢI 3 Điều kiằn: x > 2 3 3 X²t: x = khụng là nghiằm cừa phương trẳnh ) x > 2 p p 2 X²t hàm số: f (x) = (5x − 4) 2x − 3 − (4x − 5) 3x − 2 − 2 3  liản tục trản ; +1 2 Ta cú: (x − 1) 108x2 − 180x + 94
+ 89 f 0 (x) = p p p p > 0 2 2x − 3 3x − 2 2 (15x − 19) 3x − 2 + (36x − 31) 2x − 3 3  , với 8x 2 ; +1 2 3  ) hàm số f (x) đồng bián trản ; +1 2 3  Khi đú: PT f (x) = 0 cú tối đa 1 nghiằm trản ; +1 2 ( f (6) = 0 Mặt khĂc: ) x = 6 là nghiằm cừa PT 3
6 2 2; +1 Nguyạn XuƠnNGUYỄN Hiáu8 XUÂN HIẾU TUYỂN CHÅN PT VÀ HPT Vêy phương trẳnh đó cho cú 1 nghiằm x = 6 Bài 11. GiÊi phương trẳnh: p q 2 (x + 1) x + 3 (3x3 + 4x2 + 3x + 2) = 2x2 + 5x + 3 (sĂng tĂc: ThƯy TrƯn Quốc Thịnh) LÍI GIẢI Điều kiằn: x > 0 1 h p i PT , ( x − 1)4 + (x − 1)2:f (x) = 0 2  p 2 3x2 + 7x + 2 3x2 + x + 2 − p3 (x + 1) Trong đú: f (x) = 5x2 + 7 + 2p3 (3x3 + 4x2 + 3x + 2) PT , x = 1 Vêy phương trẳnh đó cho cú 1 nghiằm x = 1 Bài 12. GiÊi phương trẳnh: p p p (7x − 3) x+3 − 4x − 3x2
4x − 3 = x3+12x2−9x+(1 − 5x) 2x − 1 (sưu tƯm bởi bÔn: Cú Tản Khụng Đặt) LÍI GIẢI 3 Điều kiằn: x > 4 p p PT , (x − 1) x2 − x + 4
+ (7x − 3) ( x − 1) x p p p + 3x2 + 4x − 3
4x − 3 − 1
+ (5x − 1) 2x − 1 − 1
2x − 1 = 0 " p 4 3x2 + 4x − 3
(7x − 3) x PT , (x − 1) p + x2 − x + 4 + p 4x − 3 + 1 x + 1 | {z } p f(x) 2 (5x − 1) 2x − 1 + p = 0 2x − 1 + 1 | {z } f(x) NguyạnNGUYỄN XuƠn Hiáu9 XUÂN HIẾU