Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7

----------------------------- Đáp án đề 24 Bài 1: a) A = (0,25đ) A = (0,25đ) A = + = 0 (0,25đ) b) 4B = 22 + 24 + ... + 2102 (0,25đ) 3B = 2102 – 1; B = (0,25đ) Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 3.2410 = 230.311 (0,25đ) mà 415 > 311 ị 430 > 311 ị 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25đ) b) 4 = > > (0,25đ) ị + > + (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lượt là số ngày làm việc của 3 máy ị (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 lần lượt là số giờ làm việc của các máy ị (2) (0,25đ) Gọi z1, z2, z3 lần lượt là công suất của 3 máy ị 5z1 = 4z2 = 3z3 Û (3) (0,25đ) Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ) Từ (1) (2) (3) ị (0,5đ) ị x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25đ) Vậy số thóc mỗi đội lần lượt là 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) DEAB =DCAD (c.g.c) (0,5đ) ị (1) (0,25đ) Ta có (góc ngoài tam giác) (0,25đ) ị (0,25đ) b) Trên DM lấy F sao cho MF = MB (0,5đ) ị DFBM đều (0,25đ) ị DDFB = DAMB (c.g.c) (0,25đ) ị (0,5đ) Bài 6: Ta có (0,25đ) (0,25đ) ị (0,5đ) ------------------------------------------------------- đáp án đề 25 Câu 1 a.Nếu x 0 suy ra x = 1 (thoã mãn) Nếu < 0 suy ra x = -3 (thoã mãn) b. ; hoặc ;hoặc hoặc ;hoặc ; hoặc hoặc ; hoặc Từ đó ta có các cặp số (x,y) là (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c. Từ 2x = 3y và 5x = 7z biến đổi về à x = 42; y = 28; z = 20 Câu 2 A là tích của 99 số âm do đó B = B nguyên Câu 3 Thời gian đi thực tế nhiều hơn thời gian dự định Gọi vận tốc đi dự định từ C đến B là v1 == 4km/h Vận tốc thực tế đi từ C đến B là V2 = 3km/h Ta có: (t1 là thời gian đi AB với V1; t2 là thời gian đi CB với V2) từ à t2 = 15 . 4 = 60 phút = 1 giờ Vậy quãng đường CB là 3km, AB = 15km Người đó xuất phát từ 11 giờ 45 phút – (15:4) = 8 giờ Câu 4 Tam giác AIB = tam giác CID vì có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC) Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c) à góc B1 = góc D1 và BC = AD hay MB =ND à tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c) à Góc I3 = góc I4 à M, I, N thẳng hàng và IM = IN Do vậy: I là trung điểm của MN Tam giác AIB có góc BAI > 900 à góc AIB 900 Nếu AC vuông góc với DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác ABC vuông tại A Câu 5. P = P lớn nhất khi lớn nhất Xét x > 4 thì < 0 Xét x 0 à lớn nhất à 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất à 4 – x = 1 à x = 3 khi đó = 10 à Plớn nhất = 11. ------------------------------------------------------------- Hướng dẫn chấm đề 26 Bài 1 : a) Tìm x . Ta có + 5x =9 = 9-5x * 2x –6 ³ 0 x ³ 3 khi đó 2x –6 = 9-5x x = không thoã mãn. (0,5) * 2x – 6 < 0 x< 3 khi đó 6 – 2x = 9-5x x= 1 thoã mãn. (0,5) Vậy x = 1. b) Tính . (1+2+3+...+90).( 12.34 – 6.68) : = 0. (0,5) ( vì 12.34 – 6.68 = 0). c) Ta có : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 +...+ 2101 2A – A = 2101 –1. (0,5) Như vậy 2101 –1 < 2101 . Vậy A<B . (0,5) Bài 2 : Gọi 3 cạnh của tam giác ABC là a, b, c và 3 đường cao tương ứng là ha, hb, hc . Theo đề bài ta có. (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ha ) = 5 :7 :8 hay ha + hb =5k ; hb + hc=7k hc + ha = 8k ; ha + hb +hc =10k . (k là hệ số tỉ lệ ) . (0,5) Suy ra hc =( ha + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k. Tương tự : ha =3k , hb= 2k . A Diện tích tam giác : a . ha =b.hb Suy ra Tương tự : (0,5) a.ha = b.hb =c.hc B C a:b:c = . Hay a:b:c = 10: 15 :6 . (0,5) Bài 3 : a) Tại x = ta có : A = ; tại x = ta có : A = ; (1) b) Với x >1 . Để A = 5 tức là . (1) Bài 4 : E thuộc phân giác của ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy ra : tam giác NEC cân và ENC = ECN (1) . D thuộc phân giác của góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy ra tam giác MDC cân . và DMC =DCM ,(2) . Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc ngoài của DCDM ) = 2DCM. Tương tự ta lại có AEN = 2ECN . Mà AEN = ABC (góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn). MDB = CAB (góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn ). Tam giác vuông ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . Vậy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bài 5 : Ta có P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 0 với mọi x nên –( x +4)2 +21 21 với mọi x . Dấu (=) xảy ra khi x = -4 Khi đó P có giá trị lớn nhất là 21. ------------------------------------------------------------ hướng dẫn đề 27 Câu 1: (3đ) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5đ suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5đ c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ vì 3n.10 10 và 2n.5 = 2n-1.10 10 suy ra 3n.10-2n.5 10 0,5đ Bài 2: a/ Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, z∈z+) ta có: 2x=3y = 4z và x+y+z =130 0,5đ hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10 Ta có: 4343 = 4340.433= (434)10.433 vì 434 tận cùng là 1 còn 433 tận cùng là 7 suy ra 4343 tận cùng bởi 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 vì 174 có tận cùng là 1 suy ra (174)4 có tận cùng là 1 suy ra 1717 = 1716.17 tận cùng bởi 7 0,5đ suy ra 4343 và 1717 đều có tận cùng là 7 nên 4343-1717 có tận cùng là 0 suy ra 4343-1717 chia hết cho 10 0,5đ suy ra -0,7(4343-1717) là một số nguyên. Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5đ b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN 0,5đ c/ Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5đ gọi O là giao AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5đ suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5đ Vậy điểm O cố định. ------------------------------------------------------- Đáp án đề 28 Câu 1: (2đ). a. ẵaẵ + a = 2a với a ³ 0 (0,25đ) Với a < 0 thì ẵaẵ + a = 0 (0,25đ). b. ẵaẵ - a -Với a³ 0 thì ẵaẵ - a = a – a = 0 -Với a< 0 thì ẵaẵ - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2ẵx + 3ẵ -Với x + 3 ³ 0 ị x ³ - 3 Ta có: 3(x – 1) – 2 ẵx + 3ẵ = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5đ) -Với x + 3 < 0 đ x< - 3 Tacó: 3(x – 1) - 2ẵx + 3ẵ = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5đ). Câu 2: Tìm x (2đ). a.Tìm x, biết: ẵ5x - 3ẵ - x = 7 (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ) . (0,25 đ) Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ). b. ẵ2x + 3ẵ - 4x < 9 (1,5đ) Ûẵ2x + 3ẵ < 9 + 4x (1) ĐK: 4x +9 0 x (1) (t/mĐK) (0,5đ). Câu 3: Gọi chữ số của số cần tìm là a, b, c. Vì số càn tìm chia hết 18 đ số đó phải chia hết cho 9. Vậy (a + b + c ) chia hết cho 9. (1) (0,5đ). Tacó: 1 Ê a + b + c Ê 27 (2) Vì 1 Ê a Ê 9 ; b ³ 0 ; 0 Ê c Ê 9 Từ (1) và (2) ta có (a + b + c) nhận các giá trị 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5đ). Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 2 đ chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn. Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ). -Vẽ hình đúng viết giả thiết, kết luận đúng (0,5đ). -Qua N kẻ NK // AB ta có. EN // BK ị NK = EB EB // NK EN = BK Lại có: AD = BE (gt) ị AD = NK (1) -Học sinh chứng minh D ADM = D NKC (gcg) (1đ) ị DM = KC (1đ) ------------------------------------------------------ Đáp án đề 29 Bài 1: Ta có: 10A = (1) Tương tự: 10B = (2) Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10BA > B Bài 2:(2điểm) Thực hiện phép tính: A = = (1) Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) và (2) ta có: A = Bài 3:(2điểm) Từ: Quy đồng mẫu vế phải ta có :. Do đó : y(x-2) =8. Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ước của 8. Ta có các số nguyên tương ứng cần tìm trong bảng sau: Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có: b + c > a. Nhân 2 vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2. (1) Tương tự ta có : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. C K A I B Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác cắt đường thẳng CK ở I. Ta có: cân nên IB = IC. = (ccc) nên . Do đó: =(gcg) b) Từ chứng minh trên ta có: --------------------------------------------------- Đáp án đề 30 Câu 1: ( 2 điểm ) a. Do với mọi n nên . ( 0,2 điểm ) A< C = ( 0,2 điểm ) Mặt khác: C = ( 0,2 điểm) = ( 0,2 điểm) = (0,2 điểm ) Vậy A < 1 b. ( 1 điểm ). B = ( 0,25 điểm ) = ( 0,25 điểm ) = ( 0,25 điểm ) Suy ra P < ;Hay P < (0,25 điểm ) Câu 2: ( 2 điểm ) Ta có với k = 1,2..n ( 0,25 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có: (0,5 điểm ) Suy ra 1 < ( 0,5 điểm ) Lần lượt cho k = 1,2, 3, n rồi cộng lại ta được. n < ( 0,5 điểm) => Câu 3 (2 điểm ) Gọi ha , hb ,hc lần lượt là độ dài các đường cao của tam giác. Theo đề bài ta có: ( 0,4 điểm ) => => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 điểm ) Mặt khác S = ( 0,4 điểm ) => (0 , 4 điểm ) => a :b : c = (0 ,4 điểm ) Vậy a: b: c = 10 : 10 : 6 Câu 4: ( 2 điểm ) Trên tia Ox lấy , trên tia Oy lấy sao cho O = O = a ( 0,25 điểm ) Ta có: O + O = OA + OB = 2a => A = B ( 0,25 điểm ) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu y Của A và B trên đường thẳng Tam giác HA = tam giác KB ( cạnh huyền, góc nhọn ) ( 0,5 điểm ) => H do đó HK = (0,25 điểm) Ta chứng minh được HK (Dấu “ = “ A trùng trùng (0,25 điểm) do đó ( 0,2 điểm ) Vậy AB nhỏ nhất OA = OB = a (0,25điểm ) Câu 5 ( 2 điểm ) Giả sử ( 0,2 điểm ) => => b +b +2 ( 0,2 điểm) => 2 ( 1 ) ( 0,2 điểm) => 4bc = 2 + 4 d2a – 4b ( 0,2 điểm) => 4 d = 2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 điểm) * Nếu 4 d # 0 thì: là số hữu tỉ (0,2 5điểm ) ** Nếu 4 d = 0 thì: d =0 hoặc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 điểm ) + d = 0 ta có : => (0,25 điểm ) + d 2+ a-b – c = 0 thì từ (1 ) => Vì a, b, c, d nên ( 0,25 điểm ) Vậy là số hữu tỉ. Do a,b,c có vai trò như nhau nên là các số hữu tỉ --------------------------------------------------