Tài liệu Phát triển bài toán vận dụng cao - Chương IV. Nguyên hàm – Tích phân và những bài toán thực tế - Hứa Lâm Phong

giờ sáng và 11 giờ trưa ? n Phân tích bài toán Đề bài cho hàm mô tả tốc độ sản xuất sản phẩm của một người công nhân. Suy ra nguyên hàm của là hàm số mô tả số lượng sản phẩm làm ra của người công nhân đó trong t giờ. Lúc 8 giờ người công nhân đó bắt đầu làm việc (ta xem như t = 0). Như vậy thời gian từ 9 giờ sáng đến 11 giờ ứng với t từ 1 đến 4. Số đơn vị sản phẩm người công nhân đó làm được từ 9 giờ đến 11 giờ là: Hướng dẫn giải Gọi là số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng. Ta có Số đơn vị sản phẩm người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng đến 11 giờ trưa là đơn vị sản phẩm. Bài toán 2: Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của một quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004 là tỷ USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD. Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015. n Phân tích bài toán Tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của quốc gia đó sau t năm tính từ năm 2004 được mô tả bởi hàm số . Suy ra nguyên hàm của là hàm số biểu thị GDP của quốc gia đó sau t năm. Ta có Năm 2004 xem như t = 0, năm 2015 ứng với t = 11. Giá trị tăng thêm GDP của quốc gia đó từ năm 2004 đến 2015 được tính theo công thức . Vậy tổng giá trị GDP của quốc gia đó tính đến năm 2015 bằng giá trị GDP năm 2004 cộng thêm GDP từ năm 2004 đến đầu năm 2015, tính theo công thức . Hướng dẫn giải Nguyên hàm của là hàm số mô tả GDP của quốc gia sau t năm (được tính từ năm 2004). GDP tăng thêm tính từ năm 2004 (t = 0) đến đầu năm 2015 (t = 11) là tỷ USD. Như vậy, tổng giá trị GDP tính đến đầu năm 2015 bằng tỷ USD. n Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, ta cần hiểu đúng ý nghĩa của hàm , đó là sản lượng GDP của quốc gia làm ra tính đến năm thứ t, chứ không phải là sản lượng GDP làm được trong năm thứ t, hai điều đó hoàn toàn khác nhau. Hai là, nếu hiểu được là sản lượng GDP của quốc gia tính đến năm thứ t thì giá trị GDP tính đến đầu năm 2015 sẽ bằng GDP tính đến năm 2004 cộng với lượng GDP tăng thêm từ năm 2004 đến đầu năm 2015. Tìm hiểu về chi phí cận biên và doanh thu cận biên trong sản xuất kinh tế Để sản xuất x sản phẩm A, ta cần chi phí là m đồng. Nếu ta tăng sản lượng sản xuất lên 1 đơn vị thành x + 1 sản phẩm thì cần chi phí tương ứng là n đồng. Khi đó, mức tăng chi phí n - m được gọi là chi phí cận biên khi sản xuất x + 1 sản phẩm (tăng từ x lên x + 1 sản phẩm). Ta xem ví dụ minh họa bằng bảng sau: Số lượng sản phẩm sản xuất Tổng chi phí (đồng) Chi phí cận biên(đồng) 0 0 1 15 15 2 26 11 3 34 8 4 41 7 5 49 8 6 59 10 7 47 12 8 61 14 9 77 16 10 95 18 Theo bảng trên, khi sản xuất tăng từ 0 đến 1 sản phẩm thì chi phí tăng thêm 15 đồng, suy ra chi phí cận biên của 1 sản phẩm được sản xuất là 15 đồng. Tương tự, khi sản xuất tăng từ 1 đến 2 sản phẩm thì chi phí tăng thêm 11 đồng, đó chính là chi phí cận biên khi sản xuất 2 sản phẩm,... Nếu gọi là chi phí cận biên khi sản xuất x sản phẩm thì nguyên hàm của chính là tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm. Số liệu bảng trên là một ví dụ trong thực tế, khi sản xuất tăng từ 1 đến 4 sản phẩm thì chi phí cận biên sẽ giảm nhưng khi số lượng sản phẩm làm ra tăng từ 5 trở lên thì chi phí cận biên bắt đầu tăng trở lại. Một trong những lí do dẫn đến hiện tượng này là khi số lượng sản phẩm tăng từ 1 đến 4 thì công ty sử dụng công nghệ đơn giản nên tiết kiệm được chi phí, nhưng khi số lượng sản phẩm sản xuất tăng cao thì chi phí quản lí sẽ tăng cao. Ngoài ra, khi tính toán số lượng sản phẩm cần sản xuất, công ty còn phải dự báo được số lượng sản phẩm bán ra được và doanh thu có tăng thêm nhiều hay ít khi tăng số lượng sản phẩm sản xuất. Doanh thu cận biên là mức doanh thu tăng thêm khi tăng lượng bán thêm 1 sản phẩm, ta có ví dụ qua bảng sau: Số lượng sản phẩm bán được Đơn giá Tổng doanh thu Doanh thu cận biên 0 - 0 1 21 21 21 2 20 40 19 3 19 57 17 4 18 72 15 5 17 85 13 6 16 96 11 7 15 105 9 8 14 112 7 9 13 117 5 10 12 120 3 Theo bảng trên, khi tăng số lượng bán từ 1 đến 2 sản phẩm, thì doanh thu tăng từ 21 đồng đến 40 đồng, như vậy mức tăng thêm 40 - 21 = 19 đồng gọi là doanh thu cận biên khi bán được 2 sản phẩm, tương tự doanh thu cận biên khi bán được 4 sản phẩm là 15 đồng. Gọi là hàm doanh thu cận biên khi bán được x sản phẩm, khi đó nguyên hàm của chính là tổng doanh thu khi bán được x sản phẩm. Trong thực tế không phải sản xuất càng nhiều sản phẩm thì doanh thu cận biên và tổng doanh thu sẽ càng cao, mà nó phụ thuộc vào nhu cầu có khả năng thanh toán của người tiêu dùng. Mặt khác, nhu cầu có khả năng thanh toán của người tiêu dùng lại tùy thuộc vào giá sản phẩm, nếu giá sản phẩm thấp thì người tiêu dùng sẽ mua nhiều, còn giá sản phẩm tăng cao thì người tiêu dùng sẽ mua ít lại. Vì vậy, một doanh nghiệp thường hạ giá bán khi số lượng sản phẩm bán ra tăng lên, điều này dẫn đến mối quan hệ giữa chi phí cận biên và doanh thu cận biên, đồng thời ảnh hưởng đến số lượng sản phẩm cần sản xuất. Để hiểu rõ hơn điều mới nói, chúng ta quan sát cả 2 bảng trên, khi số sản phẩm tăng lên 2 thì chi phí tăng thêm 11 đồng, doanh thu tăng thêm 19 đồng, vậy công ty có lời thêm 19 - 11 = 8 đồng, điều này khuyến khích công ty sản xuất 2 sản phẩm. Khi tăng số lượng sản phẩm từ 5 đến 6 thì chi phí tăng thêm 10 đồng, doanh thu tăng thêm 11 đồng, khi đó công ty chỉ lời thêm 11 - 10 = 1 đồng, thấp hơn nhiều so với mức tăng từ 1 lên 2 sản phẩm. Và khi tăng số lượng sản phẩm từ 7 lên 8 sản phẩm thì chi phí tăng thêm 14 đồng, nhưng doanh thu chỉ tăng thêm 7 đồng, vậy doanh thu đã giảm đi 7 - 14 = -7 đồng. Như vậy , công ty sẽ tính toán số lượng sản phẩm sản xuất sao cho doanh thu cận biên lớn hơn chi phí cận biên, thậm chí mức chênh lệch giữa doanh thu cận biên và chi phí cận biên đủ lớn để công ty “có động lực” sản xuất nhiều sản phẩm. Bài toán 3: Một công ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên khi x sản phẩm được sản xuất là USD/ sản phẩm. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản xuất ra tăng từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm ? n Phân tích bài toán Chi phí cận biên khi x sản phẩm được sản xuất là USD/ sản phẩm. Nguyên hàm của là hàm S(x) mô tả tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm, ta có Vậy khi tăng sản lượng sản xuất từ 3 đến 7 sản phẩm thì cần thêm chi phí Hướng dẫn giải Gọi S(x) là hàm tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm, ta có S’(x) = q(x). Chi phí tăng thêm khi tăng sản lượng sản xuất từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm là USD. n Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, để giải được bài toán này ta cần hiểu rõ khái niệm chi phí cận biên là mức chi phí thay đổi trong tổng chi phí khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm. Hai là, nguyên hàm của hàm chi phí cận biên chính là hàm tổng chi phí S(x) khi sản xuất x đơn vị sản phẩm. Bài toán 4: Một công ty có doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng x được xác định dưới dạng hàm số , với x là số lượng sản phẩm được bán ra. Hỏi tổng doanh thu của công ty khi bán ra 100 sản phẩm là bao nhiêu ? n Phân tích bài toán Hàm số là doanh thu cận biên khi bán được x sản phẩm. Ta có nguyên hàm của là hàm tổng doanh thu khi bán được x sản phẩm. Lập công thức tính . Dùng điều kiện ban đầu, tổng doanh thu bằng 0 khi chưa bán được sản phẩm ta suy ra hàm . Khi đó dễ dàng tính được . Hướng dẫn giải Hàm tổng doanh thu là nguyên hàm của nên ta có . Hiển nhiên rằng tổng doanh thu sẽ bằng 0 khi số lượng sản phẩm bán ra là bằng 0 . Vậy khi 100 sản phẩm được bán ra thì doanh thu sẽ là đơn vị tiền tệ. Hàm doanh thu cận biên . Bài toán 5: Một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng với chi phí cận biên được mô tả bởi hàm số , với x là số sản phẩm sản xuất. Giả sử rằng doanh nghiệp bán được hết số lượng sản phẩm sản xuất được. Biết rằng doanh thu cận biên được mô tả bởi hàm số , với x là số lượng sản phẩm được bán ra. Giả sử rằng tổng chi phí khi chưa sản xuất sản phẩm nào là 0 đồng và tổng doanh thu khi chưa bán được sản phẩm nào là 0 đồng. a) Hỏi khi sản xuất 8 sản phẩm và bán hết thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận là bao nhiêu ? b) Lập bảng tính chi phí cận biên và doanh thu cận biên khi sản xuất và bán được số lượng từ 10 đến 18 sản phẩm. Hỏi doanh nghiệp có nên tăng sản lượng lên 15 sản phẩm hay không ? n Phân tích bài toán Số tiền lợi nhuận khi sản xuất và bán hết x sản phẩm sẽ bằng tổng doanh thu khi bán hết x sản phẩm trừ đi tổng chi phí sản xuất x sản phẩm đó. Như vậy ta cần phải xác định 2 hàm số. Hàm tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm và hàm tổng doanh thu khi bán hết x sản phẩm. Hàm là nguyên hàm của , kết hợp với điều kiện ban đầu , ta suy ra biểu thức . Hàm là nguyên hàm của , kết hợp với điều kiện ban đầu , ta suy ra biểu thức . Hướng dẫn giải Nguyên hàm của là hàm số tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm . Vì . Suy ra . Nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên là hàm tổng doanh thu . Kết hợp điều kiện ban đầu suy ra . Lợi nhuận khi sản xuất và bán hết 8 sản phẩm là đồng. b) Giả sử rằng số sản phẩm bán được bằng số sản phẩm sản xuất, ta có bảng sau Số lượng sản phẩm Chi phí cận biên Doanh thu cận biên Lợi nhuận tăng thêm 10 3,3 5,64 2,34 11 3,8 5,51 1,71 12 4,5 5,41 0,91 13 5,4 5,33 -0,07 14 6,5 5,26 -1,24 15 7,8 5,21 -2,59 16 9,3 5,17 -4,13 17 11 5,13 -5,87 18 12,9 5,11 -7,79 Quan sát bảng số liệu trên, khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra tăng đến 13 sản phẩm thì mức tăng lợi nhuận bị âm. Như vậy, doanh nghiệp chỉ nên sản xuất tối đa 12 sản phẩm, không nên sản xuất đến 15 sản phẩm. Bài toán 6: Tại 1 công ty, giá bán P của một đơn vị sản phẩm của một mặt hàng phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x được bán. Ước tính rằng nếu sản phẩm được bán ra với tốc độ thay đổi của giá mỗi sản phẩm được tính theo công thức: (USD/sản phẩm) Hãy xác định giá khi 10 sản phẩm bán ra, biết nếu rằng một sản phẩm bán ra giá bán sẽ là 5600 (USD). Hướng dẫn giải: Gọi x là số sản phẩm bán ra và là giá bán của mỗi sản phẩm Theo đề ta có . Suy ra . Đặt . Suy ra . Nếu chỉ có 1 sản phẩm được bán ra thì giá là . Vậy . Giá bán mỗi sản phẩm khi 10 sản phẩm được bán ra là USD.