Tài liệu Phát triển bài toán vận dụng cao - Chương III. Khối đa diện – Khối tròn xoay - Hứa Lâm Phong

n tích đáy nhỏ. Để giải bài toán này, ta xét bài toán tổng quát sau: Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính 2 đáy lần lượt là R và r. (R > r). Nếu cắt một hình nón rỗng đáy dọc theo một đường sinh rồi trải ra mặt phẳng, ta sẽ có hình 3.12.4.b, phần diện tích giới hạn bởi 2 cung tròn và 2 bán kính chính là diện tích xung quanh của hình nón cụt. L l Hình 3.12.4.b Như ta thấy diện tích xung quanh của hình nón cụt chính là hiệu diện tích của hình nón đáy lớn và hình nón đáy nhỏ. Gọi lần lượt là diện tích xung quanh hình nón nhỏ, hình nón lớn và hình nón cụt. Gọi l và L lần lượt là độ dài đường sinh của hình nón nhỏ và hình nón lớn. Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón và vuông góc với đáy, hình 3.12.4.c cho ta thiết diện của hình nón khi bị cắt bởi mặt phẳng này. Hình 3.12.4.c Trong đó: tam giác cân SMM’, tam giác cân SNN’ và hình thang cân NN’M’M lần lượt là thiết diện do mặt phẳng đã nếu cắt hình nón lớn, hình nón nhỏ và hình nón cụt. Ta có: . Diện tích xung quanh của hình nón cụt: Vậy diện tích xung quanh của một hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là R và r là: Hướng dẫn giải Áp dụng công thức, ta có diện tích xung của khuôn bánh là: Diện tích miếng kim loại là tổng diện tích xung quanh của khuôn nón và diện tích đáy nhỏ: Một lọ vitamin C có dạng hình trụ với bán kính đáy là 1,5cm và chiều cao là 8cm. Những viên sủi vitamin C được đựng trong lọ cũng có dạng hình trụ với diện tích đáy bằng diện tích đáy lọ và thể tích mỗi viên là . a. Hỏi trong lọ có tổng cộng bao nhiêu viên vitamin C? b. Những lọ vitamin này được xếp thẳng đứng sát nhau vào một khay hình hộp chữ nhật. Hỏi chiều dài và chiều rộng của khay là bao nhiêu để chứa được 20 lọ xếp thành 5 hàng, mỗi hàng 4 lọ? Hình 3.12.5.a Hình 3.12.5.b Câu a: Để xác định được số viên thuốc trong lọ, ta chỉ cần tìm được thể tích lọ rồi chia kết quả cho thể tích từng viên. Vì lọ có dạng hình trụ nên để tìm thể tích ta dùng công thức: trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao lọ.Rõ ràng những thông tin này ta đều đã có. Câu b: Để giải quyết câu b, ta hãy quan sát hình chiếu với phương chiếu vuông góc với đáy khay, khi đó ta sẽ thấy hình ảnh như hình 3.12.5.c. Hình 3.12.5.c Hướng dẫn giải a. Thể tích của chiếc lọ: . Mỗi viên thuốc có thể tích là . Ta xét tỉ số: . Vậy trong lọ có đúng 10 viên sủi C. b. Chiều dài khay bằng 5 lần đường kính đáy lọ: 5.2.1,5 = 15 (cm). Chiều rộng khay bằng 4 lần đường kính đáy lọ: 4.2.1,5 = 12 (cm). Hình 3.12.6 Một xilanh hình trụ có một pít-tông là phần dùng để ngăn cách 2 khoang của xilanh (cũng có dạng hình trụ). Cho biết đường kính đáy và chiều cao xilanh lần lượt là 8cm và 50cm. Ban đầu, một khoang của xilanh chứa đầy nước với thể tích . Sau đó người ta bắt đầu đẩy pít-tông để xả nước ra ngoài. Biết rằng cứ 1 phút thì pít – tông di chuyển được 5cm dọc theo thân xilanh. a. Hỏi sau bao lâu thì 2 khoang của xilanh có cùng thể tích, biết chiều cao của pít-tông là 6cm? b. Hỏi mất bao lâu để đẩy hết nước ra khỏi xilanh? Hướng dẫn giải a. Tổng chiều cao của 2 khoang xilanh: 50 – 6 = 44 (cm) Chiều cao ban đầu của khoang chứa nước: . Hai khoang có cùng thể tích khi chúng có cùng chiều cao (do bán kính đáy là như nhau), hay nói cách khác khi chiều cao của mỗi khoang là . Gọi t (phút) là thời gian cần để khoang chứa nước đạt độ cao 22 cm: (phút) = 2 phút 36 giây. b. Thời gian cần thiết để đẩy hết nước ra ngoài: (phút) Hình 3.12.7 Một cây lăn sơn tường có dạng là một khối trụ với bán kính đáy là 5cm và chiều cao là 30cm. Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn 1 triệu vòng thì cây sơn tường có thể sẽ bị hỏng. Tính diện tích mà cây sơn tường lăn được trước khi hỏng. Chỗ này em tính diện tích cây này lăn thôi ạ chứ không tính diện tích sơn Nếu cắt một hình trụ rỗng 2 đáy theo một đường sinh của nó, rồi trải ra mặt phẳng thì ta sẽ có một hình chữ nhật có kích thước chính bằng chiều cao và chu vi đáy của hình trụ. Hình 3.12.7.b Hình 3.12.7.c Diện tích mà cây sơn tường sơn được trong 1 vòng lăn cũng là diện tích của hình chữ nhật ở hình 3.12.7.c Hướng dẫn giải Diện tích cây sơn tường sơn được trong 1 vòng lăn cũng là diện tích xung quanh của khối trụ: . Diện tích cây sơn tường sơn được trước khi hỏng: . Một nhà sản xuất sữa có 2 phương án làm hộp sữa: hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt (tức diện tích toàn phần của hộp), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định. Hỏi phương án nào tốt hơn trong 2 phương án đã nêu? Hướng dẫn giải Phương án 1: Hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật Gọi kích thước của hộp sữa là a x b x c và V là thể tích cần đạt được mà nhà sản xuất yêu cầu. (a, b, c, V > 0) Như vậy ta có: abc = V. Diện tích toàn phần của hộp sữa trên: . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số nguyên dương ab, bc, ca: Suy ra: . Đẳng thức xảy ra . Phương án 2 : Hộp sữa có dạng hình trụ Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của chiếc hộp hình trụ. (h, r > 0) Theo yêu cầu nhà sản xuất: . Diện tích toàn phần của chiếc hộp bằng diện tích xung quanh cộng diện tích hai đáy: . Xét hàm số (r > 0) Ta có: . > 0. Dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là . Với 2 giá trị nhỏ nhất của lần lượt là , ta thấy ngay hay nói cách khác phương án sử dụng hộp sữa hình trụ sẽ tiết kiệm diện tích bao bì hơn. Hình 3.12.8 Người ta thả một quả bóng hình cầu vào một cốc nước thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng, nghĩa là mặt nước là mặt phẳng tiếp xúc với quả bóng. Cho biết đường kính đáy cốc là 14cm và chiều cao mực nước ban đầu là 4cm. Tính bán kính quả bóng? (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm) (dựa trên đề thi Học sinh giỏi Máy tính cầm tay tỉnh Thừa Thiên Huế - 2004 – 2005) Nhận xét: theo mô tả của đề bài, rõ ràng chiều cao mực nước sau khi nhúng chìm quả bóng vào cốc cũng chính là đường kính quả bóng. Từ đó ta sẽ xác định được độ tăng thể tích, cũng là thể tích quả bóng hình cầu và tìm lại được bán kính R của quả bóng theo công thức . Hướng dẫn giải Gọi r (cm) là bán kính quả bóng. Theo đề bài ta có: Một viên kem hình cầu có thể tích được đặt vào một chiếc bánh cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy là 6cm là và chiều cao là 14cm. Hỏi chiều cao của phần kem nhô ra khỏi chiếc bánh là bao nhiêu, giả sử viên kem không bị biến dạng trong suốt quá trình trên. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Hình 3.12.9.a Nhận xét: Chiều cao của phần viên kem nhô ra ngoài là tổng của bán kính và khoảng cách từ tâm viên kem (tâm khối cầu) đến mặt phẳng miệng cốc. Thiết diện của khối cầu khi bị cắt bởi mặt phẳng miệng cốc cũng chính là miệng cốc (một đường tròn có đường kính 6cm). (Hình 3.12.9.b) Hướng dẫn giải Hình 3.12.9b Bán kính r của viên kem: . Bán kính R của đáy cốc: R = 3 (cm) Xây dựng mô hình viên kem là khối cầu tâm O, bán kính r. Tâm của miệng cốc là điểm B. Lấy M là một điểm trên vành miệng cốc, ta dễ dàng có được OM = r = 4cm; BM = R = 3cm. Xét tam giác OMB vuông tại B, khoảng cách từ O đến mặt phẳng miệng cốc cũng chính là độ dài đoạn OB: Như vậy chiều cao của viên kem nhô ra khỏi miệng cốc là tổng của bán kính viên kem và độ dài OB: . CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔ HÌNH CÁC KHỐI Ta xem lại một số lưới đa giác dùng để tạo mô hình của các khối đa diện. Khối tứ diện Khối chóp tứ giác đều Khối lập phương Khối hộp chữ nhật Hình 3.13.1 Hình 3.13.2 Hình 3.13.3 Hình 3.13.4 Ngoài ra với các khối tròn xoay, ta cũng có thể làm tương tự bằng cách cắt các khối tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra một mặt phẳng, ta sẽ có kết quả như các hình sau đối với khối trụ và khối nón. Hình 3.13.5 Hình 3.13.6 Khối nón Khối nón cụt Khối trụ Hình 3.13.7 Hình 3.13.8 Hình 3.13.9 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho lưới đa giác của mô hình một khối tứ diện đều có dạng như hình 3.14.1. Biết lưới là một tam giác đều có cạnh 8cm. Tính thể tích của mô hình khối tứ diện đều tạo thành. Hình 3.14.1.a Nhận xét: Cạnh của lưới dài gấp đôi cạnh của mỗi mặt bên khối tứ diện. Hình 3.14.1.b Hướng dẫn giải Dựng mô hình của khối tứ diện từ lưới đa giác đã cho. Ta có độ dài các cạnh của tứ diện: DA = DB = DC = AB = BC = CA = 4 (cm). Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC). Ta có: . Xét tam giác DHA vuông tại H: . Thể tích của khối tứ diện: . 2cm Hình 3.14.2.a Cho lưới đa giác của mô hình một khối chóp tứ giác đều có các mặt bên là các tam giác đều như ở hình 3.14.2.a. a. Với các kích thước cho trên hình, hãy tính thể tích của mô hình khối chóp tứ giác này. b. Người ta cắt lưới đa giác này từ một miếng bìa hình vuông (phần đứt nét trong hình 3.14.2.a). Tính diện tích miếng bìa. Hướng dẫn giải Hình 3.14.2.b a. Dựng mô hình của khối chóp tứ giác đều S.ABCD từ lưới đã cho với O là hình chiếu của S lên đáy. Theo lưới, ta có được tất cả các cạnh của khối chóp này đều bằng 2cm. Tương tự bài 3.58, ta tính được thể tích khối chóp: B M Hình 3.14.2.c A N b. Độ dài cạnh miếng bìa hình vuông cũng là độ dài đoạn thẳng AB. 5cm Hình 3.14.3 Cho lưới của một hình nón có các kích thước như hình vẽ, tính thể tích mô hình của hình nón này. Nhận xét: độ dài 5cm trên hình chính là độ dài đường sinh của hình nón. Độ dài cung tròn có góc ở tâm , bán kính 5cm trên hình chính là chu vi đáy, như vậy ta có thể tìm được bán kính đáy. Hướng dẫn giải Độ dài cung tròn có góc ở tâm , bán kính 5cm: . Vì độ dài cung tròn vừa tìm cũng chính là chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) là bán kính đáy, ta có: . Dựng mô hình của hình nón với đường sinh l = 5cm; bán kính đáy , chiều cao là h. Ta có: Thể tích khối nón: . Cho một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 5cm x 3cm. Cuộn miếng bìa lại theo chiều rộng rồi dùng băng dính để nối 2 mép miếng bìa, ta được mô hình của một hình trụ. Tính thể tích hình trụ này? 3 cm 5 cm 5cm Hình 3.14.4 Hướng dẫn giải Tương tự bài 3.60, chu vi đáy và chiều cao của khối trụ lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật. Gọi r (cm) là bán kính của đáy khối trụ, ta có: . Thể tích khối trụ: .