Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán - Chuyên đề 6: Tổ hợp - Xác suất - Nhị thức Newton

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Chuyên đề 6 TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON


I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững  Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng: n n knkk−0 nn 1 − 1 2 n − 2 2 nnnn − 1 − 1 (ab+= )∑ Cabn . . = CaCabCab n + n + n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ Cab n + Cb n . k=0  Nhận xét trong khai triển nhị thức: + Trong khai triển ()a± b n có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu k n− k và số hạng cuối thì bằng nhau: CCn= n . + k n− k k Số hạng tổng quát dạng: Tn+1 = C n .. a b và số hạng thứ N thì k= N − 1 . + Trong khai triển ()a− b n thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi −, rồi +, . + Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n. + Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như: n0 n 1 n− 1 n x = 1 0 1 n n • (1+x ) = Cn x + C n x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ C n → C n + C n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ C n = 2 . x=−1 n0 n 1 n− 1 n n ⇒ 0 1 n n • (1 −x ) = Cn x − C n x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− ( 1) C n C n− C n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− ( 1) C n = 0.  Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển): + Hoán vị: Pn = n! = n .( n − 1).( n − 2)...3.2.1, ( n ≥ 1). . n! + Chỉnh hợp: Ak =, () 1 ≤ k ≤ n .. n (n− k )! n! Ak + Tổ hợp: Ck = =n , (1 ≤ k ≤ n ) và CCCk+ k+1 = k + 1 . n k!.( n− k )! k ! n n n+1 II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước p q n k k + 1) Khai triễn dạng: (ax bx ) kết hợp với việc giải phương trình chứa A,C,P.n n n BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức: 12 5 1  1  a) x+  , ∀ x ≠ 0. ĐS: 924. b) x3 −  ⋅ ĐS: −10. x  x2  10 12 1  x 3  c) 2x−  , ∀ x ≠ 0. ĐS: −8064. d) +  ⋅ ĐS: 924. x  3 x  12 18 1  1  e) +x  , ∀ x > 0. ĐS: 495. f) 2x+  , () x > 0 . ĐS: 6528. x  5 x  7  17 3 1  1 4 3 g) x+  , ∀ x > 0. ĐS: 35. h) +x  , ∀ x ≠ 0. ĐS: 24310. 4 x  3 x2  BT 2. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức: 17 8 9 9 8 9 a) (2x− 3 y ) . M= x y . ĐS: −3 .2 .C17 . 25 12 13 13 b) ().x+ y M= x y . ĐS: C25 . 9 4 5 5 c) (x − 3) . M= x . ĐS: −3 .C9 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 113 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 11 6 6 6 d) (1− 3x ) . M= x . ĐS: 3 .C11 . 2 12 15 9 3 e) (3x− x ) . M= x . ĐS: −3 .C12 . f) (x2− 2 x ) 10 . M= x16 . ĐS: 3360. 40 1  g) x+  , ∀ x ≠ 0. M= x31. ĐS: C3 . x2  40 10 2  h) x2 −  , ∀ x ≠ 0. M= x11. ĐS: −23 .C 3 . x  10 i) ().3 x−2+ x 7 M= x2 . ĐS: 35. 10 x  j) xy+  , ∀ xy ≥ 0, y ≠ 0. M= x6 y 2 . ĐS: 45. y  k) (1+x + x2 + x 3 ) 5 . M= x10 . ĐS: 101. l) x(1− 2 x )5 + x 2 (1 + 3 x ) 10 . M= x5 . ĐS: 3320. m) (2x+ 1)4 + (2 x + 1) 5 + (2 x + 1) 6 + (2 x + 1). 7 M= x5 . ĐS: 896. BT 3. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau: 5 1  a) x+  , ∀ x ≠ 0. n = 4. ĐS: 120. x  b) (3− x )15 . n = 13. ĐS: 12285. 15 1  c) x−  , ∀ x > 0. n = 6. ĐS: C5 . x  15 25 5 20 20 d) (2− 3x ) . n = 21. ĐS: 2 .3 .C25 . BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện) 3 1 a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn CCn= 5 n . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị  n 23 1 4 thức Newton của x+  , x > 0 ? ĐS: C7 = 35. n − 5 4 x  n 2  b) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức −x3  , ∀ x ≠ 0, biết n là số tự nhiên thỏa mãn x  n−6 2 hệ thức: Cn−4 + n. A n = 454 ? ĐS: n =8; − 1792.  n 3 1 c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: x. x+  , ∀ x ≠ 0, biết rằng n là số tự nhiên 5 x28  n n−1 n − 2 thỏa mãn điều kiện: CCCn+ n + n = 79 ? ĐS: 792. 1 x−1 3 − − + log 9x 1 + 7 log5 (3 1) d) Cho a = 5 5 và b = 5 5 . Tìm các số thực x, biết rằng số hạng chứa a3 trong khai triển Newton: ()a+ b 8 bằng 224 . ĐS: x=1 ∨ x = 2. n x  e) Tìm các giá trị của x, biết trong khai triển 2lg(103)−+ 5 2 (x − 2)lg3 có số hạng thứ 6 bằng 21   1 3 2 và CCCn+ n = 2 n . ĐS: x=0 ∨ x = 2 . 2 2 2 10 f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3Cn+ 2 A n = 3 n + 15 . Tìm số hạng chứa x trong khai n 3  triển nhị thức Newton: 2x3 −  , ∀ x ≠ 0 . ĐS: C4.2 6 .3 4 . x 10 . x2  10 n 2 n ℕ∗ g) Cho khai triển: (1+ 2x ) = ao + a1 x + a 2 x + ... + a n x với n∈ . Biết rằng a3= 2014 a 2 . Tìm n ? ĐS: n = 6044 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 114 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 n 2  h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 3 x+  , x > 0. Biết rằng n thỏa mãn điều x  6 7 8 9 8 6 6 kiện: CCCCCn+3 n + 3 n + n = 2 n+2 . ĐS: C15 .2= 320320 . n a  i) Cho n∈ℤ+ và a, b , ( b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Newton + b  có hạng tử chứa b  a4 b 9 , tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ? ĐS: 5005a6 b 6 . n−3 2 1 n + 2 11 j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: CCCCn− n−1 = n − 1 n + 3 . Tìm hệ số của số hạng chứa x n n  trong khai triển: P= x3 xn− 8 −  , x ≠ 0. ĐS: C8.4 8 . 3x  12 − n 1 2 7 k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6CAn+1 = n + 160 . Tìm hệ số của x trong khai triển: (1− 2x3 )(2 + x )n ? ĐS: −2224 . 2 3 4 2 12 l) Cho P=(1 − xxx + − ) = aaxaxo +1 + 2 + .. + ax 12 . Tìm a7 ? ĐS: −40 . 5 n2 2 n 2n− 1 m) Tìm hệ số của x trong khai triển: P= x(1 − 2 x ) + x (1 + 3 x ) , biết rằng ACn− n+1 = 5 . ĐS: 3320. 10 11 10 9 n) Cho Pxx( )= ( + 1) ( x + 2) = xaxax +1 + 2 + .. + axa 10 + 11 . Tìm a5 ? ĐS: 672. 20 10 1   1  o) Cho: P() x= x −  + x3 −  , ∀ x ≠ 0. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm x2  x  bao nhiêu số hạng ? ĐS: 29 số hạng. p q n k k + + 2) Khai triễn dạng: (a bx cx ) kết hợp với việc giải phương trình chứa A,C,P.n n n n n n k p qn  p q  knk− p q k knk − i p ki − q i Viết Px()(= abx + + cx )( = abx + + cx )  =∑ Can ( bx + cx ) = ∑ Ca n ∑ Cbx k ().() cx k=0k = 0 i = 0 n k k n− k ip k − i q i ℕ = ∑∑Cn a. C k .( bx ) .( cx ) , với k, i ∈ . k=0 i = 0 BT 5. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức: a) (1+x + 3 x2 ) 10 . M= x4 . ĐS: 1695. b) (1+ 2x + 3 x2 ) 10 . M= x4 . ĐS: 8085. c) (1+x + 2 x2 ) 10 . M= x17 . ĐS: 38400. d) (2+x − 3 x2 ) 5 , ∀ x ≥ 0. M= x2 . ĐS: −230. e) (x2+ x − 1) 5 . M= x3 . ĐS: −10. f) (1+x2 − x 3 ) 8 . M= x8 . ĐS: 238. g) (1+x + x2 + x 3 ) 5 . M= x10 . ĐS: 101. 12 1  h) 1−x4 −  , ∀ x ≠ 0. M= x8 . ĐS: −27159. x  BT 6. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện) 2 10 2 20 a) Cho (1+−x x ) = ao + a1 x + a 2 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a 20 x . Tìm a8 ? ĐS: a8 = 45 . n 1  b) Cho P() x= −( x + x2 )  , ∀ x ≠ 0. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển x  3 2 P() x biết n thỏa: Cn+2 n = A n+1 . ĐS: −98. n 1   c) Tìm hệ số x4 trong khai triển biểu thức x+3 1 −   , ( x > 0) ? Biết rằng n là số nguyên x   1 2 3 dương thỏa mãn 3CCCn+1+ 8 n + 2 = 3 n + 1 . ĐS: 4422 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 115 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 3n 2 3n d) Cho khai triển nhị thức: (1− 2x + x ) = ao + a1 x + a 2 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a 3n x . Xác định hệ số a6 , biết 15 a a a 1  rằng: a +1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+3n =  ⋅ ĐS: a = −150 . o 222 2 3n  2  6 10 2 2 2 14 e) Cho: (1+ 2x ) (3 ++ 4 x 4 x ) =+ ao a1 x + a 2 x +⋅⋅⋅+ a 14 x . Tìm a6 ? ĐS: a6 = 482496 . 2 x2  f) Tìm hệ số của x10 trong khai triển Newton: +x +1  .( x + 2)3n với n là số tự nhiên thỏa 4  3n− 2 mãn điều kiện: An+ C n = 14 n . ĐS: a10 = 2956096 . p q n p q n 3) Khai triển (ax+ bx); ( a + bx + cx) kết hợp tính tổng đơn giản n0 n 1 n− 1 n − 1 n − 1 n n Khai triển Newton: ()ab+ = CaCabn + n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ Cab n + Cb n , với:  Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần. Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b) có thể bằng 1.  Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng ().a− b n 0 2k 4 k  Trong biểu thức có CCCn+ n + n ... (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng ()a− b n và ()a+ b n khi chọn a, b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi (khi toàn lẻ) theo từng vế. BT 7. Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+ x2 )n là 1024. Tìm hệ số của x12 ? ĐS: n = 10; 210. n 1  BT 8. Tìm hệ số của x6 trong khai triển + x3  , với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ x  số trong khai triển bằng 1024 ? ĐS: n = 10; 210. n 2  BT 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển P() x= + x5  với x > 0 . Biết n thỏa mãn x3  1 2n− 1 n 8 4 điều kiện: CCCCn+ n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n + n = 4095 . ĐS: C12 .2= 7920 . BT 10. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+ x )n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn n0 n− 1 1 n − 2 2 n − 3 3 n n 10 điều kiện: 3CCCCCn− 3 n + 3 n − 3 n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− ( 1) n = 2048 . ĐS: a10= C 11 .2 = 22 . BT 11. Tìm hệ số của x10 trong khai triển (x− 3 x2 )n , ( x > 0), biết rằng n là số nguyên dương và tổng các hệ số trong khai triển bằng −2048 ? ĐS: −4455. BT 12. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+ x )n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn n0 n− 1 1 n − 2 2 n − 3 3 n n điều kiện: 3CCCCCn− 3 n + 3 n − 3 n + ...1 +() − n = 2048 . ĐS: 22 . BT 13. Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức P=(2 x − 1)9 .( x + 2)n , biết rằng n là số nguyên 0 1 2 n dương: CCCCn+ n + n +... + n = 2048 ? ĐS: 8960 . BT 14. Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x )2n , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 2n+ 1 điều kiện: CCCC2n+ 1+ 2 n + 1 + 2 n + 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 n + 1 = 1024 ? ĐS : a7 = −2099520 . BT 15. Tìm hệ số x4 trong khai triển (1+x + 2 x2 )n , biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 0 2 4 2n CCCC2n+ 2 n + 2 n +... + 2 n = 512 . ĐS: 105 . BT 16. Hãy tìm hệ số của x5 trong khai triển: P( x )= (1 − 2 x + 4 x2 ) 3n . 2 4 6 8 1006503n Biết rằng: CCCCC2014+ 2014 + 2014 + 2014 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2014 = 2 − 1 với n là số nguyên dương. 3 1 2 4 3 1 5 5 5 ĐS: a5= −2 C 12 C 3 4 − 8 C 12 C 4 4 + ( − 2) C 12 C 5 . BT 17. Tìm hệ số chứa x18 trong khai triển P( x )= ( x + 2)13 ( x 2 − 2 x + 4)n . Biết n nguyên dương thỏa mãn 1 2n 20 điều kiện: CCC2n+ 1+ 2 n + 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 n + 1 = 2 − 1. ĐS: a18 = 15138816 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 116 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 n 4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a+ bx) . n k n− k k k Xét khai triển nhị thức Newton ()a+ bx có số hạng tổng quát: Tk+1 = C n a b x . k n− k k Đặt ak= C n a b , 0 ≤ k ≤ n thì dãy hệ số là {ak } . Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa  a≥ a k n− k k hệ phương trình:  k k+1 ⇒ k ⇒ a= Co a o b o . o ko max n ak≥ a k−1 11 1 2x  BT 18. Trong khai triển +  thành a+ a x + a x2 + ⋅⋅⋅ + a x 11 . Hãy tìm k để hệ số a lớn nhất và 3 3  o 1 2 11 k 28 tính nó ? (0≤k ≤ 11, k : nguyên) ĐS: a= . C8 . k max311 11 n n ℤ BT 19. Cho khai triển : (1+ 2x ) = a0 + a 1 x + ⋅⋅⋅ + an x , trong đó n∈ và các hệ số a0, a 1 ,..., an thỏa mãn a a hệ thức a +1 + ⋅⋅⋅ +n = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a, a ,..., a ? ĐS: a = 126720. 0 2 2n 0 1 n max n 1 x  BT 20. Cho khai triển +  =a + a x + a x2 + ⋅⋅⋅ + a xn . Tìm số lớn nhất trong các số a, a , a ,..., a ? 2 3  0 1 2 n 0 1 2 n 1001 Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn CCCCCC2n− 2+2 n − 2 n − 1 + 1 n − 1 = 11025 ? ĐS: a = ⋅ n n n n n n max 62208 BT 21. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+ x )n có tỉ số hai hệ số liên tiếp trong 7 khai triễn trên bằng ? ĐS: n = 21 . 15 n 5) Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển (a+ b) . m r n k n− k k k p q Xét khai triển ()a+ b có số hạng tổng quát: Cn a b= C n .. α β với α, β là các số hữu tỉ. Số m  ∈ ℕ  p k n− k k hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ:  ()k∈ℕ , 0 ≤ k ≤ n⇒ k ⇒ Co a o b o là số hạng cần tìm. r o n  ∈ ℕ q BT 22. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: ( 3+ 3 2)n , biết rằng n là số nguyên dương 3 n n n 3 3 1 9 3 thỏa mãn điều kiện: ()PCCCPn... n2 n 3 n = 27 . ĐS: C9 3 .2 và C9 2 . 3n+ 1 1  BT 23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển: + 3 5  . Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 2  CC0 62 3 .5 2 điều kiện: CCCCn+2 n−1 + n − 2 = 2 n − 3 . ĐS: 10; 10 ⋅ n n n n+2 32 32 III. Chứng minh hoặc tính tổng k k 1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức A,C,Pn n n . • Trong khai triển ()a− b n thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi −, rồi +, . • Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n. 1 1 • Vận dụng linh hoạt tính chất: CCCCCk+ k+1 = k + 1 , k = n − k và ..CCk= k+1 . n n n+1 n n k+1n n + 1 n+1 i j • Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp (⋅⋅⋅ +CCn . n + ⋅⋅⋅ ), lúc đó thường so sánh hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai khai triển: (1− x2 )n với (1−x )n ( x + 1) n ...... Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 117 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 24. Tính các tổng sau: 0 1 5 5 a) SCCC=5 + 5 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 5 . ĐS: S = 2 . 0 1 2 2 5 5 5 b) SCCCC=5 +2 5 + 2 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 5 . ĐS: S = 3 . 0 0 1 1 8 8 8 c) SCCC=48 + 4 8 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 4 8 . ĐS: S = 5 . 0 1 2 2010 2010 d) SCCCC=2010 + 2010 + 2010 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2010 . ĐS: S = 2 . 0 1 22 20102010 2010 e) SCCCC=2010 +2 2010 + 2 2010 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 2010 . ĐS: S = 3 . 6 7 8 9 10 f) SCCCCC=10 + 10 + 10 + 10 + 10 . ĐS: S = 386. 0 2 2 4 100 99 g) S= C100 + C 100 x + C 100 + ⋅⋅⋅ + C 100 . ĐS: S = 2 . 1 h) SCCCC=2.1 + 2 33 . + 2 55 . +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 20092009 . . ĐS: S =(32010 − 1). 2010 2010 2010 2010 2 1 1k 12 n+ 1 1 2n BT 25. Tính SCCCC=1 − 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−()1 .k− 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−() 12n . ĐS: S = . 22n 3 2 nk 2 n 2 n + 1 2n 2n + 1 1 1 1 1 22013 − 1 BT 26. Tính tổng: S = + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ + ⋅ ĐS: S = . 2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014! 2014! BT 27. Hãy tính các tổng sau: 21 22 23 22013 2011 a) SCCCC1=1. 2013 + 2. 2013 + 3. 2013 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2013. 2013 . ĐS: 2013.2014.2 . . CCCC0 1 2 2013 22014 − 1 b) S =2013 + 2013 + 2013 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2013 ⋅ ĐS: S = . 2 1 2 3 2014 2 2014 0 2 1 2n 2 n ℕ BT 28. Chứng minh: ()()()CCCCn+ n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n = 2 n với n≥2, n ∈ . 2 2 2 CCCC0   1  n  n+1 − 1 BT 29. Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh đẳng thức: n +  n  +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+  n  =2 n+ 2 ⋅       2 1   2  n + 1  (n + 1) CC12CCC12 12 12 12 1 BT 30. Tính S =12 +13 + 14 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2013 + 2014 ? ĐS: SC= 11 . 11.12 11.12 11.12 2012.2013 2013.2014 132 2013 n−1 2n − 2  BT 31. Chứng minh ∀n ≥2, n ∈ ℕ , ta luôn có: CCC0 1 ... n ≤   . n n n n − 1  BT 32. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây: 0 22 22k k 2222 n− n − 22 n n 1516 CCCCC2n+ 2 n.3 +⋅⋅⋅+ 2 n .3 +⋅⋅⋅+ 2 n .3 + 2 n .3 = 2.(21) + . ĐS: n = 8 . 2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng a) Sử dụng đạo hàm cấp I • Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, ..., n hay 12 , 2 2 , ..., n 2 ) hoặc giảm dần dạng (n , ..., 3, 2, 1 hay n2 ,..., 2 2 , 1 2 ) (không kể dấu). Hay tổng quát hơn nó có k k n− k k −1 dạng là k. Cn hoặc dạng k. Cn a b . • Phương pháp giải: + n0 n 1 n− 1 2 n − 2 2 n − 1 n − 1 n n Bước 1. Xét khai triễn: ()ax+ = CaCaxCaxn + n + n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ Cax n + Cx n . + Bước 2. Lấy đạo hàm hai vế được: n−1 1 n − 1 2 n − 2 n − 1 n − 2 n n − 1 nax(+ ) = Can + 2 Cax n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− ( nCax 1) n + Cx n . ()i + Bước 3. Chọn giá trị x và a thích hợp dựa vào đề bài để thế vào (i). ℕ∗ 1n− 1 2 n − 2 3 n − 3 n n –1 BT 33. Chứng minh ∀n ≥1, n ∈ , thì: Cn.3+ 2..3 C n + 3..3 C n + ⋅⋅⋅ + n . C n = n .4. ℕ∗ n−1 1 n − 1 2 n − 3 3 n − 4 4 n n− 1 BT 34. Chứng minh ∀n ≥1, n ∈ , thì: 2Cn+ 2 C n + 2 C n + 2 C n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ nC n = n .3 . ℤ+ 1 2 2 3 3 4 2n 2 n+ 1 BT 35. Tìm n∈ , thỏa: C2n+ 1−2.2 C 2 n + 1 + 3.2 C 2 n + 1 − 4.2 C 2 n + 1 + ⋅⋅⋅ + (2 n + 1).2 C 2 n + 1 = 2005 ĐS: 1002. BT 36. Tính tổng S trong các trường hợp sau: Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 118 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2 4 6 100 99 a) SCCCC=4100 + 8 100 + 12 100 + ⋅⋅⋅ + 200 100 . ĐS: S = 100.2 . 0 1 2 2000 2000 b) SCCCC=2000 +2 2000 + 3 2000 + ⋅⋅⋅ + 2001 2000 . ĐS: S = 1001.2 . 0 1 2 20062007 2006 c) SCCCCC=20082007 + 2007 2007 + 2006 2007 + ⋅⋅⋅ + 2 2007 + 2007 . ĐS: S = 2009.2 . n 2  BT 37. Cho P( x )= x3 −  , n ∈ ℕ∗ . Hãy tìm số hạng chứa x6 , biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn x2  n−1 1 n − 2 2 n − 3 3 n n− 1 6 6 6 đẳng thức: 1.2Cn+ 2.2 C n + 3.2 C n + ⋅⋅⋅⋅⋅ + nC n = 12.3 . ĐS: 2 C12 x . 100 100 99 2 BT 38. Cho khai triển (x− 1) = ao x + a1 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a 98 x + a 99 x + a 100 . 100 99 2 1 Tính tổng: S=100.2 ao + 99.2 a1 +⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 a 98 .2 + 1.2 a 99 + 1 . ĐS: S = 201 . 2014 2 2014 BT 39. Cho khai triển (1− 3x ) = ao + a1 x + a 2 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a 2014 x . 2014 Tính tổng S= ao +2 a1 + 3 a 1 + ⋅⋅⋅⋅⋅ + 2015 a 2014 ? ĐS: S = 3022.2 . 0 2 4 2014 2013 BT 40. Tính tổng: SCCCC=2014 +3 2014 + 5 2014 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2015. 2014 . ĐS: S = 1008.2 . 1007 BT 41. Tính giá trị biểu thức: ACCCC=2 +2 4 + 3 6 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 1007 2014 . ĐS: A = .22013 . 2014 2014 2014 2014 2 b) Sử dụng đạo hàm cấp II • Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, ...,(n− 1) n  hoặc giảm dần   k n− k k (n− 1) n ,..., 2.3, 1.2  (không kể dấu), có dạng tổng quát: k . Cn a hoặc k( k− 1) Cn . • Phương pháp giải: Các bước giải tương tự như đạo hàm cấp 1. 21 22 23 22006 22007 2005 BT 42. Tính tổng: SCCCCC=12007 + 2 2007 + 3 2007 +⋅⋅⋅⋅⋅+ 2006 2007 + 2007 2007 . ĐS: 2007.2008.2 . 21 22 22012 22013 2011 BT 43. Chứng minh: 1CCCC2013+ 2 203 + ⋅⋅⋅⋅⋅ + 2012 2013 + 2013 2013 = 2013.2014.2 . AC3+ 3 BT 44. Cho n∈ ℤ, thỏa mãn điều kiện: n n =35, (n ≥ 3). (n− 1)( n − 2) 2 2 2 3 2 4n 2 n Hãy tính tổng: S=2 . Cn − 3 C n + 4 C n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− ( 1) . n . C n ? ĐS: S = 30 . 3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng ak+1− b k + 1 • Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng ⋅C k ( có dạng phân số) k + 1 n • Phương pháp giải: + n0 n 1 n− 1 n − 1 n − 1 n n Bước 1. Xét khai triễn: ()()().cxd+ = Ccxn + Ccx n d +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ Ccxd n + Cd n + Bước 2. Lấy tích phân hai vế với cận a và b b b n 0 n 1 n− 1 n − 1 n − 1 n n  ∫()()().cxddx+ = ∫  Ccxn + Ccx n d +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ Ccxd n + Cddx n  a a b b 1 (cx+ d )n+1 x n + 1 x n x2  ⇔ =cn C0 + c n C 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ cd n− 1 C n − 1 + d n C n x ⋅ c n+1 n + 1n n n 2 n n a   a + Bước 3. Chọn a, b , c , d phù hợp dựa vào đề bài. BT 45. Các bài toán mở đầu về sử dụng tích phân 1 1 1 2n+1 − 1 a) Tính tổng: SCCCC=0 + 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ⋅n ⋅ ĐS: S = ⋅ n2 n 3 nn + 1 n n + 1 22− 1 2 3 − 1 2n+ 1 − 1 3n+1− 2 n + 1 b) Tính tổng: SCCCC=+0 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n ⋅ ĐS: S = ⋅ n2 n 3 nn + 1 n n + 1 2n .CCC0 2 n− 1 1 2 0 n 3n+1 − 1 c) Tính tổng: S =n + n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n ⋅ ĐS: S = ⋅ n+ 1 n 1 2(n + 1) Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 119 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 22− 1 2 4 − 1 2 6 − 1 2 2010 − 1 32011− 1 − 2 2011 d) SCCCC=1 + 3 + 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2009 ⋅ ĐS: ⋅ 22010 4 2010 6 2010 2010 2010 4022 1 1 1 1 3n+1 − 1 e) SCCCCC=0 + 1.2 + 2 .2 2 + 3 .2 3 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n .2 n . ĐS: S = ⋅ n2 n 3 n 4 nn + 1 n 2(n + 1) 1 1 1 1 22n − 1 f) SCCCC=1 + 3 + 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2n− 1 ⋅ ĐS: S = ⋅ 22n 4 2 n 6 2 n 2n 2 n 2n − 1 1 2 3 n (n − 1)2n + 1 g) SCCCC=1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n ⋅ ĐS: S = ⋅ 2n 3 n 4 nn + 1 n n + 1 1 2 3 4 2n 1 h) Tìm n∈ℤ+ thỏa: CCCCC1− 2 + 3 − 4 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 2n = ⋅ ĐS: n = 61. 22n 3 2 n 4 2 n 5 2 n 2n + 1 2 n 123 n 2  BT 46. Tìm hệ số của x20 trong khai triển Newton của biểu thức + x5  , biết rằng n là số nguyên x3  1 1n 1 1 dương thỏa mãn: CCCC0− 1 + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−()1 n = ⋅ ĐS: C7.2 5 = 25344 . n2 n 3 nn + 1 n 13 12 n 1  BT 47. Tìm hệ số chứa x2 trong khai triển x +  , biết n là nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2 4 x  22 2 3 2n+ 1 6560 21 2CCCC0+ 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n = ? ĐS: a=2−2 . C 2 = . n2 n 3 nn+ 1 n n + 1 2 7 4 2 22 2n 121 BT 48. Tìm n∈ ℤ+ thỏa: CCCC0+ 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n = ⋅ ĐS: n = 4 . n2 n 3 nn+ 1 n n + 1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN n 2  BT 49. Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Newton x3 −  , () x ≠ 0 . Biết rằng n là số nguyên x  3 2 3 dương thỏa mãn điều kiện: 4CCAn+1 + 2 n = n . n 1  BT 50. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton 3x3 −  với x ≠ 0, biết rằng x2  ℕ∗ n−2 n∈ và thỏa mãn điều kiện: 2Pn− (4 n + 5) P n−2 = 3 A n . BT 51. Tìm hệ số của x9 trong khai triển (1−x 3)2n , n ∈ ℕ∗ . Biết số nguyên dương n thỏa mãn mãn 2 14 1 + = ⋅ điều kiện: 2 3 CCn3 n n n 1  BT 52. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 3 x+  , x > 0. Biết rằng n là số nguyên dương 4 x  2 3 2 thỏa mãn phương trình: 2(Cn+ C n ) = 3 n − 5 n . n− 1 3 5 BT 53. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 5CCn= n . Tìm số hạng chứa x trong khai n nx2 1  triển nhị thức Newton −  , x ≠ 0. 14 x  n 2  BT 54. Tìm hệ số của x7 trong khai triển 3x2 −  , biết hệ số của số hạng thứ ba bằng 1080 . x  BT 55. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức: (x2 + 2)n , biết rằng số nguyên dương 3 2 1 n thỏa mãn phương trình: ACCn−8 n + n = 49 . BT 56. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức: (x− 3 x2 )n , ( x > 0), biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng −2048 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 120 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 n 2  BT 57. Tìm hệ số x4 trong khai triển −x3  , x > 0 . Biết n là số nguyên dương thỏa mãn phương x  n−6 2 trình: Cn−4 + nA n = 454 . n 3  BT 58. Tìm hệ số của số hạng chứa x−1 trong khai triển 2x2 −  thành đa thức. Biết rằng n là số x3  3n− 3 n − 2 1 nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: CCCCn− n−1 = n − 1. n + 3 . n 2  BT 59. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: p() x=3 x +  . Biết số nguyên dương n thỏa x  6 7 8 9 8 mãn phương trình: CCCCCn+3 n + 3 n + n = 2 n+2 . n 1  BT 60. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển Newton của nhị thức: 2x −  , biết 2x2  ℕ∗ 1 2 n∈ và thỏa mãn phương trình: 2CCn+ n = 90 . 3 2 1 8 BT 61. Cho số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: ACCn+6 n − 4 n = 100 . Tìm hệ số chứa x trong 3n 2n  khai triển nhị thức Newton của x2 +  . 5  n 2  BT 62. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển −x2  , x ≠ 0. Biết rằng n là số nguyên dương 3 x  1 2 3n 28 thay đổi thỏa mãn phương trình: CCCC2n+ 1+ 2 n + 1 + 2 n + 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 n + 1 =2 − 1 .  n 10 3 1 ℤ+ 2n− 1 BT 63. Tìm số hạng chứa x của P() x=3 x −  , x ≠ 0 . Biết rằng n∈ , thỏa: A− C+ =5 n + 7 . x  n n 1 BT 64. Khai triển nhị thức: (2+ x )n theo lũy thừa tăng dần của x ta được số hạng thứ tám là 144 . Tìm x n+1 n ℕ* biết n thỏa mãn phương trình: Cn+3+2 C n + 2 = 16( n + 2), n ∈ . n 1  BT 65. Tìm hệ số của x6 trong + x3  , biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 ? x  n 1  BT 66. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của x +  , biết n thỏa mãn n là số 23 x  1 2 3 2 4 3n n− 1 nguyên dương thỏa mãn: Cn+4C n + 3 C n 2 + 4 C n 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ nC n 2 = 6561 n . BT 67. Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức P=(2 x − 1)9 .( x + 2)n , biết rằng n là số nguyên 0 1 2 n dương thay đổi thỏa mãn phương trình: CCCCn+ n + n + ⋅⋅⋅ + n = 2048. 2 12 2 24 BT 68. Cho khai triển: (1+x + x ) = ao + a1 x + a 2 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a 24 x . Tính a4 . 4 3 n ℤ+ n−2 2 BT 69. Tìm hệ số x trong khai triễn P( x )= (1 − x − 3 x ) , biết n∈ , thỏa: Cn+6 n + 5 = A n+1 . − 1 2n 1 n BT 70. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: CCCCn+ n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n + n = 255. Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển: P( x )= (1 + x + 3 x2 )n . 3 1  3n BT 71. Tìm hệ số của x13 trong khai triển +x + x2  .() 2 x + 1 với n là số tự nhiên thay đổi thỏa mãn 4  3n− 2 phương trình: An+ C n = 14 n . − 1 2n 1 n BT 72. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: CCCCn+ n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n + n = 255. Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển: P( x )= (1 + x + 3 x2 )n . BT 73. Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển P( x )= (1 − x + x3 − x 4 )n . Biết rằng n là số nguyên dương thay n+1 n + 2 n + 3 2 n − 1 2 n 8 đổi thỏa mãn phương trình: CCCCC2n+ 1+ 2 n + 1 + 2 n + 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2 n + 1 + 2 n + 1 = 2 − 1. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 121 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ℤ+ 2 n 2 2n BT 74. Tìm n∈ , thỏa: (x+ x + 1) = a0 + a 1 x + a 2 x + ⋅⋅⋅ + a 2n x và a1+2 a 2 + ⋅⋅⋅ + 2 na 2n = 81 ? BT 75. Tìm hệ số của x5 trong khai triển: P() x= x (12) − xn + x2(13). + x 2 n Biết rằng n là số nguyên 2n− 1 dương thỏa mãn điều kiện: ACn− n+1 = 5 . n k n BT 76. Khai triển nhị thức P( x )= (1 − 6 x ) = a0 + a 1 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ak x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a n x . Hãy tính giá trị của biểu a a thức T= a +1 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2C2− 8 C 1 = n . 0 2 2n n n BT 77. Tìm số hạng hữu tỉ trong các khai triển nhị thức Newton sau: 10 10 7 9 1  2  a/ ( 3 16+ 3) . b/ ( 3+ 3 2 ) . c/ + 5 5  . d/ − 5 2  . 3  3  BT 78. Hãy tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton: 13 13 12 11 Px( )= (2 x + 1) = axaxax0 + 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ axa 12 + 13 . n 2 n BT 79. Cho khai triển nhị thức P( x )= (1 + 3 x ) = a0 + a 1 x + a 2 x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ an x . Hãy tìm hệ số lớn nhất 1 3 2n− 1 27 trong khai triển biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: CCC2n+ 2 n +... + 2 n = 2 . 2 4 6 8 1006 BT 80. Tính tổng: TCCCCC=2014 + 2014 + 2014 + 2014 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2014 . AAAA0 1 2 2013 BT 81. Tính tổng: S =2013 + 2013 + 2013 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2013 ⋅ 0! 1! 2! 2013! 2 3 2013 BT 82. Tính tổng SCCC=1.2.2013 + 2.3. 2013 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 2012.2013. 2013 . 2 0 2 1 2 2 2 n BT 83. Tính tổng: S=1 Cn + 2 C n + 3 C n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ( n + 1) C n . BT 84. Tìm n∈ ℕ∗ thỏa mãn điều kiện sau: 0 2 4 2n 2 n+ 1 a/ C2n+2 C 2 n + 3 C 2 n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ( n + 1) C 2 n = 2 .. 0 2010 1 2009k 2010− k 20100 n b/ CCCCCCCC20112011+ 20112010 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 20112011−k +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2011 1 = 2011.2 . 12n 221 n− 221 n n− 212 n + n c/ C2n+ 1.2− 2. C 2 n + 1 .2 .3 −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 2 nC 2n+ 1 .2.3 ++ (2 n 1) C 2 n + 1 .3 = 2011. 1 2 3 n C2 C 3 Cn−1 nC 1 d/ n− n + n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−()1 n = ⋅ 2 22 2 3 2n 32 (1+x )n = a + a x + a x2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a xk +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a x n  0 1 2 k n e/ a a a ⋅  k−1= k = k + 1 , (1 ≤k ≤ n – 1)  2 9 24 BT 85. Tính tổng trong các trường hợp sau đây: 0 1 2 2000 a/ SCCCC=2000 +2 2000 + 3 2000 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 2001 2000 . 2 3 4 15 16 b/ SCCCCC=1.216 − 2.3 16 + 3.4 16 −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 14.15 16 + 15.16 16 . 22− 1 2 3 − 1 2n+ 1 − 1 c/ SCCCC=0 + 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n . n2 n 3 nn + 1 n 26 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 d/ SCCCCCCC=0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 . 16 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 1 1 1 1 (− 1)n e/ SCCCCC=0 − 1 + 2 − 3 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n . 2n 4 n 6 n 8 n 2(n + 1) n 32− 2 2 3 3 − 2 3 3 9 − 2 9 3 10 − 2 10 f/ SCCCCC=0 + 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 8 + 9 . 92 9 3 9 9 9 10 9 22− 1 2 3 + 1 2 100 − 1 2 101 + 1 g/ SCCCCC=3 0 + 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 99 + 100 . 1002 100 3 100 100 100 101 100 2 2 2 2 11 2 2 99 99 100 h/ SCCCC=()100 +() 100 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()() 100 + 100 100 . 100 99 2 1 1 1 1 1 i/ SCCCCC=0 − 1 + 2 −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 18 − 19 . 219 3 19 4 19 20 19 21 19 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 122 -