Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài 5: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

hình vuông ( hoặc hình chữ nhật) Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên và . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM). A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn D. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AS. Khi đó: . Ta có: . Mặt phẳng (BCM) có véc tơ pháp tuyến . Vậy phương trình của (BCM) là :. . Dạng 2. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông( hoặc hình thoi ) tâm O và có đường cao . Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Có cạnh đáy bằng a chiều cao bằng H. Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI). A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn A. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là tâm O của hình vuông ABCD, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB và tia Oz chứa OS. Khi đó: . Giao điểm M của SO và AI là trọng tâm của tam giác và ta có . Mp(ABI) cũng là mp(ABM). Vậy phương trình của mp(ABI) là : . Vậy ta có khoảng cách : . Dạng 3. Hình chóp có đáy là hình vuông( hoặc hình chữ nhật) và có cạnh tam giác SAD đều cạnh a và . Ví dụ 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và. Gọi M,N,P,K lần lượt là trung điểm của DC,BC,SB,SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP. A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn A. Gọi O là trung điểm của AD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó: . . Đường thẳng MK có véc tơ chỉ phương là Đường thẳng AP có véc tơ chỉ phương là . Ta có: . Vậy . b) Bài tập vận dụng. NHẬN BIẾT. Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên và . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng . A. . B. . C. . D. . THÔNG HIỂU. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên và . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CN. A. . B. . C. . D. . VẬN DỤNG THẤP. Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên và . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mặt phẳng . A. . B. . C. . D. . VẬN DỤNG CAO. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của và . Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE. A. . B. . C. . D. . Bảng đáp án. Câu 1. Chọn A. Câu 2. Chọn B. Câu 3. Chọn C. Câu 4. Lời giải Chọn D. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho như hình vẽ. Khi đó: . Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE có dạng: . Mặt cầu đi qua nên . Giải hệ phương trình trên ta có : . Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE có tâm và bán kính . 3. Hình lăng trụ đứng. a) Phương pháp giải tự luận. Dạng 1. Hình lập phương cạnh bằng a. Ví dụ 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Tính thể tích của khối tứ diện . A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn B. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có: . Thể tích của khối tứ diện là: . Ta có: . . và . Vậy . Dạng 2. Hình hộp chữ nhật cạnh . Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Tính thể tích của khối tứ diện . A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn B. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ có gốc . Khi đó . Thể tích khối tứ diện là: . Trong đó: . . Vậy . Dạng 3. Hình hộp đứng đáy hình thoi . Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC,BD; hai trục Ox,Oy lần luowtj chứa hai đường chéo của hình thoi trục Oz đi qua tâm đáy. Ví dụ 3. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi. các cạnh và góc . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn C. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có: . . . . Dạng 4. Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác đều. Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh a, có và vuông góc với mặt phẳng . Gọi D là trung điểm của . Lấy điểm M di động trên cạnh . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác . A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn D. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho: . và . Do M di động trên có tọa độ với . Ta có: . . . Xét . Ta có . . Dạng 5. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông. Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông cân, . Gọi G, lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác . I là tâm của hình chữ nhật . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và , biết hai đường thẳng này song song với nhau. A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn A. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. . Khi đó: , ,, . ( I và I’ là trung điểm của AB’ và A’B) . . Ta có . . b) Bài tập vận dụng. NHẬN BIẾT. Câu 1. Cho khối lập phương có cạnh a. K là trung điểm của và O là tâm của hình vuông . Tính thể tích của khối tứ diện . A. . B. . C. . D. . THÔNG HIỂU. Câu 2. Cho khối lập phương có cạnh a. K là trung điểm của và O là tâm của hình vuông . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng . A. . B. . C. . D. . VẬN DỤNG THẤP. Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và mặt phẳng hợp với mặt đáy một góc bằng . Tính theo a và thể tích của khối tứ diện . A. . B. . C. . D. . VẬN DỤNG CAO. Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và mặt phẳng hợp với mặt đáy một góc bằng . Tìm để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. A. . B. . C. . D. . Bảng đáp án. Câu 1. Chọn A. Câu 2. Chọn B. Câu 3. Chọn C. Câu 4. Lời giải Chọn C. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ có . Khi đó: , . Ta có: . . véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: . III – ĐỀ KIỂM TRA 25 CÂU 45 PHÚT CUỐI BÀI ĐỀ KIỂM TRA BÀI 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Thời gian: 45 phút – 25 Câu TN. Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh vuông góc với nhau đôi một, có độ dài . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng . A. . B. . C. . D. . Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng và . Có tam giác vuông tại A và . Tính diện tích S của tam giác BCD theo . A. . B. . C. . D. . Câu 3. Cho tứ diện có các tam giác đều là các tam giác vuông cân tại đỉnh O. Gọi lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng với mặt phẳng . Tìm hệ thức liên hệ giữa . A. . B. . C. . D. . Câu 4. Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông cân với , có SA vuông góc với mặt phẳng và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 5. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân với , có SA vuông góc với mặt phẳng và . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AI và SC, với I là trung điểm cạnh BC. A. . B. . C. . D. . Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB,SC. Cho biết vuông góc với . Tính theo a diện tích tam giác . A. . B. . C. . D. . Câu 7. Cho hình lập phương có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 8. Cho hình lập phương có các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 9. Cho hình lập phương có các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi M là trung điểm cạnh . Tính thể tích khối tứ diện theo a và b. A. . B. . C. . D. . Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi M là trung điểm cạnh . Xác định tỷ số để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. A. . B. . C. . D. . Câu 12. Cho hình hộp đứng có các cạnh và góc . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Tính thể tích của . A. . B. . C. . D. . Câu 13. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A, mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , gọi M là trung điểm của SC. Biết . Tính thể tích của khối chóp . A. . B. . C. . D. . Câu 14. Cho hình chóp có là các tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng và là . Hình chiếu vuông góc của S xuống nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp . A. . B. . C. . D. . Câu 15. Cho hình chóp có là các tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng và là . Hình chiếu vuông góc của S xuống nằm trong tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 16. Cho hình chóp đều đáy có cạnh bằng a. M,N lần lượt là trung điểm của . Biết . Tính thể tích của hình chóp . A. . B. . C. . D. . Câu 17. Cho hình chóp đều đáy có cạnh bằng a. M,N lần lượt là trung điểm của . Biết . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A. . B. . C. . D. . Câu 18. Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt phẳng . Tam giác ABC vuông tại B, Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng góc . Tính thể tích của hình chóp. A. . B. . C. . D. . Câu 19. Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt phẳng . Tam giác ABC vuông tại B, Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng góc . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. . B. . C. . D. . Câu 20. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N,P,K lần lượt là trung điểm của BC,CD,SD,SB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 21. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N,P,K lần lượt là trung điểm của BC,CD,SD,SB. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 22. Cho hình chóp đều đáy có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SC. Biết rằng . Tính thể tích của . A. . B. . C. . D. . Câu 23. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Xét điểm M trên và điểm N trên BD sao cho . Gọi P là trung điểm của . Tính góc giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Xét điểm M trên và điểm N trên BD sao cho . Gọi P là trung điểm của . Tính thể tích khối tứ diện . A. . B. . C. . D. . Câu 25. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Xét điểm M trên và điểm N trên BD sao cho . Gọi P là trung điểm của . Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất. A. . B. . C. . D. .