Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Vectơ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng . - Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì vectơ với cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương. - Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó. 2. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng - Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương (với ) là phương trình có dạng trong đó là tham số. - Nếu thì ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc như sau: . Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng với ; . - Định lý: Điểm nằm trên có số thực sao cho . 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian cho mặt phẳng và đường thẳng : . Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng . Cách 1: Xét phương trình ( là ẩn) (1) - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì và không có điểm chung, vậy // . - Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm thì cắt tại điểm . - Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì thuộc . Cách 2: - // - cắt - thuộc Ví dụ: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với các đường thẳng trong các trường hợp sau: a) b) c) 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương Cách 1: Xét hệ phương trình (ẩn ) (2). - // hệ phương trình (2) vô nghiệm và hai vectơ , cùng phương. - và trùng nhau hệ phương trình (2) có vô số nghiệm. - và cắt nhau hệ phương trình (2) có đúng một nghiệm. - và chéo nhau hệ phương trình (2) vô nghiệm và hai vectơ , không cùng phương. Cách 2: - // , cùng phương và - và trùng nhau , cùng phương và . - và cắt nhau , không cùng phương và , , đồng phẳng. - và chéo nhau , không cùng phương và , , không đồng phẳng . Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: a) và b) và c) và d) và 5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Trong không gian cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương (3); mặt cầu tâm , bán kính có phương trình (4). Cách 1: Thế của phương trình (3) vào phương trình (4) ta được phương trình (5) là 1 phương trình bậc 2 theo ẩn . - Phương trình (5) vô nghiệm thì và không có điểm chung. - Phương trình (5) có nghiệm kép thì tiếp xúc tại . - Phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt thì cắt tại hai điểm phân biệt. Cách 2: - và không có điểm chung . - tiếp xúc với . - cắt tại hai điểm phân biệt , . Khi đó . Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu . a) và b) và 6. Góc a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian cho mặt phẳng có vectơ pháp tuyến và đường thẳng có vectơ chỉ phương . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , , ta có: Ví dụ: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . b) Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và đường thẳng có vectơ chỉ phương . Gọi là góc giữa đường thẳng đường thẳng , , ta có: Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng và . 7. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương và điểm , khoảng cách giữa và là b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. Trong không gian cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương Giả sử // , khi đó c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Trong không gian cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa chúng là: - Ta còn có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách sau: + Gọi là mặt phẳng đi qua và // . + Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau a) và b) và .