Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài 1: Tọa độ trong không gian

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN LÝ THUYẾT 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Chú ý: và . 2. Tọa độ của vectơ a) Định nghĩa: b) Tính chất: Cho · · · · · cùng phương Û · · · · · (với ) 3. Tọa độ của điểm a) Định nghĩa: (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: · · . b) Tính chất: Cho · · · Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng : · Toạ độ trọng tâm của tam giác : · Toạ độ trọng tâmcủa tứ diện : 4. Tích có hướng của hai vectơ a) Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ , . Tích có hướng của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: · · · · (Chương trình nâng cao) · cùng phương (chứng minh 3 điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao) · Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng Û · Diện tích hình bình hành : · Diện tích tam giác : · Thể tích khối hộp : · Thể tích tứ diện : Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai véc tơ . Chọn khẳng định sai. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có ba đỉnh , , và là trọng tâm của tam giác . Tính giá trị biểu thức ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B là trọng tâm của tam giác nên Vậy . [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và . Tính tọa độ vectơ A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , . Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn A. là trọng tâm của tam giác nên ta có [2H3-1.1-1]Hai điểm và phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hai điểm và có cùng tung độ và cao độ. B. Hai điểm và có cùng hoành độ và cao độ. C. Hai điểm và có hoành độ đối nhau. D. Hai điểm và có cùng hoành độ và tung độ. Hướng dẫn giải: ChọnD. [2H3-1.1-1]Trong không gian , cho điểm . Tìm tọa độ hình chiếu lên trục . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Hình chiếu của điểm lên trục là . Vậy hình chiếu của lên trục ox là . 2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng nên [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai vecto và . Tìm tất cả các giá trị của để hai vecto cùng phương. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. * không cùng phương loại * . [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm , Gọi là trung điểm đoạn . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Lời giải. Chọn B. Lần lượt kiểm tra từng đáp án. +) nên sai. +) nên đúng. [2H3-1.1-1] Trong không gian tọa độ với lần lượt là các véctơ đơn vị của các trục . Biểu thức nhận giá trị nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Vì ba véctơ đôi một vuông góc nhau nên: . Do đó biểu thức [2H3-1.1-1]Câu nào sau đây sai? A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn B. . [2H3-1.1-1]Trong không gian , tìm toạ độ của véctơ . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có , , . Nên . [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua trục . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với , là hình chiếu của lên , ta có: đối xứng với qua trục là trung điểm [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ; và . Tính tọa độ trọng tâm của tam giác . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Tọa độ trọng tâm hay [2H3-1.1-1]Trong không gian , tìm toạ độ của véctơ . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có , , . Nên . [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua trục . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với , là hình chiếu của lên , ta có: đối xứng với qua trục là trung điểm [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ; và . Tính tọa độ trọng tâm của tam giác . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Tọa độ trọng tâm hay . [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ , cho , . Gọi là điểm đối xứng với qua . Tìm tọa độ điểm . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: , . Vì là điểm đối xứng với qua nên là trung điểm của nên ta suy ra được . [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai véc tơ và . Tìm tọa độ của véc tơ A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi là trung điểm của .Ta có: [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ, cho . Tìm tọa độ điểm . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Do . [2H3-1.1-1]Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm thỏa mãn và . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: . [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , . Tìm tọa độ điểm sao cho tam giác nhận là trọng tâm. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có MỨC ĐỘ 2 [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , trên trục lấy điểm sao cho . Tọa độ của điểm là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Do . Mặt khác nên suy ra [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp . Biết , , , . Gọi tọa độ của đỉnh . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Theo quy tắc hình hộp, ta có Vậy . [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm là trung điểm của đoạn , biết . Tìm tọa độ của điểm . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. là trung điểm của đoạn nên ta có . Suy ra . [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: nên ta chọn C. [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có, . Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm tam giác . A. B. C. D. Lời giải: Chọn A. là trọng tâm tam giác [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp . Biết tọa độ các đỉnh ,, , . Tìm tọa độ điểm của hình hộp. A. . B. . C. . D. . Giải ChọnD. Gọi là trung điểm của .Gọi là trung điểm của . Ta có và Ta có . Vậy . [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm . Kí hiệu điểm thuộc tia đối của tia sao cho . Tọa độ của điểm là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Gọi . Theo yêu cầu bài toán: [2H3-1.1-2]Cho ba vectơ không đồng phẳng , , . Khi đó vectơ phân tích theo ba vectơ không đồng phẳng , , là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Giả sử ta có: [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình bình hành có , , . Tìm tọa độ điểm A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: . Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi . Vậy [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Ta có: ĐỘ ĐÀI ĐOẠN THẲNG [2H3-1.2-1]:Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm ,. Tìm độ dài của đoạn thẳng ? A. B. C. D. [2H3-1.2-2]:Trong không gian với hệ tọa độ , Cho ba vectơ , . Tìm tọa độ củavectơ và độ dài của vectơ ? A. B. C. D. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba vectơ , . Tìm độ dài của vectơ ? A. B. C. D. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm ,,và. Tìm bán mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ? A. B. C. D. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm ,, . Độ dài đường cao hạ từ đỉnh của là: A. B. C. D. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ thì có giá trị là: A. 200 B. C. D. [2H3-1.2-3]Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm và mặt cầu . Một đường thẳng đi qua , cắt mặt cầu tại hai điểm , . Độ dài ngắn nhất của là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. Mặt cầu có tâm Ta có: Nên điểm năm trong mặt cầu. Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng . Trong tam giác vuông Ta có: Do đó để thì Câu 8 [2H3-1.2-3] Trong không gian cho điểm và đường thẳng . Biết thuộc và độ dài ngắn nhất. Tổng nhận giá trị nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. . ngắn nhất bằng khi khi đó . [2H3-1.2-3]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có ; ; ; . Tính thể tích hình hộp. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có ; . Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình: . . Vậy thể tích hình hộp là . [2H3-1.2-3]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có ; ; ; . Tính thể tích hình hộp. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có ; . Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình: . . Vậy thể tích hình hộp là . [2H3-1.2-3] Trong không gian , cho điểm . là điểm thay đổi trong không gian thỏa mãn . Khi đó độ dài lớn nhất bằng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. Gọi . Ta có: mặt cầu tâm bán kính Khi đó . [2H3-1.2-3]Cho tam giác với , , . Độ dài phân giác trong của kẻ từ đỉnh là A. . B. . C. . D. . Giải Chọn B. Gọi là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh . Ta có . [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Xét điểm thuộc mặt phẳng sao cho tứ diện là một tứ diện đều. Kí hiệu là tọa độ của điểm . Tổng bằng: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Tính được . Do . Yêu cầu bài toán