Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 12 - Chương II: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Bài 3: Mặt cầu

CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 3: MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. MẶT CẦU. KHỐI CẦU 1. Định nghĩa 1: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng không đổi được gọi là mặt cầu có tâm là và bán kính bằng , kí hiệu . Như vậy: Mặt cầu . 2. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu: Cho điểm và mặt cầu . Ta có: · Điểm thuộc mặt cầu . · Điểm nằm trong mặt cầu . · Điểm nằm ngoài mặt cầu . 3. Định nghĩa 2:Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu . Như vậy: Khối cầu . II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu và mặt phẳng. Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng.Khi đó là khoảng cách từ tới mặt phẳng. Ta có ba trường hợp sau: 1. Nếu : mặt phẳng không cắt mặt cầu. 2. Nếu : mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm . Ta có . Điểm gọi là tiếp điểm của mặt cầu và mặt phẳng , mặt phẳng gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm là vuông góc với bán kính tại điểm đó. 3. Nếu : mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính . Đặc biệt khi mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính . và không có điểm chung tiếp xúc tại cắt theo giao tuyến là một đường tròn III. GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của tâm và là khoảng cách từ đến . Tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có ba trường hợp sau đây: 1. Nếu , đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm . 2. Nếu , đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm (gọi là tiếp điểm và đường thẳng gọi là tiếp tuyến của mặt cầu). 3. Nếu , đường thẳng không cắt mặt cầu. và không có điểm chung tiếp xúc tại cắt tại hai điểm phân biệt Đặc biệt, khi thì đường thẳng  đi qua tâm và cắt mặt cầu tại hai điểm. Khi đó là đường kính của mặt cầu. Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng: a) Qua một điểm nằm trên mặt cầu có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính của mặt cầu tại và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm đó. b) Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh . Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ đến các tiếp điểm đều bằng nhau. Chú ý. Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu. IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU Mặt cầu bán kính có diện tích là: . Khối cầu bán kính có thể tích là: . Chú ý: a) Diện tích của mặt cầu bán kính bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó. b) Thể tích của khối cầu bán kính bằng thể tích khối chóp diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó. V. MẶT CẦU NỘI - NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 1/ Các khái niệm cơ bản ² Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình đa diện. Khi đó ta nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. ² Điều kiện hình chóp nội tiếp mặt cầu: Hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn. ² Điều kiện hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu: Đối với hình lăng trụ nói chung, không có một dấu hiệu chung nào để nhận biết chúng có là đa diện nội tiếp hay không mà phải căn cứ vào từng trường hợp cụ thể. Tuy nhiên đối với lăng trụ đứng ta có tính chất: Nếu lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp, thì nó là đa diện nội tiếp. Tâm của hình cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng là điểm giữa đoạn thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đáy. ² Định nghĩa mặt cầu nội tiếp hình đa diện: Mặt cầu nội tiếp hình đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Khi đó ta nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu. ² Điều kiện hình chóp ngoại tiếp mặt cầu: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp. ² Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. ² Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. ² Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.