Tài liệu dạy thêm Đại số Lớp 12 - Chương 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng - Bài 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: SỰ ĐÔNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I – LÝ THUYẾT 1. Các kiến thức cũ liên quan 1.1 Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản 1.2 Quy tắc tính đạo hàm Cho các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1. 2. 3. 4. Mở rộng: 1. 2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số với . Khi đó: 1.3 Quy tắc xét dấu : Để lập bảng xét dấu của một biểu thức ta thực hiện theo các bước : Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức , hoặc giá trị của x làm biểu thức không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của trên từng khoảng của bảng xét dấu. 2. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên , với là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. · Hàm số đồng biến (tăng) trên nếu . · Hàm số nghịch biến (giảm) trên nếu . 3. Định lý: 3.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . · Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì . · Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì . 3.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . · Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng . · Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng . · Nếu thì hàm số không đổi trên khoảng . @ Chú ý. w Nếu là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên đoạn . w Nếu ( hoặc ) và chỉ tại một số điểm hữu hạn của thì hàm số đồng biến trên khoảng ( hoặc nghịch biến trên khoảng ). 4. Các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết : Cho hàm số đồng biến trên tập số thực , mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Với mọi . B. Với mọi . C. Với mọi . D. Với mọi . Cho hàm số có đạo hàm trên . Phát biểu nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . B. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . D. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi và tại hữu hạn giá trị . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu thì hàm số đồng biến trên B. Nếu thì hàm số đồng biến trên C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi D. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi Cho hàm số có đạo hàm trên và . Biết . Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra? A. . B. . C. . D. . Cho hàm số có và chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Với mọi và , ta có . B. Với mọi và , ta có . C. Với mọi và , ta có . D. Với mọi và , ta có . Cho là một khoảng và hàm số có đạo hàm trên khoảng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Nếu thì hàm số là hàm hằng trên . B. Nếu thì hàm số đồng biến trên . C. Nếu thì hàm số đồng biến trên . D. Nếu thì hàm số nghịch biến trên . Cho hàm số có tính chất và . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định Đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên khoảng . C. Hàm số đồng biến trên khoảng . D. Hàm số là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng . Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì B. Nếu thì hàm số đồng biến trên K. C. Nếu thì hàm số đồng biến trên K. D. Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K. Cho hàm số xác định trên , với bất kỳ thuộc . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . B. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi . C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . D. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi với mọi và . B. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . C. Nếu hàm số đồng biến trên thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải trên . D. Hàm số đồng biến trên thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải trên . BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C 9.D 10.C Lời giải chi tiết Cho hàm số đồng biến trên tập số thực , mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Với mọi . B. Với mọi . C. Với mọi . D. Với mọi . Lời giải Chọn D. Theo định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số, ta chọn đáp án D. Cho hàm số có đạo hàm trên . Phát biểu nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . B. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . D. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi và tại hữu hạn giá trị . Lời giải. Chọn D. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu thì hàm số đồng biến trên B. Nếu thì hàm số đồng biến trên C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi D. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi Lời giải Chọn B. Ta có hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi trong đó tại hữu hạn điểm thuộc Do đó phương án A, C, D sai. Cho hàm số có đạo hàm trên và . Biết . Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có đồng biến trên nên: . Khẳng định có thể xảy ra là . Cho hàm số có và chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Với mọi và , ta có . B. Với mọi và , ta có . C. Với mọi và , ta có . D. Với mọi và , ta có . Lời giải Chọn A. Cho hàm số có và chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc . Theo điều kiện đủ thì hàm số nghịch biến do đó A. Đúng theo định nghĩa hàm số nghịch biến. B. Sai theo định nghĩa thì khẳng định B là hàm số ngịch biến. C. Sai vì không có cơ sở để so sánh được và . D. Sai vì không có cơ sở để so sánh được và . Cho là một khoảng và hàm số có đạo hàm trên khoảng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Nếu thì hàm số là hàm hằng trên . B. Nếu thì hàm số đồng biến trên . C. Nếu thì hàm số đồng biến trên . D. Nếu thì hàm số nghịch biến trên . Lời giải Chọn C. Vì thì có thể . Khi đó là hàm hằng. Các khẳng định còn lại đúng theo định lý. Cho hàm số có tính chất và . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định Đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên khoảng . C. Hàm số đồng biến trên khoảng . D. Hàm số là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng . Lời giải Chọn D. A. SAI do hàm số là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng . B. SAI do hàm số có thể là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng . C. SAI do hàm số có thể là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng . D. Đúng do nên hàm số là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng . Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì B. Nếu thì hàm số đồng biến trên K. C. Nếu thì hàm số đồng biến trên K. D. Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K. Lời giải. Chọn C. Cho hàm số xác định trên , với bất kỳ thuộc . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . B. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi . C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . D. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi Lời giải. Chọn D. A sai. Sửa lại cho đúng là . B sai: Sửa lại cho đúng là . C sai: Sửa lại cho đúng là . D đúng (theo định nghĩa). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi với mọi và . B. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . C. Nếu hàm số đồng biến trên thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải trên . D. Hàm số đồng biến trên thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải trên . Lời giải. Chọn C. A sai: Sửa lại cho đúng là . B sai: Sửa lại cho đúng là . C đúng (theo dáng điệu của đồ thị hàm đồng biến). D sai (đối nghĩa với đáp án C).