Tài liệu Công phá Toán Lớp 12

hi nhớ công thức lâu hơn. A. B. C. D. 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A. B. C. D. 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A. B. C. D. 5. Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông. A. B. C. D. Đáp án 1. A 2. A 3. A 4. A 5. C STUDY TIP Qua đây ta rút ra kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều thì . Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. Lời giải tổng quát Với thì hàm số có ba điểm cực trị. Do , nên ta chỉ cần tìm điều kiện để . Mặt khác ta có Do vậy Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Ta có kết quả: A. B. C. D. Đáp án D. Lời giải Áp dụng công thức vừa chứng minh ở trên ta có STUDY TIP Qua đây ta rút ra kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều thì . Mà tam giác vuông thì . "Vuông −8, đều −24" Bài tập rèn luyện lại công thức: 1. Cho hàm số . Với những giá trị nào của m thì đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều? A. B. C. D. 2. Cho hàm số có đồ thị . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? A. B. C. D. 3. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? A. B. C. D. 4. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. A. B. C. D. Đáp án 1A 2B 3A 4B Bài toán 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng . Lời giải tổng quát Gọi H là trung điểm của BC thì lúc này H nằm trên đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ). Lúc này . Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: STUDY TIP Qua đây ta rút ra kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích là thì có điều kiện là Ví dụ 3: Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì đồ thị có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 A. B. C. D. Đáp án A. Lời giải Áp dụng công thức ở trên ta có, hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 . Bài tập rèn luyện lại công thức: 1. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. A. B. C. D. 2. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. A. B. C. D. 3. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3. A. B. C. D. 4. Cho hàm số (1), với m là tham số thực. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng . A. B. C. D. Đáp án 1A 2A 3A 4B Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất. Lời giải tổng quát Ở bài toán 3 ta có . Do vậy ta chỉ đi tìm Bài toán 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC trong đó . Lời giải tổng quát Tam giác ABC có hai điểm cực trị Bài toán 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC trong đó ; . Lời giải tổng quát Từ bài toán tổng quát ban đầu ta có . Ta có STUDY TIP Qua đây ta rút ra kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh là α thì có điều kiện là Hoặc Bài toán 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng α. Lời giải tổng quát Cách 1: Ta có Cách 2: STUDY TIP Qua đây ta rút ra kết quả, để đồ thị hàm số , có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn thì Gọi H là trung điểm của BC, tam giác AHC vuông tại H có: Bài toán 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn. Lời giải tổng quát Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau. Một tam giác không thể có hai góc tù, do vậy hai góc ở đáy của tam giác ABC luôn là góc nhọn. Vì thế cho nên để tam giác ABC là tam giác có ba góc nhọn thì góc ở đỉnh phải là góc nhọn. Tức là tìm điều kiện để là góc nhọn. Ở bài toán trên ta vừa tìm được . Để góc nhọn thì Cách khác để rút gọn công thức: Do nên để là góc nhọn thì . Mà do đó Bài toán 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r. Lời giải tổng quát Ta có (công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp). Bài toán 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Lời giải tổng quát Trước tiên ta có các công thức sau: Gọi H là trung điểm của BC, khi đó AH là đường cao của tam giác ABC, nên Bài toán 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có a. Có độ dài . b. Có . Lời giải tổng quát Ở ngay đầu Dạng 3 ta đã có các công thức với Do vậy ở đây với các ý a, b ta chỉ cần sử dụng hai công thức này. Đây là hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng là điều cần thiết. Bài toán 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác. a. nhận gốc tọa độ O là trọng tâm. b. nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. c. nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp. Lời giải tổng quát a. Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. a. Ở công thức vừa nhắc lại ở bài toán 9, ta có tọa độ các điểm A, B, C thì chỉ cần áp dụng công thức (với G là trọng tâm tam giác ABC). STUDY TIP Với những dạng toán này, ta lưu ý ta luôn có tam giác ABC cân tại A, nên ta chỉ cần tìm một điều kiện là có đáp án của bài toán. Lúc này ta có b. Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. Do tam giác ABC cân tại A, mà A nằm trên trục Oy nên AO luôn vuông góc với BC. Do vậy để O là trực tâm của tam giác ABC thì ta chỉ cần tìm điều kiện để hoặc . c. Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp. Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiếp thì Mà ta luôn có , do vậy ta chỉ cần tìm điều kiện cho Bài toán 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Lời giải tổng quát Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với trục hoành, kí hiệu như hình vẽ Ta có (Do trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau). 2.3. Xét hàm phân thức. Trước tiên ta xét bài toán liên quan đến cực trị hàm phân thức nói chung. Ta có một kết quả khá quan trọng như sau: Xét hàm số dạng xác định trên D thì ta có . Điểm cực trị của hàm số này là nghiệm của phương trình STUDY TIP Lưu ý công thức để giải quyết bài toán một cách nhanh gọn hơn. Nhận xét: Biểu thức trên được thỏa mãn bởi các giá trị là cực trị của hàm số đã cho. Do đó, thay vì tính trực tiếp tung độ của các điểm cực trị, ta chỉ cần thay vào biểu thức đơn giản hơn sau khi đã lấy đạo hàm cả tử lẫn mẫu. Vận dụng tính chất này, ta giải quyết được nhiều bài toán liên quan đến điểm cực trị của hàm phân thức. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số . Theo công thức vừa nêu ở trên thì ta lần lượt tìm biểu thức đạo hàm của tử số và mẫu số. Suy ra là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số . Đọc thêm: Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh các bài tập định tham số m để hàm f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 Cách 1: Sử dụng TABLE Cách làm: Ta sử dụng tính năng bảng giá trị TABLE của máy tính để nghiên cứu nhanh dáng điệu của đồ thị trên đoạn với 4 giá trị tham số mà đề cho. Ta lần lượt gán 4 giá trị ở phần đáp án cho A, B, C, D bằng lệnh gán giá trị SHIFT STO. Do chức năng TABLE của máy tính cầm tay Fx 570 VN Plus có thể chạy được 2 hàm số và nên một lần thử ta thử được 2 phương án. Do vậy, cả bài toán ta chỉ cần thử hai lần. Ví dụ 1: Với giá trị nào của tham số thực m thì hàm số đạt cực tiểu tại . A. B. C. D. Đáp án A. Lời giải Lần lượt gán 4 giá trị của m ở 4 phương án A, B, C, D cho các biến A, B, C, D trên máy bằng lệnh SHIFT STO như sau: Ấn −1 (STO) A. Tương tự với các phương án còn lại. Ấn MODE 7: TABLE STUDY TIP Ở bài dạng này, ta chỉ cần để ý xem giá trị của hàm số thay đổi như thế nào khi qua . Nhập hàm . (là hàm số đã cho khi ở phương án A). Sau đó ấn =, máy hiện = ta nhập ấn = Start? Chọn End? Chọn STEP? Chọn Máy sẽ hiện bảng giá trị của hàm số đã cho trong hai trường hợp ở phương án A và B như sau: Ta thấy ở trường hợp tức là trường hợp phương án A. Ta thấy từ chạy đến thì giá trị của hàm số giảm, từ đến thì giá trị của hàm số tăng, tức là hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên . Vậy là điểm cực tiểu của hàm số, vậy A thỏa mãn. Ta chọn A mà không cần xét B, C, D. Ví dụ áp dụng: Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại ? A. B. C. D. Không có giá trị của m Đáp án D. Cách 2: Sử dụng chức năng . Cách làm: Thử các giá trị của tham số m ở các phương án, xem phương án nào làm đạo hàm bằng 0, nếu có nhiều phương án cùng làm đạo hàm bằng 0, thì ta xét đến . Cũng xét ví dụ 1 ở trên thì ta có: Sử dụng nút , nhập vào máy như sau: Tiếp theo ấn CALC nhập , máy hiện bằng 0, thỏa mãn. Chọn A. Chú ý: Ở cách làm này, ta cần lưu ý các trường hợp nhưng không phải là điểm cực trị của hàm số.