Sáng tạo bài toán nguyên hàm - Tích phân bằng cách khai thác các bai toán đặc biệt và biến đổi qua nhiều phép tính

ay thế biểu thức bởi cặp biểu thức và ta có các tích phân mới , ví dụ : a) ( với ); ; ; b) ( với ); ; ; c) ( với ); ; ; d) ( với ); ; ; 2.5)Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức , nhưng giải được theo phương pháp đặt ( hoặc ) , để ghép vào như : a) ( với ); ; ; b) ( với ); ; ; c) (với ); ; ; d) . 2.6)Từ các bài toán tích phân trên ta thấy cặp biểu thức và quá quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức đó , ví dụ thay ( với ) vào các tích phân trong bài 2.4) ta có các tích phân : a) ( với ); ; ; b) ( với ); ; ; c) ( với ); ; ; d) ( với ); ; ; 2.7) Từ các tích phân trong bài 2.4) và 2.6) ta đưa ra các tích phân mới có chứa cặp biểu thức và dạng hoặc bằng cách đặt hoặc hay , và ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng u 0 x b ví dụ : a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; d) ; ; ; e) ; ; ; 2.8)Hoặc dạng , ví dụ : a) ; b) ; c) . 2.9)Ta xét thêm tích phân : (với , ) bằng cách đặt hoặc hay , và ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng u 0 x ví dụ : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) . 2.10) Thay vào các tích phân trong bài 2.9) ta có các tích phân: a) ; b) ; c) . 2.11)Thay hoặc vào các tích phân trong bài 2.9) ta có các tích phân: a) ; b) . 2.12)Từ việc quá quen thuộc với cách giải đối với bài toán tích phân có chứa biểu thức ở trên nên ta đưa ra các bài toán tích phân mới có chứa biểu thức nhưng giải được theo phương pháp đổi biến khác (đặt ) để so sánh, ví dụ như: a) ; b) ; c) ; d) . Ta đã khai thác các bài toán tích phân có chứa biểu thức thì nên tìm đến bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức , để so sánh : Bài toán 3: Tính các tích phân sau: a); () b); ( ). 3.1)Tính tích phân: a) ; b) . Giải: a)Tính Cách 1: Đặt với , ta có : , và với thì , với thì . Ta được: . Cách 2: Đặt ta có ; với , với . Suy ra . b)Tính Đặt ta có ;với , với . Suy ra . 3.2)Tính tích phân: : a) ; b) . Giải: a)Tính Cách 1: Đặt với , ta có : , và với thì , với thì . Ta được: . Cách 2: Đặt . Suy ra . Vậy . b)Tính Đặt . Suy ra . Vậy . 3.3)Thay mỗi giá trị của vào bài toán 3.1) và 3.2) ta được một số tích phân mới ví dụ: a) ; ; ; b) ; ; ; c) ; ; . 3.4)Từ các bài toán 3.1), 3.2) và 3.3) ta đưa ra những bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức và nhưng được giải theo phương pháp khác (đặt hoặc ), ví dụ: a) ; ; ; b) ; ; ; c) . 3.5)Kết hợp bài toán 3.3) và bài toán 3.4) ta có các tích phân mới: a) ; b); c);(); d) ; e) ; g) . 3.6)Từ công thức : , ta xem tích phân trong bài toán 3.1) và 3.2) là biểu thức để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức , ta có các tích phân sau: a) ; b) . Bài toán 4 : Tính các tích phân sau: a) (ví dụ SGK ); b) ( Bài tập SGK ). Giải: a)Đặt ,với , ta có : , và với thì , với thì . Ta được: . b) Đặt ,với , ta có : , và với thì , với thì . Ta được: . 4.1)Đặt vào vị trí của các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản ta có các tích phân sau: a) ; b) ; c); d) ; e) Cho (với ). Lập hệ thức giữa và . 4.2)Thay vào một trong các tích phân trên ta có: a) ; b) . 4.3)Từ công thức : , ta xem tích phân trong bài toán 4) là biểu thức để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức , ta có các tích phân : a) ; b) . 4.4)Qua hai ví dụ ở bài toán 4) khiến ta không thể không xét bài toán quát : ( với ). Giải: Đặt , với , ta có: , và với thì , với thì . Ta được: . 4.5)Và bài toán tổng quát: (với , ) bằng cách đặt , và ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng t 0 x ví dụ : a) ; b) ; c); d) . Bài toán 5: Cho là hàm số chẵn trên đoạn []. Chứng minh rằng : (với ). Hướng dẫn: Đặt , ta có: . 5.1) Thay bởi một số hàm số cụ thể và chọn ta có các tích phân sau: a) ; b) ; c) ; d) ; f) ; đ)(); ; e) (); ; g)(); ; h) ; i) . 5.2)Từ công thức : , ta xem các tích phân trong bài 5.1) là biểu thức để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức , ta có các tích phân : a) ; b) ; c) (); ; d) ; ; 5.3)Thay bởi một số hàm số cụ thể và chọn ta có các tích phân sau: a) ; c) ; d) ; đ); e) (với ) ; ; f) (với ); . 5.4)Thay bởi một số hàm số cụ thể và chọn ta có các tích phân sau: a) ; b) . 5.5)Từ các bài toán 5.1) và 5.3) ta rút ra bài toán sau: Cho là hàm số chẵn trên đoạn [].Chứng minh rằng: (với )(hoặc: ). 5.6)Từ công thức : , ta xem các tích phân trong bài 5.3) là biểu thức để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức , ta có các tích phân sau: a) ; b) ; c); d) . 5.7)Từ các tích phân trong bài 5.6) ta có bài toán tổng quát : Cho là một hàm số lẻ trên đoạn []. Chứng minh rằng : (với ). 5.8)Từ bài toán 5.7) thay , ta có bài toán sau: Cho là hàm số lẻ trên đoạn [].Chứng minh rằng: . 5.9) Thay , vào bài toán 5.8) ta có các tích phân sau: a); b) . 5.10) Từ bài toán 5.7) thay , ta có bài toán sau: Cho là hàm số lẻ trên đoạn [].Chứng minh rằng: . 5.11) Thay vào bài toán 5.10) ta có các tích phân sau: a) ; b) . 5.12) Từ bài toán 5.7) thay , ta có bài toán sau: Cho là một hàm số lẻ trên đoạn []. Chứng minh rằng : . 5.13)Thay vào bài toán 5.12) ta có các tích phân:. 5.14)Từ các tích phân và ( với là hàm số chẵn trên đoạn []) trong các bài toán 5.1) và 5.3); thay ta có các tích phân và , ví dụ : a) ; ; b) ; ; c) ; ; d) ; . d) Kết quả cụ thể: Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12A. Đối tượng học sinh 12A (2008-2009) có trình độ ngang nhau (đối chứng) với 12A (thực nghiệm) Còn ở lớp thực nghiệm, đa số các em giải toán đạt đô chính xác cao. Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thực nghiệm và đối chứng đề tài ở lớp, tôi thu được kết quả sau: Lớp Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Ghi chú Số lượng % Số lượng % 12A 50 17 34 33 66 Đối chứng Lớp Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Ghi chú Số lượng % Số lượng % 12A 50 29 58 21 42 Thực nghiệm Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em giải toán tích phân đạt kết quả chính xác cao. Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được cho những năm học sau. C- KẾT LUẬN: Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh hiểu sâu kiến thức về tích phân, có nhiều bài tập cho các em rèn luyện kỷ năng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT Quang Trung, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm ở các lớp khác, ở các tài liệu chuyên môn khác, sử dụng các hình thức so sánh đối chiếu trong giảng dạy. 1. Bài học kinh nghiệm: Qua thử nghiệm đã nêu ở trên, tôi thấy kết quả thu được cao hơn giờ dạy đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo và hiệu quả trong học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt và nhuần nhuyễn các biện pháp giảng dạy, phát huy được tính sáng tạo của mình trong giảng dạy; song song đó cần tích cực nghiên cứu sách vở và trau dồi năng lực chuyên môn. Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản”, tôi nhận thấy bản thân mình đã trở thành một con người sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm. Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinh yếu không nắm được nguyên hàm của các hàm số thường gặp nên chưa tiếp cận được cách khai thác bài toán tích phân mà tôi đã đưa ra. Tôi cố gắng tìm ra biện pháp để nâng cao hiệu quả trong những năm sắp tới. Mong các đồng nghiệp và các bạn giáo viên trong tổ, trong trường hỗ trợ nhiều cho tôi về phương pháp dạy học “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản” . Trong khi viết đề tài này, bản thân không tránh khỏi những sai sót, rất mong Sở Giáo dục và các anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi rút kinh nghiệm cho những năm sau viết tốt hơn. 2. Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Đề tài đã được thực hiện có hiệu quả ở lớp 12A ; sẽ được phổ biến trong khối 12 của trường THPT Quang Trung, và các lớp khối 12 trung học phổ thông. 3. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài: Khai thác thêm các bài toán tích phân cần phải sử dụng kết hợp cả hai phương pháp( phương pháp đổi biên và phương pháp từng phần) để giải. Bổ sung vào đề tài và thực nghiệm thêm nhiều lớp khối 12 trường THPT Quang Trung. Quang Trung, ngày 19 tháng 05 năm 2012 Người viết Đinh Quang Đạo Nhận xét , đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Quang Trung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo 1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) và các tác giả: Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008. 2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: Giải tích 12 – NXBGD,2008. 3. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Môn Toán - NXBGD,1996. 4. Trần Văn Hạo (Chủ biên) và các tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học Giải tích – đại số tổ hợp-NXBGD,2002. 5. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Tạp chí Toán học& Tuổi trẻ-NXBGD. 6. Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An : Kỷ yếu hội thảo đổi mới cách dạy, cách học bộ môn Toán trung học phổ thông,2008. MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 01 Lý do chọn đề tài 01 Đối tượng nghiên cứu 01 Phạm vi nghiên cứu 01 Phương pháp nghiên cứu 02 NỘI DUNG 02 Cơ sở lý luận 02 Cơ sở thực tiễn 03 Nội dung vấn đề 03 KẾT LUẬN 20 Bài học kinh nghiệm 20 Hướng phổ biến áp dụng đề tài 21 Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài 21 Tài liệu tham khảo ....................................................................22