Sáng kiến kinh nghiệm: Vận dụng những bài toán phương trình và hệ phương trình không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học cho học sinh giỏi bậc trung học cơ sở

3y = 7 2. Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn phương trình : 1! + 2! +.........+x! = y2 Phần II : Hệ phương trình Ở phần I mục 4 “ Đưa về hệ phương trình” tôi đã đưa ra một số cách giải hệ phương trình. Ở phần này với tham vọng chỉ đưa ra dưới dạng các ví dụ, hy vọng rằng qua các ví dụ các thầy cô đồng nghiệp và các em có những ví dụ để tham khảo. A/ Các ví dụ : Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau : Giải : ( Bài tập áp dụng phương trình tích) Vậy hệ có nghiêm nguyên là ; ; ; Dễ thấy chỉ có : ; là ngiệm nguyên cần tìm . Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên (x ; y ; z ; t )của hệ phương trình sau : Hướng giải : Suy ra x, y , z , t lẻ do đó xyzt + x chẵn, dẫn đến mâu thuẫn Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau : Hướng giải : Ta có công thức sau : (x+y + z)3 –( = 3(x + y)(y +z)(x + z) Do đó ta có : Suy ra : 3- x , 3 – y , 3 – z chỉ có một số chẵn hoặc cả ba số cùng chẵn. * Nếu chỉ có một số chắn : Do vai trò của x , y, z như nhau , không mất tính tổng quát giả sử 3 – x chắn , ta suy ra : x = -5 ; y = 4 ; z = 4. * Nếu cả ba cùng chẵn thì x= y = z = 1 Nghiệm nguyên ( x;y;z) cần tìm là : ( -5;4 ; 4); ( 1;1;1) và các hoán vị. Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau : Hướng giải : Đặt : u = x + y v = xy Ta có : Vậy : Do đó x và y là hai nghiệm của phương trình X2 – 2X +1 = 0 Suy ra X = 1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ đã cho là : (1;1). Ví dụ 5 : Giải hệ sau : ( Đề thi giỏi toán lớp 9 TP. HCM 1986-1987) Hướng giải: Ta có : (x+y+z)3 –(x3 + y3 + z3) = 3(x+y)(x+z) (z+y) Nên (x+y)(x+z) (z+y) = 0 Suy ra : x + y = 0 hoặc x + z = 0 hoặc y+z = 0 x + y = 0 thì z= 1 và x= y = o x + z = 0 thì y =1 và x = z = 0 y + z = 0 thì x = 1 và y = z = 0 B/ Bài toán áp dụng và tự luyện : Giải các hệ phương trình sau trong Z : Bài : 1 : Bài 2 : Bài 3: Bài 4 :Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b Hệ phương trình Luôn có nghiệm nguyên. Giải các HPT sau trong R : Bài 5 : Bài 6 : Bài 7 : PHẦN C : KẾT LUẬN : * Kết quả đạt được :Việc rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập sáng tạo , đặc biệt đối với dạng toán phương trình và hệ phương trình không mẫu mực đã thôi thúc tôi, nghiên cứu để viết lên tài liệu, càng khiến tôi tâm huyết tìm hiểu nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này. Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, qua trắc nghiệm hứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ có 20% các em thực sự có hứng thú học toán, 40% học sinh thích học toán và 40% còn lại nửa thích nửa không trên tổng số 420 em học sinh khối 8,9 của trường. Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học xong nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải một bài toán nào đó đặc biệt dạng toán mà tôi đang dặt vần đề , bởi vì do điều kiện khách quan của địa phương và của trường, học sinh chỉ được bồi dưỡng một thời gian nhất định trước khi đi thi, do vậy chỉ được học một phương pháp, vì vậy học sinh chưa có hứng thú học toán. Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán, với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện giải toán cho học sinh các em không còn bỡ ngỡ khi gặp những bài toán được coi là “lạ”. Cụ thể 80% các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi với chuyên đề tôi vừa trình bày, 20% các em còn cần gợi ý các trường hợp, song rất mong muốn được tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi với chuyên đề này. PHẦN D : BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua thời gian áp dụng SKKN vào thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi rút ra được những kinh nghiệm sau : Đây là một sáng kiến nhỏ nhắm góp phần vào các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi không có tham vọng qua sáng kiến sẽ đào tạo được nhiều học sinh giỏi toán mà chỉ mong được các thầy cô , đồng nghiệp tham khảo coi như là một tư liệu trong bộ sưu tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, đối với học sinh cũng mong các em quan tâm và tìm đọc các tài liệu nói về phương trình và hệ phương trình không mẫu mực, và cũng coi đây là một tư liệu để các em gặp những bài toàn dạng này không bỡ ngỡ và khó khăn trong quá trình suy luộc và giải toán. Trên thực tế bồi dưỡng theo tài lieeji tôi xin được đề xuất một số kiến nghị sau : Dùng hệ thống câu hỏi phù hợp để phát triển sức suy nghĩ của học sinh cấp II nói chung và học sinh giỏi nói riêng trong việc học toán. Tạo ra tình huống có vấn đề trong việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Bồi dưỡng học sinh giải toán một cách sáng tạo, chủ động. phát huy khả năng suy nghĩ logic và chủ động trong khi giải toán Rất mong muốn được các Thầy (cô) trong và ngoài nhà trường đóng góp ý kiến để SKKN hoàn thiện hơn và thực sự là một tài liệu tham khảo trong thư viện của các trường. PHẦN D : LỜI KẾT Quý thầy cô và các đồng nghiệp thân mến ! Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn toán 9 năm, làm tổ trưởng tổ toán 5 năm, hiện nay đang là Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn được 2 năm của nhà trường, tuy đã gánh trọng trách nặng nề hơn, công việc bận rộn hơn nhưng với niềm đam mê môn toán, hàng tuần tôi vẫn giành thời lượng quy định lên lớp, nhằm tiếp tục niềm đam mê dạy toán và học toán của mình, trong những đam mê đó thì việc bồi dưỡng học sinh chất lượng mũi nhọn được tôi rất quan tâm rất nhiều trên hai cương vị là CBQL và là giáo viên đứng lớp, từ suy nghĩ đó tôi đã trăn trở và viết lên SKKN với mong muốn làm hành trang cho mình trong quá trình giảng dạy và được mạn phép trao đổi giao lưu với các quý thầy cô trong và ngoài nhà trường, với mục tiêu huyện nhà nói chung và trường THCS Nguyễn Huệ nói riêng có nhiều hơn nữa những học sinh học giỏi toán. Qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn và tin chắc đã có nhiều bất ngờ từ kết quả đạt được ở trên. Một lần nữa xin chân thành cảm ơn các đồng chí , đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường, các em cựu học sinh, các em đang ngồi học của năm học 2009 – 2010. Xin chân thành cảm ơn ! CưM’gar, Tháng 12 năm 2009 PHỤ LỤC : VÀI ĐIỀU VỀ ĐỊNH LÝ LỚN FERMAT Vào khoảng năm 1630, nhà toán học người Pháp Fermat đã viết bên lề cuốn sách về các số Pytagore như sau “ Ngược lại, không thể phân tích một lập phương thành tổng của hai lập phương cũng như một lũy thừa bậc 4 thành tổng của hai lũy thừ bậc 4....và một cách tổng quát, không thể phân tích một lũy thừa với số mũ lớn hơn 2 thành tổng của hai lũy thừa với cùng số mũ đó . Tôi đã phát minh ra chân lý này bằng một chứng minh tuyệt diệu, nhưng lề sách này quá chật nên không ghi lại được”. Có nghĩa là Fermat đã khẳng định rằng phương trình xn + yn =zn ( n3, n thuộc N) không có nghiệm nguyên dương. Mệnh đề này được gọi là bài toán Fermat . Đã hơn 300 năm bài toán vẫn là một trong những điều lý thú trong toán học. Nhà toán học Fermat không để lại cách chứng minh của ông cho nhân loại và chỉ xót lại trong giấy tờ của ông với phần chứng minh khi n=4, nhiều nhà toán học đã lao vào săn tìm lời giải “ Định lý Fertmat”. Năm 1770 Euler đã chứng minh với n = 3. A Legendre và Dirichle chứng minh với n = 5 , khi n= 6 quy về n= 3 và tổng quát chỉ cần chứng minh định lý cho số mũ nguyên tố . Năm 1839, nhà toán học Pháp G. Lame đã chứng minh được cho n= 7, kết quả đáng kể nhất là của nhà toán học Đức E. Kummer đã chứng minh định lý với mọi n<100, sau đó nhờ máy tính người ta kết luận định lý duusng vớn n< 100 000. Nhà toán học Hà Lan G . Falting đã đóng góp khi ông khẳng định định lý Fermat nếu có nghiệm nguyên thì chỉ có hữu hạn nghiệm mà thôi. Đên năm 1994 nhà toán học Andrew Wiles cùng học trò R . Taylor trình bày lời giải thật hoàn chỉnh với 25 trang. Vậy là định lý Fermat đã được chứng minh. Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665) TÀI LIỆU THAM KHẢO . Các hoạt động chuyên đề của PGD tổ chức dành cho GV toán. Phương hướng nhiệm vụ năm học 2008 – 2009 của SGD,PGD CưMgar. Phương hướng nhiệm vụ năm học 2009 – 2010 của SGD,PGD và của trường. Các chuyên đề của tổ bộ môn toán trường THCS Nguyễn Huệ Tài liệu giải hệ PT và PT của Nguyễn Đức Tấn- Phan Ngọc Thảo, nhà xuất bản giáo dục. Kinh nghiệm dạy toán và học toán của Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản giáo dục Một số vấn đề đổi mới PP dạy học toán, nhà xuất bản giáo dục Phương pháp bồi dưỡng HSG toán, nhà xuất bản giáo dục. MỤC LỤC : F Mở đầu :............................................................................... ..........................trang 02 F Đặt vấn đề ......................................................................................................trang 03 F Cơ sở lý luận...................................................................................................trang 04 F Thực trạng......................................................................................................trang 05 F Nội dung ........................................................................................................trang 06 F Phương trình một ẩn ......................................................................................trang 06 F Phương trình nhiều ẩn ...................................................................................trang 11 F Hệ phương trình ............................................................................................trang 20 F Kết luận .........................................................................................................trang 23 F Bài học kinh nghiệm......................................................................................trang 24 F Lời kết............................................................................................................trang 25 F Phụ lục............................................................................................................trang 26 F Tài liệu tham khảo..........................................................................................trang 27 F Mục lục...........................................................................................................trang 28