Sáng kiến kinh nghiệm - Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng

ay biến điểm C thành điểm A, do đó A có tọa vị là . Tương tự, điểm N có tọa vị là . Từ đó suy ra tọa cị của điểm E, trung điểm của đoạn thẳng AN là . Từ đó suy ra điểm E nằm trên đường thẳng FB hay các điểm E, F, B thẳng hàng. Ví dụ 10. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta lần lượt dựng các tam giác đồng dạng có cùng hướng là ADB, BEC, CFA. Chứng minh rằng các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. Giải Ta quy ước chữ cái thường là tọa vị của đỉnh tương ứng, chẳng hạn a là tọa vị của A. Vì ADB, BEC, CFA là các tam giác đồng dạng cùng hướng nên . Do đó Hay các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. Ví dụ 11. ( Định lí con nhím). Trong mặt phẳng cho đa giác đơn . Xét các véc-tơ , hướng ra ngoài miền đa giác đơn. Chứng minh rằng . Giải Nếu đa giác đó được định hướng thuận thì có được do quay véc-tơ góc nên có tọa vị ( coi là điểm của mặt phẳng phức có tọa độ ). Vậy có tọa vị Ví dụ 12. (Đường tròn Euler và đường thẳng Euler). Cho tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, trực tâm H, trọng tâm G. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh ; là chân đường cao hạ từ hạ từ xuống các đỉnh tương ứng; là trung điểm của đoạn thẳng nối từ đỉnh với trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng H, O, G thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Euler. Chín điểm , , thuộc một đường tròn, gọi là đường tròn Euler. Giải Xét bài toán trong mặt phẳng phức. Chọn tâm O làm gốc tọa độ, đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đơn vị, ta quy ước chữ cái thường là tọa vị của các đỉnh tương ứng. 1) Ta có Lấy là điểm đối xứng tâm đường tròn qua dây , vậy là hình thoi, do đó . Mặt khác, xét H là đỉnh hình bình hành . Khi đó . Do đó , tức là và H, O, G thẳng hàng. Ta có . Do là chân đường cao hạ từ hạ từ xuống các đỉnh tương ứng nên Mặt khác là trung điểm của đoạn thẳng nối từ đỉnh với trực tâm của tam giác, ta có Gọi E là trung điểm của . Khi đó . Do tính đối xứng của e đối với thì E cũng chính là điểm giữa các đoạn thẳng . Dễ thấy . Do đó 6 điểm , nằm trên cùng một đường tròn w tâm E có bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Ta cũng thấy E nằm trên đường thẳng Euler và , nghĩa là E nằm giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Ta xét Do đó cũng nằm trên đường tròn w tâm E có bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tương tự với . Vậy đường tròn tâm E đi qua chín điểm của tam giác. 2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây cung AB, CD. Tìm điểm X trên đường tròn sao cho Giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn đã cho. Ta xét trường hợp hai dây cung AB, CD không cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ta có Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD thì . Từ đó và các hệ thức trên ta được Đặt thì Do đó Suy ra điểm X là giao của đường tròn đã cho với đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng JI. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng tam giác. Chứng minh rằng: . Hãy tìm trong tam giác ABC điểm M sao cho là nhỏ nhất. Giải Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng trọng tâm G của tam giác ABC trùng với gốc tọa độ O. Trên mặt phẳng tọa độ phức, giả sử tọa độ của các đỉnh là Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên suy ra tọa độ của G là mà nên suy ra . Ta có Tính từng số hạng theo công thức , ta có Cộng các đẳng thức trên, vế với vế ta được Do suy ra . Từ đó suy ra . Do đó ta có Vậy ta có Ta có Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất khi và chỉ khi , nghĩa là M là trọng tâm của tam giác ABC. Ví dụ 3. Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có tổng bình phương các cạnh là lớn nhất. Giải Dựng hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn. Gọi G là trọng tâm G tam giác ABC, ta có Từ đó suy ra tổng lớn nhất khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều và tổng lớn nhất đó bằng . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn w. Gọi là trung điểm cạnh BC và là hình chiếu của trên tiếp tuyến của w tại A. Các điểm được xác định một cách tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy. Hãy xác định vị trí hình học của điểm đồng quy. Giải Không mất tính tổng quát, coi w là đường tròn đơn vị. Gọi w là tọa vị của điểm W trong mặt phẳng phức. Ta có và đường thẳng là đường thẳng đi qua , song song với OA, do đó có phương trình Do nên phương trình được viết lại dưới dạng hay Gọi N là tâm đường tròn Euler của tam giác, thì do đó đi qua N. Tương tự cũng có đi qua N. Hình 15 2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, trong đó các đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm M, N của các cạnh tương ứng AB, AC và trọng tâm G của tam giác ABC trong các trường hợp: Độ dài đường cao AA' không đổi. Chân A' của đường cao AA' cố định. Độ dài đường cao AA' không đổi. Giải a) Độ dài đường cao AA' không đổi. Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm cạnh BC, trục hoành đi qua hai đỉnh B, C. + Quỹ tích các trung điểm M, N tương ứng của các cạnh AB, AC. Ta có: B = -C, AA' = h = const => A = x + ih (- < x < +) Do đó M = (B + x + ih) = (-C + x + ih), N = (C + x + ih). Suy ra các điểm M, N chuyển động trên đường thẳng song song với trục hoành có phương trình z =(x' + ih), -< x' < +, và cách trục hoành một khoảng bằng h, khoảng cách giữa M và N luôn bằng |M - N| =| (-C + x + ih) -(C + x + ih)| = |C|. + Quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G = (A + B + C) = A = (x + ih), -< x < + Suy ra, G chuyển động trên đường thẳng có phương trình z = (x + ih), -< x <+, song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng h. b) Chân A' của đường cao AA' cố định. Ta có A = A' + iy, - < y < +, do đó M = (A + B) = (B + A' + iy) N = (A + C) = (C + A' + iy) G = (A + B + C) = (A' + iy). Từ đó suy ra Điểm M chuyển động trên đường thẳng vuông góc với trục Ox, đi qua điểm (A' + B) thuộc trục Ox và có phương trình z = (A' + B) + iy. Điểm N chuyển động trên đường thẳng vuông góc với trục Ox, đi qua điểm (A' + C) thuộc trục Ox và có phương trình z = (A' + C) + iy. Điểm G chuyển động trên đường thẳng vuông góc với trục Ox, đi qua điểm A' thuộc trục Ox và có phương trình z = A' + iy. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: là hằng số, không bị phụ thuộc vị trí điểm M. Tìm tập hợp điểm M sao cho (k là số thực). Giải Đặt giao điểm hai đường chéo của hình bình hành trùng với gốc tọa độ O. Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Ta tính là bình phương của modun các số phức . Tương tự Từ đó không đổi. b) Tìm tập hợp điểm M sao cho: Sử dụng các kết quả tính được ở phần trên ta có Từ đó . Ví dụ 3. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động trên (C), A' là điểm đối xứng của A qua M. Tìm tập hợp điểm A' và trọng tâm G của tam giác A'AB. Giải Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) đã cho, trục hoành đi qua các điểm A, B. * Tập hợp các điểm A' Ta có . Suy ra, điểm A' chuyển động trên đường tròn tâm B, bán kính 2R. * Tập hợp trọng tâm G của tam giác A'AB. Gọi G là trọng tâm của tam giác A'AB. Ta có Suy ra , trong đó . Do đó. Vậy điểm G chuyển động trên đường tròn tâm tại , bán kính . Hình 16 Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A. Tìm tập hợp điểm D. Giải Đặt đoạn AB = 2R trên trục thực, điểm A trùng với gốc tọa độ O. Tam giác ACD vuông ở A và nằm ở phía ngoài tam giác ABC nên . Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên Do đó . và theo công thức nhân hai số phức dưới dạng lượng giác ta có Vậy tập hợp điểm D là nửa đường tròn bên trái của đường tròn tâm , bán kính R. Hình 17 Ví dụ 5. Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là dây cung cố định không phải là đường kính của đường tròn (C), điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC. Giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C), trục hoành song song với dây cung BC. Do đó trục tung vuông góc với BC và đi qua trung điểm I của BC. Ta có Trong đó . Vậy G chuyển động trên đường tròn tâm J bán kính . Vì A chuyển động trên cung lớn BC nên G chuyển động trên một cung tròn của đường tròn tâm J bán kính . KẾT LUẬN Có thể nói rằng, số phức tuy không phải là nội dung mới của Toán học song nó là một vấn đề rất mới mẻ và tương đối phức tạp với các em HS bậc Trung học phổ thông, đặc biệt là ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng, hơn nữa đây lại là một vấn đề mà trong thực tế giảng dạy hiện nay chưa được quan tâm, chưa được chú trọng bồi dưỡng cho các em khá giỏi.. Tuy nhiên, việc sử dụng số phức như một công cụ giải toán không những mang lại cho học sinh một phương pháp giải toán mới mà góp phần đáng kể vào việc rèn luyện kĩ năng bồi dưỡng năng lực giải toán của HS, đặc biệt là giải toán hình học phẳng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đoàn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục. [2]. Nguyễn Văn Mậu – chủ biên (2009), Chuyên đề số phức và áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội. [3]. Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức và hình học phẳng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội. [4]. Võ Thanh Vân - chủ biên (2009), Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc Giang, Chuyên đề ứng dụng số phức trong giải toán THPT, NXB ĐH Sư Phạm. [5]. Nguyễn Phụ Hy (2006), Ứng dụng giải tích để giải toán THPT, tập 2, NXB giáo dục. [6]. A.I. Markusevits (1987), Số phức và ánh xạ bảo giác, NXB Khoa học và kĩ thuật. [7]. Liang-shin Hahn, Complex and Geometry, The Mathematical Association of America. [8]. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm số biến số phức, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội. [9]. Titu Andreescu, Dorin Andrica (2002), Complex numbers from A to–Z. [10]. Http//:www.mathscope.com.vn [11].