Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp chặn giải toán cho học sinh lớp 6

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình phổ thơng mơn tốn là mơn học chiếm vị trí quan trọng. Dạy tốn tức là dạy phương pháp suy luận khoa học. Học tốn tức là rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải các bài tốn là một phương tiện rât tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo. Trong quá trình giảng dạy mơn tốn ỏ THCS nĩi chung, mơn số học nĩi riêng, việc hình thành tư duy cho các em để đi đến cách giải một bài tốn là một việc tương đối khĩ khăn đặc biệt lại là các em học sinh ở đầu cấp. Vì vậy làm thế nào, để khai thác triệt để các dữ kiện của bài tốn, loại trừ các khả năng cĩ thể xảy ra, từ đĩ đi đến vấn đề trọng tâm rồi chủ động đưa ra cách giải một cách đơn và đi đến kết quả. Một trong những phương pháp đĩ là “ Sử dụng phương pháp chặn”- là những cơng cụ hữu hiệu, gĩp phần tháo gỡ khĩ khăn trong việc giải tốn. Phương pháp này tuy đã được nhiều người sử dụng, song khơng chủ động, áp dụng chưa rộng, chưa hình thành tư duy phương pháp và kĩ năng cho học sinh dẫn đến học sinh cịn gặp nhiều khĩ khăn trong việc giải bài tập, nhất là các bài tập về số học. Từ thực tế giảng dạy bồi tơi đã mạnh dạn làm chuyên đề này, gĩp một phần nhỏ vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng: Số học là mơn học các em được học ở lớp 6 nhưng trong các đề thi học sinh giỏi cấp cụm, cấp huyện, cấp tỉnh luơn cĩ mặt. Khi giải tốn số học, một khâu quan trọng thường cĩ trong cách giải là phải tìm cách hạn chế các giá trị của biến để từ đĩ tìm ra kết quả. Tuy nhiên với các em đầu cấp nếu khơng được sự hướng dẫn thì việc làm này sẽ khơng trở đường lối. 1 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 2. Kết quả của thực trạng Để đánh giá được khả năng giải tốn và cĩ phương án truyền đạt phương pháp đến cho học sinh, tơi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá giỏi khối lớp 6 trường THCS Lê Đình Kiên, thời gian làm bài là 45 phút Bài 1 (4 điểm) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 9x 45 Bài 2 (4 điểm) : Tìm số cĩ hai chữ số sao cho tỉ số giữa hai số đĩ với tổng các chữ số của nĩ cĩ giá trị nhỏ nhất. 1 1 1 Bài 3 (2 điểm) : Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x y 3 Kết quả cụ thể : Điểm dưới 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10 SL % SL % SL % 8 40 7 35 5 25 Qua kiểm tra tơi thấy đa số học sinh khơng làm được bài 3. Từ thực trạng trên, để quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt hơn tơi đã nghiên cứu và tìm hiểu một lớp các bài tốn, hướng dẫn các em học sinh sử dụng phương pháp “chặn” để giải sẽ cĩ hiệu quả hơn. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Sử dụng phương pháp này giải quyết được phần lớn các bài tập số học cơ bản và nâng cao. Bản chất của vấn đề là: “Muốn tìm được số nào đĩ hay mệnh đề nào đĩ thỏa mãn tính chất hoặc điều kiện cho trước” thì ta phải giới hạn tính chất đã cho, phạm vi áp dụng, kết hợp nhiều tính chất khác nhau rồi loại bỏ các yếu tố phức tạp và cĩ thể gĩp phần đưa ra kết quả. Cụ thể là : Tìm số a thỏa mãn tính chất nào đĩ, ta giả sử a m Kết hợp với điều kiện bài tốn ta tìm được a n . Từ đĩ ta tìm được a trong khoảng từ m đến n m a n . Sau đĩ kết hợp các dữ kiện hoặc thử các trường hợp trong khoảng đĩ suy ra a chỉ nhận một số giá trị nào đĩ. 2 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 Các bài tốn ở chuyên đề này thường được phân ở hai dạng chính: - Dạng thứ nhất: Dựa vào đề bài ra ta cĩ thể giới hạn ngay các khả năng xảy ra, kết hợp nhiều yếu tố khác rồi cho kết quả. - Dạng thứ hai: Sử dụng các tính chất đã cĩ của các số, nhưng cĩ thể khơng nĩi đến ở đề bài tốn. Kết hợp nhận xét, đánh giá các khả năng xảy ra rồi “ chặn”, từ đĩ đi đến lời giải và cho kết quả. Trong trường hợp này nhiều khi chúng ta phải linh động, bởi vì xuất phát điểm của lời giải khơng cố định bắt đầu từ đâu, khơng theo một cơng thức hay quy luật nào đĩ. Sau đây là một số bài tập áp dụng được phân thành các thể loại, trong đĩ đã phân thành hai dạng đã nĩi ở trên. I. THỂ LOẠI TỐN VỀ TÌM SỐ (Ở thĨ lo¹i này chđ yÕu lµ c¸c bµi to¸n ë dạng 1) Bài 1: Tìm a, b biết a,b 23;35;138;17;41 và 90<a-b<100. Lời giải: Vì 90 < a-b <100 , cộng mỗi vế với b ta cĩ 90+b <a < 100+b Đặt A 23;35;138;17;41 . Do b A nên b 17 a 90 17 107 Mà a A a 138 Ta cĩ 90 b a 90 b 138 b 48 và 100 b a 100 b 138 b 38 Suy ra 38 < b < 48 b 41 Vậy a 138, b 41 Bài 2: Cho biết a,b B 17;18;35;43;96 và 50 a b 60 .Hãy tìm a, b. Lời giải: Tương tự bài trên ta cĩ: 50 b a 60 b . Do b > 0 a 50 a 96 a B 3 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 50 b 96 b 46 36 b 46 60 b 96 b 36 Mà b B b 43 Lời bình: Ở các bài tốn trên, các em học sinh cĩ thể tính nhẩm rồi cũng cĩ thể đi đến kết quả, hoặc thử các trường hợp trong A, B cũng cho kết quả. Cơ sở ở đây là hình thành kỹ năng trong giải tốn ở chuyên đề này. Bài 3: a) Tìm số tự nhiên lớn nhất x sao cho 6x 37 b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất y sao cho 37 6y Lời giải: a/ Nếu x>6 thì 6.x >37 khơng thỏa mãn đề bài. Suy ra x 0;1;2;3;4;5;6 Mà x là số tự nhiên lớn nhất cần tìm. Vây x=6. b) Ta cĩ : 6.6=36<37 nên y = 6 khơng thõa mãn đề bài. Suy ra y= 7 ; 8; 9; ... Nhưng y là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm. Vậy y = 7. Bài 4: Tìm a, b, c sao cho a6.4bc 17064 (1) Lời giải: Ta cĩ : 400 4bc 499 . Nếu a 2 26.499 12974 17064 Nếu a 4 46.499 1840 17064 Từ trên suy ra 2< a < 4 a 3 Khi đĩ, từ (1) 4bc 17064 : 36 474 b 7,c 4 Vậy a = 3, b = 7, c = 4 Bài 5: Tìm a N biết rằng aa a 1 a 1 a 2 Lời giải: Ta cĩ: Vế trái là một số cĩ 4 chữ số nên vế phải cũng là một số cĩ 4 chữ số. Nếu a 6 a 1 a 2 54 625 ( Khơng thỏa mãn đề bài ) 4 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 Nếu a 8 a 1 a 2 76 117649 ( Khơng thỏa mãn đề bài ) Vì vậy ta cĩ 6 a 8 a 7 . Khi đĩ ta cĩ 7776 65 Lời bình: Từ các bài tốn 1,2,3,4, các em học sinh khá cĩ khi khơng gặp vướng mắc gì. Cịn ở bài này rõ ràng phải giới hạn ngay ( nhiều khi giáo viên cần gợi ý ) a cĩ thể nhận giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ được khơng? Khi đĩ điều gì sẽ xảy ra. Vì vậy chúng ta cĩ ngay giới hạn của a khơng quá lớn hoặc quá nhỏ. Bởi vì vế trái là số cĩ 4 chữ số, vế phải là một lũy thừa. Lũy thừa cĩ thể vượt quá 4 chữ số cho nên ta cần giới hạn điều kiện của a. Cĩ thể coi đây là một “ kinh nghiệm ” trong việc giải tốn này. Bài 6: Người ta viết thêm số 0 vào giữa hai chữ số của một số cĩ hai chữ số, sau đĩ lập tỉ số giữa số mới này và số đã cho. Hỏi giá trị là số nguyên nhỏ nhất của tỉ số này là bao nhiêu? Lời giải: Gọi số cĩ hai chữ số đã cho là ab . Trong đĩ a,b N,1 a 9;0 b 9 Khi viết thêm số 0 vào giữa ta được số a0b . a0b Đặt k ta phải tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của k. ab a0b 100a b 90a 90 Ta cĩ: k 1 1 b ab 10a b 10a b 10 a 90 Giá trị nhỏ nhất của k đạt được khi đạt giá trị nhỏ nhất b 10 a b Tức là cĩ giá trị lớn nhất. a b Phân số đạt giá trị lớn nhất khi giá trị của a nhỏ nhất và giá trị của b lớn a 14 nhất b 9;a 1 Khi đĩ k 5 19 5 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của tỉ số là 5. Dạng 2: Khi các em đọc đề bài thì khĩ định hướng để đưa được ra lời giải theo phương pháp này (tất nhiên cĩ bài dùng phương pháp giải khác). Vì vậy nhiệm vụ quan trọng của chúng ta là làm thế nào để đưa các em đi đúng quỹ đạo của lời giải. Ở đây chúng ta phải dùng đến các tính chất về số mà các em phải hồn tồn nắm vững. Sau đĩ nhận xét, đánh giá những khía cạnh trong bài tốn phải thật sự sát với ý tưởng của lời giải, khi đĩ các em dễ nhập cuộc với bài giải. Phương pháp chặn lúc này sẽ phát huy tác dụng một cách tích cực hơn. Sau đây là một số bài tốn. Bài 1: Tìm số a thỏa mãn : a chia 4 dư 3, a chia 9 dư 5. Hỏi a chia cho 36 cĩ số dư là bao nhiêu? Lời giải Ta viết a dưới dạng a 36q r 0 r 35 Theo tính chất chia hết của một tổng ta cĩ : 36q4; 36q9 Suy ra r chia 4 dư 3, r chia 9 dư 5 hay r 9k 5 k N Mà 0 9k 5 36 9k 31 k 0;1;2;3 Thử các giá trị của k ta được k=2 thì r 23 thỏa mãn đề bài. Vậy a chia 36 dư 23. Lưu ý: bài này các em học sinh cĩ thể làm theo cách khác. Bài 2: Tìm số cĩ hai chữ số biết rằng số đĩ gấp 6 lần tổng các chữ số của nĩ, tích các chữ số của nĩ ít hơn số đĩ viết theo thứ tự ngược lại là 25 đơn vị. Lời giải Gọi số đĩ là ab với a,b N,1 a 9;0 b 9. Theo bài ra ta cĩ 6 a b ab 1 ab 25 ba 2 6 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 ab3 a b 3 Từ (1) ab6 6 a b 9 ab9 a b 9 ab2 b 2 0 a b 17 Suy ra 10 ab 98 a b 9 ab 25 ba ab 6.9 54 Thử lại ta được số cần tìm là 54. Bài 3: Tìm số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 60 cĩ nhiều ước số nhất. Lời giải Gọi số tự nhiên đĩ là n với n 0 .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tơ, ta xét 4 trường hợp sau: TH1: n chứa một thừa số nguyên tố: n 2x. Ta cĩ :25 60 26 n 25 cĩ 6 ước số. TH2: n chứa 2 thừa số nguyên tố : n 2x.3y. Ta cĩ :24.3 60 24.32 n 24.3 cĩ 10 ước. TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố: n 2x.3y.5z.Ta cĩ :2.3.5 60 22.3.5 n 2.3.5 cĩ 8 ước số. TH4: n cĩ 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này khơng xảy ra vì khi đĩ tích của chúng lớn hơn 60. Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết rằng: a 2 b2 1530;BCNN a;b 297 và a b Lời giải Cách 1: Ta cĩ : BCNN a;b 927 33.11 và a b a 2 b2 . Vì a 2 b2 10530 5215 a 2 10530 73 a 103 Suy ra dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số a chứa 32.11 Lại cĩ 10530 khơng chia hết cho 11 nên b khơng chia hết cho 11 7 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 b 3;32;33 Lần lượt thử với các giá trị trên ta được b 33 27 thỏa mãn đề bài. Khi đĩ a 99 . Vậy a=99, b=27. Cách 2: Lập luận như trên ta suy ra được a9; b9 a 9k,b 9h k;h N,k h a 2 b2 81 k2 h2 10530 k2 h2 130 65 k2 130 8 k 12 k 9;10;11 2 2  k h Với k 9 h2 49 h 7. Thay vào ta thấy khơng thỏa mãn đề bài. Với k 10 h2 30 vơ lí. Với k 11 h2 9 h 3 Thỏa mãn đề bài ra. Vậy a=99, b=27. Lời bình: Cách 1: tuy ngắn gọn nhưng ít được sử dụng rộng rãi, bởi vì cĩ khi phải thử nhiều trường hợp thì rất mất thời gian cho việc tính tốn mà hiệu quả lại khơng cao, khơng mang tính khoa học bộ mơn rõ rệt. Cách 2: Nếu các em khơng nghĩ ngay đến việc sử dụng kết quả trong việc tìm BCNN của hai số thì rất khĩ cĩ thể tìm ra cách giải, rất mất thời gian hoặc dài dịng mới cho kết quả. Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của nĩ là n2 2011n 4 Lời giải: Gọi S n là tổng các chữ số của n. Ta cĩ : 0 S n n * + Nếu n 0 S n 5 0 loại. + Nếu 1 n 2011 8 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 S n n2 2011n 4 n2 n 2010n 2010 2006 n 1 n 2010 2006 Suy ra S n 0 loại. + Nếu n 2011 S n n n 2011 4 n Mâu thuẫn với (*). + Nếu n 2011 S n 20112 2011.2011 4 5 2 0 1 1 thỏa mãn. Vậy số đĩ là 2011 II. THỂ LOẠI TỐN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1 (D1) Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho dãy số k 1,k 2,k 3,...,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất Lời giải + Với k = 1 thì dãy trên cĩ 5 số nguyên tố là 2,3,5,7,11. + Với k = 0 thì dãy trên cĩ 4 số nguyên tố là 2,3,5,7. + Với k 2 thì các số của dãy trên đều khơng nhỏ hơn 3 và trong 10 số đĩ cĩ 5 số chẵn là hợp số và 5 số lẻ liên tiếp. trong các số lẻ này cĩ ít nhất một số khác 3 mà chia hết cho 3. Do đĩ số các số nguyên tố khơng vượt quá 4. Vậy k = 1 thì dãy chứa nhiều số nguyên tố nhất. Bài 2 (D1): Tìm tất cả bộ ba các số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình phương của 3 số đĩ cũng là số nguyên tố. Lời giải Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là p, q, r. Ta cĩ p2 q2 r2 A là số nguyên tố. Giả sử p < q < r Do p, q, r là các số nguyên tố nên A p2 q2 r2 3 Nếu p, q, r đều khơng chia hết cho 3 khi đĩ p2;q2;r2 khi chia cho 3 dư 1. A3 mà A > 3 nên A là hợp số trái với giả thiết (Loại) Vậy p3 vì p nguyên tố nên p 3 q 5;r 7 Khi đĩ A 32 52 72 83 là số nguyên tố. 9 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011 Bài 3 (D1): Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2p p2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: Nếu p = 2 thì A 2p p2 22 22 8 là hợp số. Nếu p 3 mà p nguyên tố nên p là số lẻ. Ta cĩ A 2p p2 2p 1 p2 1 Vì p là số lẻ nên 2p 13 và p2 3 A3. Lại cĩ A > 3 nên A là hợp số Nếu p = 3 thì A 23 32 17 là số nguyên tố. Vậy chỉ tìm được một số nguyên tố p = 3 thỏa mãn yêu cầu bài tốn Bài 4 (D2): Tìm mọi số nguyên tố x, y thỏa mãn x2 2y2 1 Lời giải Ta cĩ: x2 2y2 1 x2 1 2y2 x 1 x 1 2y2 (1) Xét tổng x 1 x 1 2x là số chẵn x 1;x 1 cùng tính chẵn, lẻ. Từ (1) x 1;x 1 cùng là số chẵn x 1 x 1 4 2y2 4 y2 2 y2 Mà y là số nguyên tố y 2. Khi đĩ x2 1 2.22 9 x 3 Vậy x 3, y 2 III.THỂ LOẠI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1 (D1): Hãy tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau đây: abcd : dcba q biết rằng cả 3 số đều là số chính phương và các chữ số khác nhau. Lời giải Do abcd dcba 1 q 10 mà q là số chính phương nên q 4;9 Mặt khác abcd;dcba đều là các số chính phương nên a,d A 1;4;5;6;9 (vì a,d 0 ) 10 GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định