Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI NÓI ĐẦU Toán học – Môn học không thể thiếu trong bất kỳ lĩnh vực nào. Song dạy và học toán là cả một quá trình. Làm thế nào để học sinh yêu thích môn toán và ngày càng nhiều học sinh giỏi toán, lại là một bài toán khó đặt ra cho mỗi giáo viên dạy toán. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, việc rèn luyện cho học sinh biết sử dụng linh hoạt các tính chất của phép toán là cần thiết. Đặc biệt là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, một trong những tính chất cơ bản mà học sinh được sử dụng rất nhiều trong các dạng bài tập, giải toán nhanh. Vì vậy trong giải toán giáo viên phải chú ý phương pháp dạy như thế nào để học sinh không những nắm vững nội dung tính chất mà còn biết vận dụng linh hoạt trong khi tính toán, giải các bài tập khó. từ đó làm cơ sở để học các phép biến đổi : Giải phương trình, đặt thừa số chung, thu gọn đa thức ở chương trình đại số các lớp trên. Qua thực tế giảng dạy ở các năm học trước, với những đối tượng học sinh khác nhau, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm về phương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh nắm, vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối vứi phép cộng từ đó có thể áp dụng tính chất đó vào giải toán gây hứng thú học tập cho học sinh. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1- Thực trạng: Mặc dù tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng học sinh đã học từ cấp I, Nhưng việc vận dụng tính chất này vào giải toán còn nhiều lúng túng. Bên cạnh đó trong một lớp học trình độ học sinh không đồng đều. Đồng thời các em chưa có thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sáng tạo. Vì vậy khi gặp các bài toán phải qua các phép biến đổi mới áp dụng được tính chất thì học sinh gặp khó khăn. 1 2- Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên: * Phần đông các em học sinh áp dụng kiến thức được học một cách máy móc mà chưa chính xác, chưa có sự sáng tạo linh hoạt. * Ở lứa tuổi này phần đông các em hiếu động, ham chơi, nên việc bị rơi vãi kiến thức cũ là điều dễ hiểu. * Ý thức tự học, tự nghiên cứu chưa cứu chưa cao. Đặc biệt hiện nay khi mà máy tính cầm tay luôn đồng hành cùng với các em nên phần lớn các em sử dụng một cách tùy tiện không chịu suy nghĩ, áp dụng tính chất phép toán để tìm ra cách giải thích hợp. Do đó khi lên lớp 8; 9 khi phải biến đổi các biểu thức đại số thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Từ thực trạng trên để kết quả giảng dạy tốt hơn đồng thời giúp học sinh luôn luôn tự tin vào chính mình khi đứng trước một bài toán khó cần có cách giải linh hoạt sáng tạo. Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy kết hợp với nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, tài liệu tham khảo năm học này tôi đã áp dụng cách làm của mình vào thực tế giảng dạy và đã cho kết quả cụ thể . B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 1. Dạy học sinh nắm chắc tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: A.(B C) = AB AC 2. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng vào giải các dạng toán II. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1 Phương pháp chung: * Bước 1: Từ bài toán cụ thể đi phân tích, biến đổi, tìm ra thừa số chung trong các tích, hoặc các tích của tổng và từ đó xây dựng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. 2 Thực ra tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các em đã được học ở lớp dưới ( nhân một số với một tổng, hiệu), song qua kiểm tra phần đông các em thực hiện thiếu chính xác. Ví dụ: Tính: 9.(a + 2) + 9.( 5 – a) phần lớn các em có kết quả là: 9.(a + 2) + 9.( 5 – a) = 9.a + 2 + 9.5 – a ( bỏ qua không nhân với số hạng thứ 2). Do đó khi dạy tính chất này giáo viên phải nhấn mạnh cho học sinh thừa số 9 phải được nhân với từng số hạng của tổng (a + 2) và (5 – a) Ta có phép tính đúng: 9.(a + 2) + 9.( 5 – a) = 9.a + 9.2 + 9.5 – 9.a = ( 9.a – 9.a) + 18 + 45 = 63 Hoặc: 9.(a + 2) + 9.( 5 – a) = 9.( a + 2 + 5 - a) = 9.7 = 63 Để hình thành tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng giáo viên phải đưa ra một số bài toán cụ thể để cho học sinh tính, rút ra nhận xét rồi hình thành tính chất. Ví dụ : Tính và so sánh kết quả: a. ( 3 + 6).7 và 3.7 + 6.7 b. ( 7 – 3).5 và 7.5 – 3.5 Sau khi học sinh làm đúng bài toán trên giáo viên cho học sinh nhận xét về hai biểu thức : a.(b c) và a.b a.c .Từ đó rút ra công thức : a.(b c) = a.b a.c . Phát biểu tính chất thành lời. * Bước 2: Áp dụng tính chất phân phối đưa về dạng tổng của các tích hoặc một số nhân với một tổng. 2. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép vào cộng giải bài tập. Việc dạy học sinh nắm tính chất là điều đơn giản song làm thế nào để học sinh vận dụng vào giải toán có hiệu quả lại không đơn giản chút nào. Bởi khi các em vận dụng được để giải toán một cách nhanh chóng thì tạo cho các em hứng thú học tập, yêu thích môn toán rất nhiều. 3 Vì vậy sau khi dạy xong tính chất giáo viên phải đưa ra một số dạng bài tập vận dụng tính chất để các em làm quen và khắc sâu. Cụ thể phân ra từng dạng như sau: Dạng 1: Tính nhẩm, tính nhanh • Ví dụ 1: Tính nhanh: a) 27.38 + 27.62 b) 57 . 99 c) 425 . 7 . 4 – 170 . 60 d) 29 . 74 – 58 . 37 Đây là dạng toán áp dụng đơn giản. song khi đưa ra bài tập này vẫn còn một số em chỉ làm được câu a,b mà không vận dụng tính chất để tính nhanh được câu c,d. Sau đó giáo viên hướng dẫn các em giải: *Lời giải sơ lược: a) 27.38 + 27.62 = 27.( 38 + 62) = 27.100 = 2700 b) 57 . 99 = 57(100 – 1) = 5700 – 57 = 5643 c) 425 . 7 . 4 – 170 . 60 = 1700 . 7 – 1700 . 6 = 1700(7 – 6) = 1700 d) Cách 1: 29 . 74 – 58 . 37 = 29 . 2 . 37 – 58 . 37 = 37( 58 – 58) = 0 Cách 2: 29 . 74 – 58 . 37 = 29 . 74 – 29 . 2 . 37 = 74 . (29 – 29) = 0 4 * Sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán này là: - Không biết chọn thừa số để tách thích hợp - Bấm máy tính đưa ra kết quả cuối cùng luôn * Cánh khắc phục: Không cho học sinh dùng máy tính, yêu cầu trình bày lời giải chi tiết đồng thời giáo viên hướng dẫn mẫu để các em học tập và cho bài tập cùng dạng để các em vận dụng thì đa số các em làm tốt và rất thích thú. • Ví dụ 2: Tính một cách hợp lý: a. 54.113 + 45.113 + 113 b. 4 . 14 . 6 + 2 . 12 .17 + 3 . 19 . 8 c. 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.2.3 2.6.10 4.12.20 9.27.45 1 1 1 1 0,25 0,2 6 d. 5 7 13 . 3 2 2 2 1 1 0,875 0.7 7 5 7 13 6 Nhận dạng và đưa ra định hướng giải: Giáo viên cho học sinh nhận dạng và học sinh làm được ngay câu a,b song với câu c,d thì vẫn còn nhiều em lúng túng. Sau đó giáo viên dẫn dắt để học học sinh tự tìm ra cách giải nhanh và đúng nhất. * Lời giải sơ lược: a. 54.113 + 45.113 + 113 = 113.( 54 + 45 + 1) = 113.100 = 11300 b. 4 . 14 . 6 + 2 . 12 .17 + 3 . 19 . 8 = 24 . 14 + 24 . 17 + 24 . 19 = 24 . ( 14 + 17 + 19) = 24 . 50 = 24 . 100 : 2 = 1200 5 c. 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.2.3 2.6.10 4.12.20 9.27.45 = 1.5.6.(1 2.2.2 4.4.4. 9.9.9) 1.3.5.(1 2.2.2 4.4.4 9.9.9) 1.5.6 = 2 1.3.5 1 1 1 1 0,25 0,2 6 d. 5 7 13 . 3 2 2 2 1 1 0,875 0.7 7 5 7 13 6 1 1 1 1 1 1 6 = 3 7 13 . 3 4 5 1 1 1 7 7 7 2.( ) 7 3 7 13 6 8 10 1 1 1 2.( 1 6 8 10) 6 = . 1 1 1 2 7.( ) 7 6 8 10 1 2 6 1 6 = . 1 2 7 7 7 7 * Sai lầm thường gặp của học sinh là: Ở câu a còn một và em không biết tách số 113 = 113.1; câu b, c không biết chọn thừa số thích hợp nhân để xuất hiện thừa số chung; câu d quy đồng phân số rối tính. *Cách khắc phục: Không cho dùng máy tính, gợi ý cách làm, áp dụng giải hệ thống bài tập tương tự có nâng cao dần và kiểm tra từng em đặc biệt là một số em chưa thành thạo. • Ví dụ 3: Cho biểu thức: M = x3 + x2y - xy2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + 3 Tính giá trị của M biết : x + y +1 = 0 * Nhận dạng: Đây là bài toán tính giá trị biểu thức và học sinh lớp 6;7 chỉ giải được khi nắm vững tính chất phép toán. Giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi để xuất hiện tổng x + y + 1 như cách giải 1 hoặc xuất hiện x + y như cách giải 2 6 * Lời giải sơ lược: Cách 1: M = x3 + x2y - xy2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + 3 M =( x3 + x2y + x2) - (xy2 + y3 + y2) + (2x + 2y + 2) +1 M = x2.( x + y + 1) - y2.( x + y + 1) + 2.(x + y + 1) +1 M = x2 . 0 - y2. 0 + 2.0 +1 M = 1 Cách 2: M = x3 + x2y - xy2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + 3 M =( x3 + x2y) - (xy2 + y3) + x2 - y2 + (2x + 2y) + 3 M = x2.( x + y) - y2. ( x + y) + x2 - y2 + 2.( x + y) +3 Vì x + y +1 = 0 suy ra: x + y = -1. Do đó M = x2 .(-1) - y2 . (-1) + x2 - y2 + 2. (-1) + 3 M = - x2 + y2 + x2 - y2 - 2 + 3 M = 1 • Ví dụ 4: Tìm x thuộc Q biết: x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 a. 10 11 12 13 14 x 5 x 4 x 3 x 2 b. 2010 2011 2012 2013 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 2064 c. 0 2014 2013 2012 2011 2010 9 * Lời giải sơ lược: x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 a. 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 (x+5). ( ) 0 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vì , nên: 0 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 Suy ra: x+5 = 0 x = -5 7 b. Yêu cầu học sinh nhận xét về tử số và mẫu số của các phân số sau đó biến đổi và đưa về dạng câu a. x 5 x 4 x 3 x 2 2010 2011 2012 2013 x 5 x 4 x 3 x 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2010 2011 2012 2013 x 2015 x 2015 x 2015 2015 2010 2011 2012 2013 x 2015 x 2015 x 2015 x 2015 0 2010 2011 2012 2013 1 1 1 1 (x 2015).( ) = 0 2010 2011 2012 2013 Tương tự câu a, suy ra x = - 2015 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 2064 c. 0 2014 2013 2012 2011 2010 9 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 2064 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 5) = 0 2014 2013 2012 2011 2010 9 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 = 0 2014 2013 2012 2011 2010 9 Tương tự câu a học sinh tìm được x = - 2019 *Sai lầm thường gặp của học sinh là: Học sinh nhận xét luôn tử số bằng 0 thỏa mãn ở câu a mà không biến đổi dẫn đến không làm được câu b và c *Dạng 2: So sánh: • Ví dụ 5: So sánh: A = 1995 . 1995 v à B = 1991 . 1999 Để làm bài tập này đa phần các em thực hiện phép nhân thông thường rồi so sánh A với B rồi kết luận mà có rất ít em nghĩ đến việc áp dụng tính chất phân phối để tính cho nhanh. Khi giáo viên hướng dẫn tách 1995 = 1991 + 4 v à 1999 = 1995 + 4 hoặc tách 1995 = 1999 – 4 v à 1991 = 1995 – 4 thì học sinh thấy thích thú • Lời giải sơ lược: Cách 1: Ta c ó A = 1995 . ( 1991 + 4) = 1995.1991 + 4.1995 B = 1991 . (1995 + 4) = 1991.1995 + 4 .1991 8 V ì 1995 > 1991 n ên 4.1995 > 4.1991 Suy ra A > B Cách 2: Ta c ó A = 1995 . ( 1999 – 4) = 1995.1999 – 1995 . 4 B = ( 1995 – 4) . 1999 = 1995 . 1999 - 1999.4 V ì 1995 < 1999 n ên 1995.4 < 1999.4 Suy ra A > B • Ví dụ 6: So sánh : A = 74 . 147 – 73 v à B = 73 . 147 + 74 Thực ra đây là bài tập cùng dạng với ví dụ 5 nên học sinh làm được dễ dàng Lời giải sơ lược : A = ( 73 + 1).147 – 73 A = 73 .147 + 147 – 73 A = 73 . 147 - 74 = B • Ví dụ 7: 8 7 6 5 2 Cho P(x) = x - 2011x + 2011x - 2011x + + 2011x - 2011x + 4022 So sánh P(2010) với 2011( Không dùng máy tính, trình bày cách tính cụ thể) * Lời giải sơ lược: 8 7 6 5 2 P(x) = x - 2011x + 2011x - 2011x + + 2011x - 2011x + 4022 8 7 6 5 P(x) = x - (2010+ 1)x + (2010 + 1)x - (2010 + 1)x + + (2010 + 1)x2 - (2010 + 1)x + 4022 8 8 7 7 6 6 5 P( 2010) = 2010 - 2010 - 2010 + 2010 + 2010 - 2010 - 2010 + . . . + 20103 + 20102 - 20102 - 2010 +4022 P( 2010) = 2012 > 2011 * Sai lầm thường gặp của học sinh là: Đọc không kỹ đề bài dẫn đến không biết phân tích để vận dụng tính chất Phân tích được nhưng khi thực hiện phép nhân và bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước thường sai dấu. Khi nhân một số với một tổng chỉ nhân A với B mà không nhân A với C: A.(B+C) = A.B + C 9 • Cách khắc phục: Gợi ý: Cho học sinh nhận xét: 2011 = 2010 + 1 sau đó thay vào biểu thức và vận dụng phép toán. Đặc biệt chú trọng đến dấu của phép toán và cách thực hiện phép toán 3 3 3 3 • Ví dụ 8: Cho E = ... 1.3 3.5 5.7 99.101 So sánh E với 1 Khi gặp bài toán này học sinh thường lúng túng và đi tìm cách quy đồng mẫu ở A nên rất khó khăn hoặc có em đã gặp dạng thì lại không chú ý đến khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu. Do đó giáo viên gỡ rối cho các em bằng cách phân tích để tìm lời giải ngắn gọn * Lời giải sơ lược: 2 1 2 1 1 Ta có : 1 ; 1.3 3 3.5 3 5 3 2 2 2 2 E = .( ... ) 2 1.3 3.5 5.7 99.101 3 1 1 1 1 1 1 1 E = .(1 ... ) 2 3 3 5 5 7 99 100 3 99 E = . 2 100 E = 297 > 1 200 Dạng 3: Các bài toán lũy thừa: *Phương Pháp giải: Vận dụng các công thức về lũy thừa biến đổi làm xuất hiện thừa số chung để vận dụng tính chất phân phối. • Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a, S = 5 + 52 + 53 + .. + 599 + 5100 chia hết cho 6 b, ( 165 + 215 ) chia hết cho 33 c, 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10 ( với n N* ) * Lời giải sơ lược: a, S = 5 ( 1 + 5 ) + 53( 1 + 5 ) + + 599( 1 + 5 ) S = 6 ( 5 + 53 + + 599 )  6 10