Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác góp phần bồi dưỡng học sinh khá - giỏi lớp 5

IAN Vậy S ABC = 6 ´ 4 = 24 (cm2) Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = AC. Nối MN cắt BA kéo dài tại K. a/ Tính S ABC biết S AKN = 50 cm2 b/ So sánh KN và KM. A B M C N K Giải: Ta có hình vẽ bên a/ Ta có: S NBM = S NMC (1) (chung đường cao hạ từ N và BM = MC). S KBM = S KMC (1) (chung đường cao hạ từ K và BM = MC). Mà S KBM = S KNB + S NBM S KMC = S KNC + S NMC Ta suy ra S KNB + S NBM = S KNC + S NMC Nên theo (1) ta có: S KNB = S KNC. Mà S KAN = S KNC (chung đường cao hạ từ A và AN = NC). Hay S KNC = 3S KAN = 3 ´ 5 = 150(cm2) S ANB = S KNB - S AKN = 150 - 50 = 100(cm2) Mà S BAN = S BAC (chung đường cao hạ từ B và AN = AC). S ABC = 4S BAN. Vậy S ABC = 4 ´ 100 = 400(cm2) b/ Theo a/ ta có: S NBC = S ABC - S ANB = 400 - 100 = 300(cm2). Suy ra: S NMC = 300 : 2 = 150(cm2) (1). Mà S KNC = 3S KNA = 3 ´ 50 = 150(cm2) (2). Từ (1) và (2) suy ra: S CNK = S CMN (3). 2D CNK và CMN lại có chung đường cao hạ từ C nên theo (3) ta có: KN = NM. Hay KN = KM Vậy KN = KM Bài tập 9: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm K sao cho KB = KC. Trên AK lấy điểm H sao cho HA = HK. Nối BH kéo dài cắt AC tại Q. Nối H với C. a/ Tính S ABC . Biết S BHK = 100cm2 A B K C H E Q I b/ Hãy so sánh AQ với QC. c/ Hãy so sánh S AHQ với S ABC ? Giải: Ta có hình vẽ bên a/ Ta thấy S BHK = S BAK (chung đường cao hạ từ B và HK = AK (gt)). Mà S ABK = S ABC (chung đường cao hạ từ A và BK = BC). Suy ra: S BHK = S ABC ; Hay S ABC = 4 S BHK. Vậy S ABC = 4 ´ 100 = 400(cm2) b/ Từ A kẻ dường cao AI của DABQ ; Từ C kẻ dường cao CE của DCBE Xét 2 tam giác: BHA và BHC: Ta thấy: S BHA = S BHK S HBK = S HKC suy ra S AHB = S CHB (1) Mà DAHB và CHB có chung đáy HB nên từ (1) ta có: AI = CE. Mặt khác AI và CE lần lượt là 2 đường cao của 2D AHQ và CHQ nên suy ra: SAHQ = SCHQ (chung HQ) (2) Mà DHAQ và DHQC lại có lại có chung đường cao hạ từ H nên từ (2) ta có AQ = QC. c/ Ta có SAHQ = SCHQ (theo b/) Hay SHAQ = SHAC (3) Mà SCHA = SCKA SAKC = SABC suy ra SCHA = SABC nên từ (3) ta có SAHQ = SABC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. M là một điểm nằm trên BC sao cho AM = AC. Tính SABC. Biết SAMB = 2cm2. A B C M Giải: Ta có hình vẽ bên Ta có: SBAM = SBAC (chung đường cao hạ từ B và AM = AC). Suy ra: SABC = 3SAMB = 3 ´ 2 = 6(cm2.) Từ ví dụ 2 ta phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới ta sẽ được các bài tập sau: Bài tập 1: Cho tam giác ABC và BC = 3cm. Trên AC lấy M sao cho AM = AC. Tính đường cao AH của DABC. Biết SAMB là 2cm2. A B C M H Giải: Ta có hình vẽ bên Ta có: SABC = 3SAMB (theo ví dụ 2). áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác SABC = ; mà BC = 3cm (gt). ị AH =. Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm F sao cho BF = BC. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = AB. Nối A với F và C với E cắt nhau tại H. Biết SAEH = 3cm2. Tính: a/ SACH b/ SABC ? A B C K H E F I Giải: Ta có hình vẽ bên Từ B kẻ đường cao BI của DBAF. Từ C kẻ đường cao CK của DCAF. a/ Ta có: SBHF = SCHF (chung đường cao hạ từ H và BF = CF). (1). Mặt khác 2D BHF và CHF có chung HF nên từ (1) ta có: BI = CK. Lại có BI và CK lần lượt là đường cao của các tam giác BAH và CAH (2) Mà BAH và CAH chung đáy nên từ (2) ta có: SBAH = SCAH. Hay SCAH = 2SBAH. Mặt khác, SHAB = 3SHAE (chung đường cao hạ từ H và AB = 3AE (gt)). Suy ra: SHAB = 3 ´ 3 = 9(cm2) Vậy: SAHC = 2 ´ 9 = 18(cm2) b/ Ta có: SCAE = SCHA + SEAH = 18 + 3 = 21(cm2). Mà SCAE = SCAB (chung đường cao hạ từ C và AE = AB). Suy ra: SABC = 3SCAE = 3 ´ 21 = 63(cm2) Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên BC lấy điểm N sao cho BN = BC. Nối AN và BN cắt nhau tại E. a/ Chứng tỏ rằng SAEM = SBEN b/ Kẻ đường cao MK của DMEC và đường cao NH của DNEC. Chứng tỏ rằng NH = MK. A B C K H N E M Giải: Ta có hình vẽ bên a/ Xét 2D ABM và ABN. Ta có: SBAM = SBAC (chung đường cao hạ từ B và AM = AC). SABN = SABC (chung đường cao hạ từ A và BN = BC). Từ đó suy ra: SABM = SABN. Cùng bớt SABE ta có: SAEM = SBEN (đ.p.c.m). b/ Theo a/ ta có: SAEM = SBEN. Mà SEAM = SEMC (chung đường cao hạ từ E và AM = MC). SEBN = SBNC (chung đường cao hạ từ E và BN = NC). Suy ra SMEC = SNEC. (1) Mặt khác 2 tam giác MEC và NEC có chung đáy EC nên từ (1) ta có: NH = MK (đ.p.c.m). Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm H sao cho AH = AC. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = BC. Nối AM và BH cắt nhau tại O. Từ C kẻ đường cao CE của tam giác COM, CF là đường cao của tam giác COH. A B C O H F E M Tính CE và CF biết và CE + CF = 14cm. Giải: Ta có hình vẽ bên Theo bài tập 3 ta có: SCHO = SCMO Mà theo bài ra . Khi diện tích không đổi thì đường cao và đáy là 2 đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau thành ra: . Mà CE + CF = 14cm (gt). Nên áp dụng bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của chúng ta có: CE = 14 : (4 + 3) ´ 4 = 8(cm) CF = 14 - 8 = 6(cm) Vậy CE = 8cm. CF = 6cm. Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm P sao cho AP = AC. Trên BC lấy điểm N sao cho NB = NC. Nối BP và AN cắt nhau tại O. Tính SABC. Biết SAOP là a. A B C O D N E M Giải: Ta có hình vẽ bên Kẻ đường cao BD của tam giác BAN và đường cao CE của tam giác CAN. Ta có: SABN = SACN (chung đường cao hạ từ A và BN = NC(gt)). (1) Hai DBAN và CAN có chung đáyAN nên từ (1) ta có: BD = CE. (2). Xét hai tam giác ABO và ACO ta có: AO chung. BD và CE lần lượt là hai đường cao của tam giác BOA và COA (3) Từ (2) và (3) suy ra SBOA = SCOA. Mà SOAC = 3SOAP (chung đường cao hạ từ O và CA = 3AP). Nên SOAC = 3 ´ a và SOBA = 3a. Lại có SABP = SABO + SAOP = 3a + a = 4a. Mà SBAP = SBAC (chung đường cao hạ từ B và AP = AC). Vậy SABC = 3SABP = 3 ´ 4a = 12a. Bài tập 6: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AP = AB. Trên AC lấy điểm E sao cho EC = AC. Nối AN, BE và CM cắt nhau lần lượt tại các điểm K, F, H (hình vẽ). a/ Chứng tỏ rằng SMAH = SNBC = SECF. b/ Biết SAMH = 3cm2. Tính SHKF ? B M A H E F C N K Giải: a/ Ta có: S HAM = SHAB (chung đường cao hạ từ H và AM = AB). Ta có: S ABN = S ANC (chung đường cao hạ từ A và BN = NC). 2D ABN và ACN có chung đáy AN nên đường cao hạ từ B xuống AN bằng đường cao hạ từ C xuống AN. Lại có SBAH = SCAH (chung đáy AH và đường cao hạ từ B xuống AH bằng đường cao hạ từ C xuống AH). Suy ra SCHA = 2SBHA = 2 ´ 3SAMH = 6SAMH. Suy ra SCMA = 7SAMH Mặt khác SCMA = SCAB (chung đường cao hạ từ C và AM = AB). Nên SABC = 3SAMC = 3 ´ 7SAMH = 21SAMH Tức SAMH = SABC (1) Lý luận tương tự ta có: SBNK = SABC (2) SCEF = SABC (3) Từ (1) (2) và (3) suy ra: SMAH = SNBK = SECF (đ.p.c.m) b/ Theo a/ thì SMAC = 7SMAH = 7 ´ 3 = 21(cm2) Suy ra SABC = 21 ´ 3 = 63(cm2) Mà SHKF = SABC - (SABK + SBCF + SCAH) SAHC = 6SAMH (theo a/) Nên SHKF = 63 - (3 ´ 6 + 3 ´ 6 +3 ´ 6 ) = 9(cm2) Bài tập 7: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho AM = AC. Nối AN, BM cắt nhau tại O. a/ Chứng tỏ rằng SAOC = SBOC b/ Kẻ đường cao OH của DAOM và đường cao OK của DBON. Tính AC và BC biết AC - BC = 3. Biết OK = 4; OH = 3. A B C O H N M K Giải: Ta có hình vẽ bên a/ Theo bài tập 3 ta có: SBON = SAOM ; SONC = SOMC Mà SAOC = SAOM + SOMC SBOC = SBOM + SONC Nên suy ra: SAOC = SBOC b/ Theo kết quả câu a/ thì SAOC = SBOC Theo bài ra OK = 4 và OH = 3 nên tỷ số giữa hai đường cao OH và OK là . Mà hai tam giác có diện tích bằng nhau thì đáy và chiều cao là hai đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau nên: ; AC - BC = 3 nên dựa vào dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó ta có: AC = 3 ´ 4 = 12 BC = 3 ´ 3 = 9 Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên phần kéo dài BA (về phía A) lấy điểm D sao cho AD = AB. Nối D với M kéo dài cắt BC tại E. a/ Tính SABC biết SADM = 60cm2 b/ Chứng tỏ EB = EC. A D B E C M Giải: Ta có hình vẽ bên a/ Ta có: SMDA = SMAB (chung đường cao hạ từ M và DA = AB (gt)) Mà SBAM = SBAC (chung đường cao hạ từ B và AM = AC (gt)) Suy ra SABC = 3SADM = 3 ´ 60 = 180(cm2) b/ Ta có: SDAM = SDMC (1) (chung đường cao hạ từ D và AM = MC) SMAD = SMAB (theo a/) (2) Mà SMDA + SMAB = SBDM (3) Từ (1); (2) và (3)và suy ra SBDM = S CDM (4) Mặt khác 2D BDM và CDM có chung đáy DM nên từ (4) ta có đường cao hạ từ B của DBDM và đường cao hạ từ C của DCDM phải bằng nhau. Hai đường cao này đồng thời cũng là hai đường cao của 2D BME và CME (5). Mà BME và CME có chung ME nên từ (5) ta có SDBME = SDCME (6) Lại có DBME và DCME có chung đường cao hạ từ M nên theo (6) thì 2 cạnh đáy BE = CE (đ.p.c.m) Bài tập 9: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho AM = AC. Nối BM, trên BM lấy điểm E sao cho BE = BM. Nối EC, trên EC lấy điểm F sao cho FC = EC. Tính SEFM. Biết SABC là a? B A C M E F Giải: Ta có hình vẽ bên. Ta có: SBMC = SBAC (chung đường cao hạ từ B và MC = AC) suy ra SBMC = a Mà SCME = SCMB (chung đường cao hạ từ C và ME = MB) Hay SCME = Lại có SMEF = SMEC (chung đường cao hạ từ M và EF = EC) Vậy SMEF = Như vậy, từ một bài toán hình học đơn giản ở trong sách giáo khoa chúng ta cố gắng khám khá, tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và thêm một số yếu tố thì ta có thể phát triển thành một chuỗi bài tập đi từ đơn giản đến phức tạp. Với phương pháp dạy học này làm cho học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòi để phát triển năng lực trí tuệ. III - Kết luận Qua đề tài này tôi hy vọng rằng nó sẽ là cơ sở, là động lực giúp cho bản thân có thêm hiểu biết mới. Đồng thời góp phần giúp cho đồng nghiệp cũng như học sinh khá, giỏi lớp 5 có thêm tự tin khi gặp các bài tập liên quan đến diện tích hình tam giác. Tuy nhiên, trên đây chỉ là một ý tưởng nhỏ bé của bản thân. Trong quá trình thực hiện mặc dù tôi đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn là không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp cũng như hội đồng chuyên môn giúp tôi hoàn thành tốt hơn đề tài: "Khai thác và phát triển một số bài toán cơ bản từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác góp phần bồi dưỡng học sinh khá - giỏi lớp 5". Tôi xin chân thành cảm ơn!