Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác

oạn AK ta phải tính được BK . KK AK OK CK MK BK Theo bài ra SABC = SKBM = 36 cm2 nên để tính được BK ta cần so sánh SKBM với SABM dựa vào mối quan hệ giữa SABM và SABC Giải Nối M với A ta có : SABM = SABC (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM = BC) Mà SABC = SKBM = 36 cm2 nên SABM = SKBM Hai tam giác KBM và ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy AB = BK Đoạn BK dài là : 9 : = 12 (cm) Đạon AK dài là : 12 - 9 = 3 (cm) Theo bài ra : SABC = SKBM Hai tam giác này có chung hình tứ giác ABMO nên phần diện tích còn lại của chúng cũng bằng nhau. Vậy SOAK = SOCM Đáp số : a. 3 cm b. SOAK = SOCM Bài toán 9 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC và trên cạnh CA lấy điểm NC = NA. Đường thẳng MN cắt cạnh AB kéo dài tại điểm K . Đường thẳng MN cắt tam giác ABC thành 2 phần . Tính diện tích các phần đó nếu biết diện tích tam giác ABC bằng 36 cm2 C N A B K M So sánh đoạn KA và KB . Nhận xét : Đường thẳng MN chia tam giác ABC thành 2 phần đó là tam giác MNC và tứ giác ABMN . Để tính diện tích 2 phần đó trước hết ta cần tìm diện tích tam giác MNC. Tam giác MNC chưa biết số đo cạnh đáy và chiều cao nên muốn tính diện tích của nó ta phải tìm mối quan hệ của tam giác MNC với tam giác có liên quan. Cụ thể : - So sánh SMNC với SAMC - So sánh SAMC với SABC Từ đó rút ra kết luận. Giải Nối A với M ta có : SACM = SABC (1) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy CM = CB) SMNC = SACM (2) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy CN = CA) Từ (1) và (2) ta có : SMNC = S ABC Diện tích tam giác MNC là : 36 ´ = 6 (cm2) Diện tích tứ giác ABMN là : 36 - 6 = 30 (cm2) b. SKNC = SKNA (3) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy NC = NA) SMNC = SMNA (4) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy NC = NA) Từ (3) và (4) ta có : SKMC = SKMA (5) Mặt khác : SKMC = 2 ´ SKMB (6) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy MB = MC) Từ (5) và (6) ta có : SKMA = 2 ´ SKMB Hay SKMB = SKMA Hai tam giác KMB và KMA lại chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy KB = KA. Đáp số : a. 6 cm2 và 30 cm2 b. KB = KA. P C N M B A Bài toán 10 : Cho tam giác ABC có AB = 1,5 cm . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC . Đường thẳng MN và đường thẳng AB cắt nhau tại P. Tính đoạn thẳng AP. So sánh độ dài đoạn thẳng MP và MN. Nhận xét : Muốn tính AP ta phải so sánh SANP với SABN . Muốn so sánh diện tích 2 tam giác trên ta cần so sánh chúng với các tam giác trung gian. Vậy những tam giác nào đóng vai trò là tam giác trung gian? Giải a. sPBM = 3 ´ SPMC (1) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy BM = 3 MC) SNBM = 3 ´ SNMC (2) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = 3 MC) Từ (1) và (2) ta có : sPBM = 3 ´ SPNC Mặt khác SPAN = 2 ´ SPNC (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = 2 NC) Vậy nếu gọi SPNC là 1 phần thì SPAN là 2 phần và SPBN là 3 phần Diện tích tam giác ABN là : 3 - 2 = 1 (phần) Hay SPAN = 2 ´ SABN Hai tam giác PAN và ABN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh N nên đáy AP = 2 ´ AB ĐOạn AP dài là : 1,5 ´ 2 = 3 (cm) b. SPAN = 2 ´ SABC (3) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PA = 2 AB) SPAN = 2 ´ SABN (4) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy PA = 2 AB) Từ (3) và (4) ta có : SPNC = 2 ´ SBNC (5) Mặt khác : SBNC = 4 ´ SMNC (6) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BC = 4 MC) Từ (5) và (6) ta có : SPNC = 8 ´ SMNC (5) Hai tam giác PNC và MNC có chung chiều cao hạ từ đỉnh c nên đáy PN = 8 ´ MN hay MP = 9 ´ MN. Đáp số : a. 3 cm b. MP = 9 ´ MN Bài toán 11 : Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là điểm chính giữa các cạnh AB, AC. Hãy so sánh diện tích tam giác AEC với diện tích tam giác ABC. M là 2 điểm bất kỳ trên BC . Đoạn AM cắt đoạn thẳng DE tậi I . Hãy so sánh AI và IM. M C A B D E K I H Nhận xét : - So sánh diện tích 2 tam giácADE và ABC ta cần so sánh qua 1 tam giác trung gian là tam giác ABE . - So sánh AI và IM thì ta xem AI và IM là đáy của 2 tam giác nào đó. Sau đó dựa vào các giả thiết để so sánh 2 tam giác đó . Giải Nối B với E ta có : SADE = SABE (1) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD = AB) SABE = SABC (2) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE = AB) Từ (1) và (2) ta có : SADE = SABC Nối B với I , C với I SADM = SABM (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD = AB) SAEM = SACM (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE = AC) SADM + SAEM = (SABM + SACM) Hay SADME = SABC Theo câu a) thì SADE = SABC Nên SDME = SABC Hay SADE = SDME Hai tam giác ADE và DME có chung đáy DE nên chiều cao AH = MK SADI = SDIM (vì chung đáy DI, chiều cao AH = MK) Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI = IM. Đáp số : a. SADE = SABC b. AI = IM Bài toán 12 : Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AD = AB. E là một điểm nằm trên cạnh AC sao cho AE = AC . Một đường thẳng đi qua A cắt đoạn thẳng DE tại I và cắt cạnh BC tại M . M C H E I K D A B So sánh diện tích các tam giác ADE và ABC. SO sánh các đoạn thẳng AI và AM. Nhận xét : Tương tự bài 11 Giải a. SADE = SABE (1) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD = AB) SABE = SABC (2) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE= AC) Từ (1) và (2) ta có : SADE = SABC b. SADM = SABM (3) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD= AB) SAEM = SAMC (4) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE= AC) Từ (3) và (4) ta có : SADM + SAEM = (SABM + SAMC) Hay SADME = SABC Theo câu a) thì SADE = SABC Nên SADE = SADME Hay SADE = SDME Hai tam giác ADE và DME có chung đáy DE nên chiều cao AK = MH Ta lại có : SADI = SDIM (vì chung đáy DI, chiều cao AK = MH) Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI = IM hay AI = AM. Đáp số : a. SADE = SABC b. AI = AM. Bài toán 13 : Cho hình thang ACBD có đáy là AB và CD. AC và BD cắt nhau tại O. M là điểm chính giữa cạnh đáy AB. Đường thẳng OM cắt cạnh đáy CD tại N. So sánh đoạn CN với ND. Nhận xét : CN và ND là cạnh đáy của 2 tam giác ODN và ONC. M B A K C D H 0 N Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên để so sánh CN bà ND thì ta phải so sánh diện tích của 2 tam giác đó. Mặt khác 2 tam giác này lại có chung đáy ON nên để so sánh diện tích ta cần so sánh chiều cao DH và CK . Hai chiều cao DH và CK ta so sánh được dựa vào các tam giác có liên quan. Giải SBMD = SAMC (1) (vì đáy AM = BM, chiều cao hạ từ đỉnh D và C là chiều cao của hình thang ABCD) SAOM = SBOM (2) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh O, đáy AM = BM) Từ (1) và (2) ta có : SDOM =SCOM Hai tam giác DOM và COM có chung đáy OM nên chiều cao DH = CK Ta lại có : SODN =SONC (vì chung đáy ON, chiều cao DH = CK) Hai tam giác ODN và ONC lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên đáy CN = ND Bài toán 14 : Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. So sánh các đoạn thẳng OB và OD, OA và OC K B C H A 0 D Tính diện tích các tam giác OAD và DCO, nếu biết diện tích hình thang ABCD bằng 32 cm2 Giải a. SADC = 3 ´ SABC (vì DC = 3 ´ AB, chiều cao hạ từ đỉnh A và C là chiều cao hình thang ABCD) Hai tam giác ADC và ABC có chung đáy AC nên chiều cao DH = 3 ´ BK SAOD = 3 ´ SAOB (vì chung đáy OA, chiều cao DH = 3 ´ BK) Hai tam giác AOD và AOB có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy OD = 3 ´ OB Hoàn toàn tương tự ta có OC = 3 ´ OA b. SACD = SBCD (vì chung đáy CD, chiều cao hạ từ đỉnh A và B là chiều cao của hình thang ABCD) Hai tam giác ACD và BCD có chung hình OCD nên ta có SAOD = SBOC Nếu coi SAOB là một phần thì SAOD và SBOC đều là 3 phần. Hai tam giác AOD và DOC có chung chiều cao DH, OC = 3OA nên SDOC = SAOD ´ 3 = 3 ´ 3 = 9 (phần) Như vậy SABCD = 1 + 3 + 3 + 9 = 16 (phần) Diện tích tam giác AOD là : 32 : 16 ´ 3 = 6 (cm2) Diện tích tam giác OCD là : 32 : 16 ´ 9 = 18 (cm2) Đáp số : a. OD = 3 ´ OB OC = 3 ´ OA b. 6 cm2 18 cm2 Bài toán 15 : Cho hình thang ABCD có đáy bé AB = 14 cm , đáy lớn CD = 26 cm. Trên Bc lấy điểm chính giữa N. Nối MN. Chứng tỏ MN song song với AB và CD D C A B N M E H K F Tính diện tích hình thang ABCD biết diện tích tam giác NCD bằng 78cm2. Nhận xét : Muốn chứng tỏ MN song song với CD và AB t a phải chứng tỏ chiều cao hạ từ đỉnh M và đỉnh N xuống đáy CD (hoặc AB) bằng nhau. Giải Nối A với C , M với C Ta có : SMCD = SACD (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy MD = AD) Hai tam giác MCD và ACD có chung đáy CD nên chiều cao ME = AH Nối D với E , D với N Ta có : SNCD = SBCD (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy NC = BC) Hai tam giác NCD và BCD có chung đáy CD nên chiều cao NF = BK Mặt khác BK = AH nên NF = ME hay MN song song CD và AB . b. Chiều cao NF là : 78 ´ 2 : 26 = 6 (cm) Chiều cao của hình thang ABCD là ; 6 ´ 2 = 12 (cm) Diện tích hình thang ABCD là (14 + 26) ´ 12 : 2 = 240 (cm2) Đáp số : a. MN song song với AB và CD. b. 240 cm2 III. Kết quả : Sau khi hướng dẫn học sinh giải theo hệ thống bài tập trên, tôi nhận thấy khả năng giải các bài tập của học sinh được nâng lên rõ rệt. Học sinh phát hiện vấn đè rất nhanh, biết chủ động vận dụng linh hoạt những kiến thức, kỹ năng đã học vào giải bài toán . C. kết luận Các bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác rất đa dạng và phong phú . Khi dạy phần này , tôi nhận thấy : - Để học tốt , học sinh nhất thiết phải nắm chắc công thức cơ bản về tính diện tích hình tam giác mà sách giáo khoa cung cấp. - Học sinh cần rèn luyện kỹ năng vẽ hình đặc biệt là kỹ năng nhận dạng hình . - Học sinh cần nắm chắc các bài toán trung gian từ đó vận dụng linh hoạt , sáng tạo và giải các bài toán tổng hợp. Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Chắc rằng kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót , rất mong sự góp ý của Hội đồng khoa học các cấp. Xin chân thành cảm ơn ! Hà Tĩnh , Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Sở giáo dục đào tạo hà tĩnh Phòng giáo dục đức thọ Bản thành tích cá nhân Họ tên: Phạm Thị Phương Lê Đơn vị: Trường tiểu học Thị Trấn Năm học 2004 - 2005