Phương trình hệ phương trình

c hiện đại. (Evariste Galois (1811-1832) Cả A-ben lẫn Ga-loa đều bộc lộ tài năng về toỏn ngay từ lỳc cũn ngồi trờn ghế nhà trường, cả hai cựng quan tõm đến việc giải cỏc phương trỡnh đại số cú bậc lớn hơn hai. Tuy khụng hề biết đến việc làm của nhau, cả hai cựng gửi cụng trỡnh của mỡnh đến Viện hàn lõm khoa hoc Phỏp, và. . . cựng gặp rủi ro: Cụng trỡnh của A-ben bị cất vào tủ lưu trữ, mói lỳc anh đó chết mới cú người vụ tỡnh đọc và in ra, cũn Ga-loa ba lần kiờn nhẫn gửi tới mói đến lần thứ ba mới được nhận trả lại cụng trỡnh của mỡnh với lời phờ “Khụng thể hiểu được!”. A-ben chết õm thầm trong nghốo tỳng, nhưng để lại tờn tuổi trong cỏc “phương trỡnh A-ben” và “nhúm A-ben” của lớ thuyết nhúm. Cũn Ga-loa chết trong cuộc quyết đấu vỡ danh dự với bọn khiờu khớch, để lại 60 trang thư anh viết trong đờm cuối cựng, trong đú trỡnh bày ngắn gọn mọi kết quả quan trọng nhất anh đó tỡm ra khi nghiờn cứu phương trỡnh. Lỏ thư dài này được viết bằng nột chữ vụ cựng hối hả, xen giữa nhưng cụng thức toỏn là những cõu “Tụi vội quỏ”. “Chỉ cũn mấy tiếng 378 đồng hồ nữa thụi”, “Tụi khụng kịp”. . . Vậy mà 60 trang thư đú đó mở ra cho cỏc nhà toỏn hoc thế giới vụ số hướng đi, và để lại một lớ thuyết về phương trỡnh đại số một ẩn số mang tờn lớ thuyết Ga-loa. Bạn hóy nhỡn lại năm sinh và năm mất của A-ben và Ga-loa: hai gương mặt thiờn tài đú luụn đứng cạnh cỏnh cửa mở vào lõu đài toỏn học hiện đại, mói mói trẻ trung. Sống hay chết Vào năm 1927, Erwin Schroădinger đó viết ra một phương trỡnh cho những súng lượng tử. Nú phự hợp với những thớ nghiệm một cỏch tuyệt vời đồng thời vẽ nờn một bức tranh của một thế giới rất khỏc lạ, trong đú những hạt sơ cấp như electron khụng phải là vật thể rừ ràng, mà là những đỏm mõy xỏc suất. Spin của electron giống như một đồng tiền cú thể nửa sấp nửa ngữa cho đến khi nú rơi xuống bàn. Khụng lõu sau đú, cỏc nhà lớ thuyết lại lo lắng khụng yờn trước mọi tớnh chất lạ lượng tử, vớ dụ những con mốo vừa sống vừa chết, và những vũ trụ song song trong đú Adolf Hitler là kẻ chiến thắng cuộc chiến tranh thế giới lần thứ hai. Cơ học lượng tử khụng bị ràng buộc với những bớ ẩn triết lớ như vậy. Hầu như mọi vật dụng hiện đại – mỏy vi tớnh, điện thoại di động, mỏy chơi game, xe hơi, tủ lạnh, lũ vi súng – đều chứa những con chip nhớ gốc transistor, dụng cụ cú sự hoạt động dựa trờn cơ học lượng tử của chất bỏn dẫn. Những cụng dụng mới cho cơ học lượng tử xuất hiện gần như hàng tuần. Cỏc chấm lượng tử - những miếng nhỏ xớu của một chất bỏn dẫn – cú thể phỏt ra ỏnh sỏng thuộc mọi màu sắc và được sử dụng để ghi ảnh sinh học, trong đú chỳng thay thế cho những chất nhuộm truyền thống, thường là độc hại. Cỏc kĩ sư và nhà vật lớ đang cố gắng phỏt minh ra mỏy vi tớnh lượng tử, một dụng cụ cú thể thực hiện song song nhiều phộp tớnh khỏc nhau, giống hệt như con mốo vừa sống vừa chết. Laser là một ứng dụng nữa của cơ học lượng tử. Chỳng ta sử dụng chỳng để đọc thụng tin từ những lỗ nhỏ li ti trờn đĩa CD, DVD và đĩa Blu-ray. Cỏc nhà thiờn văn sử dụng laser để đo khoảng cỏch từ Trỏi đất đến mặt trăng. Thậm chớ cú thể phúng những tờn lửa vũ trụ lờn từ Trỏi đất với sức đẩy là một chựm laser mạnh. Chương cuối trong cõu chuyện này cú xuất xứ từ một phương trỡnh giỳp chỳng ta hiểu ý nghĩa của súng. Nú bắt đầu vào năm 1807, khi Joseph Fourier nghĩ ra một phương trỡnh cho dũng nhiệt. ễng đó gửi một bài bỏo về núi về nú đến Viện hàn lõm Khoa học Phỏp nhưng bị từ chối. Vào năm 1812, viện hàn lõm Phỏp đưa vấn đề nhiệt thành đề tài của giải thưởng hàng năm của viện. Fourier lại gửi một bài bỏo dài hơn, cú hiệu chỉnh – và đó giật giải. Cỏi hấp dẫn nhất của bài bỏo giành giải thưởng của Fourier khụng phải là phương trỡnh, mà là cỏch ụng giải nú. Một bài toỏn điển hỡnh là tỡm xem nhiệt độ dọc theo một thanh mỏng thay đổi như thế nào theo thời gian, cho biết trước đặc điểm nhiệt độ ban đầu. Fourier cú thể giải phương trỡnh này một cỏch nhẹ nhàng nếu như nhiệt độ biến thiờn như một súng hỡnh sin dọc theo chiều dài thanh. Vỡ thế, ụng biểu diễn một đặc trưng phức tạp hơn là sự kết hợp của những đường hỡnh sin với bước súng khỏc nhau, giải phương trỡnh cho mỗi đường cong hỡnh sin thành phần, và cộng tất cả những nghiệm này lại với nhau. Fourier khẳng định phương phỏp này đỳng cho mọi đặc trưng nhiệt độ bất kỡ, thậm chớ đỳng cả với trường hợp trong đú nhiệt 379 độ cú giỏ trị nhảy cúc. Tất cả những gỡ phải làm là cộng gộp một số vụ hạn những đúng gúp từ những đường cong hỡnh sin với tần số lớn dần. Joseph Fourier (1768-1830) Dẫu vậy, bài bỏo mới của Fourier đó bị chỉ trớch là khụng đủ chặt chẽ, và một lần nữa viện hàn lõm Phỏp từ chối đăng tải. Vào năm 1822, Fourier phớt lờ mọi phản đối và cho cụng bố lớ thuyết của ụng dưới dạng một quyển sỏch. Hai năm sau đú, ụng tự bổ nhiệm mỡnh làm thư kớ của viện hàn lõm, dớ mũi của ụng vào những kẻ chỉ trớch ụng, và cho đăng bài bỏo gốc của ụng trong tập san của viện. Tuy nhiờn, những người chỉ trớch chưa chịu dừng lại. Cỏc nhà toỏn học bắt đầu nhận ra rằng những chuỗi vụ hạn là những thứ nguy hiểm; chỳng khụng luụn luụn hành xử giống như những tổng hữu hạn, đẹp đẽ. Việc giải quyết những vấn đề này húa ra là hết sức khú khăn, nhưng phỏn quyết cuối cựng là quan điểm của Fourier cú thể được làm cho chặt chẽ bằng cỏch ngoại suy ra những đặc trưng rất khụng đều. Kết quả là phộp biến đổi Fourier, một phương trỡnh xem một tớn hiệu biến thiờn theo thời gian là tổng của một chuỗi những đường cong hỡnh sin thành phần và tớnh ra biờn độ và tần số của chỳng. Ngày nay, phộp biến đổi Fourier ảnh hưởng đến cuộc sống của chỳng ta theo vụ số kiểu. Chẳng hạn, chỳng ta cú thể sử dụng nú để phõn tớch tớn hiệu dao động tạo ra bởi một trận động đất và để tớnh ra những tần số mà năng lượng truyền bởi mặt đất chấn động là lớn nhất. Một bước tiến tới xõy dựng những cụng trỡnh chịu được động đất là đảm bảo rằng tần số riờng của cụng trỡnh khỏc với tần số của động đất. Những ứng dụng khỏc bao gồm việc loại tạp õm ra khỏi những bản ghi õm cũ, tỡm kiếm cấu trỳc của ADN bằng ảnh chụp tia X, cải thiện sự thu nhận vụ tuyến và ngăn cản những dao động khụng mong muốn ở xe hơi. Thờm một ứng dụng nữa mà đa số mọi người chỳng ta sử dụng thường xuyờn mà khụng để ý, đú là chụp ảnh kĩ thuật số. Nếu bạn tớnh xem cần bao nhiờu thụng tin để biểu diễn màu sắc và độ sỏng của mỗi pixel trong một bức ảnh kĩ thuật số, bạn sẽ phỏt hiện ra rằng một chiếc camera kĩ thuật số nhồi nhột vào thẻ nhớ của nú lượng dữ liệu nhiều gấp mười lần cỏi thẻ nhớ cú thể chứa. Camera làm cụng việc này bằng cỏch sử dụng sự nộn dữ liệu JPEG gồm năm bước nộn khỏc nhau. Một trong số chỳng là một phiờn bản kĩ thuật số của phộp biến đổi Fourier, nú hoạt động với một tớn hiệu khụng thay đổi theo thời gian mà thay đổi từ đầu này qua đầu kia bức ảnh. Cơ sở toỏn học hầu như là giống hệt. Bốn bước cũn lại tiếp tục làm giảm dữ liệu thờm nữa, đến khoảng bằng một phần mười lượng ban đầu. Đõy mới chỉ là bảy trong nhiều phương trỡnh mà chỳng ta bắt gặp hàng ngày, nhưng khụng nhận ra chỳng đang hiện diện ở đấy. Nhưng sự tỏc động của những phương trỡnh này đối với lịch sử thỡ sõu sắc hơn nhiều. Một phương trỡnh thật sự mang tớnh cỏch mạng cú thể cú sự tỏc động đối với sự tồn tại của loài người lớn hơn cả mọi nhà vua và hoàng hậu cú mưu đồ choỏn 380 đầy những quyển sử học của chỳng ta. Cú (hoặc cú thể cú) một phương trỡnh, trờn hết thảy, mà cỏc nhà vật lớ và nhà vũ trụ học đặt hết niềm tin yờu vào đấy: một lớ thuyết của tất cả thống nhất cơ học lượng tử và thuyết tương đối. Nổi tiếng nhất trong số nhiều ứng cử viờn là lớ thuyết siờu dõy. Nhưng như mọi người chỳng ta đều biết, cỏc phương trỡnh của chỳng ta cho thế giới vật chất cú lẽ chỉ là những phiờn bản đơn giản húa khụng bắt giữ được cấu trỳc sõu sắc của thực tại. Ngay cả nếu tự nhiờn cú tuõn theo những định luật vạn vật, thỡ chỳng cú thể khụng được biểu diễn dưới dạng những phương trỡnh. Một số nhà khoa học nghĩ rằng đó đến lỳc chỳng ta từ bỏ những phương trỡnh truyền thống để theo đuổi những thuật toỏn – những cụng thức khỏi quỏt hơn để tớnh toỏn mọi thứ, kể cả việc ra quyết định. Nhưng cho đến những ngày ấy, nếu cú, sự hiểu biết sõu sắc nhất của chỳng ta về cỏc định luật của tự nhiờn sẽ tiếp tục cú dạng thức những phương trỡnh, và chỳng ta sẽ học cỏch tỡm hiểu chỳng và thớch ứng với chỳng. Cỏc phương trỡnh cú thành tựu của chỳng, Chỳng thật sự đó làm biến chuyển thế giới và chỳng sẽ lại tiếp tục làm thế giới biến chuyển. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Văn Mậu ; Nguyễn Văn Tiến Một số chuyờn đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi. NXB Giỏo dục 2010. 2. Đỗ Thanh Sơn Một số chuyờn đề hỡnh học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi. NXB Giỏo dục 2010. 3. Nguyễn Văn Mậu ; Trần Nam Dũng ; Nguyễn Đăng Phất ; Nguyễn Thuỷ Thanh Chuyờn đề chọn lọc: Số phức và ỏp dụng. NXB Giỏo dục 2009 4. Vũ Dương Thụy ; Nguyễn Văn Nho 40 năm Olympic Toỏn học quốc tế. NXB Giỏo dục 2006. 5. Đoàn Quỳnh ; Doón Minh Cường ; Trần Nam Dũng ; Đặng Hựng Thắng Tài liệu chuyờn toỏn Đại số 10. NXB Giỏo dục 2010. 6. Nguyễn Văn Mậu Phương phỏp giải phương trỡnh và bất phương trỡnh. NXB Giỏo dục 2010. 7. Đỗ Thanh Sơn Một số chuyờn đề hỡnh học khụng gian bồi dưỡng học sinh giỏi. NXB Giỏo dục 2010. 8. Vũ Hữu Bỡnh Nõng cao và phỏt triển toỏn 9. NXB Giỏo dục 2006. 9. Tạp chớ Toỏn học và tuổi trẻ. 10. Tuyển tập 10 năm đề thi Olympic 30/4. NXB Giỏo dục 2006. 11. Cỏc bài thi Olympic Toỏn THPT Việt Nam. NXB Giỏo dục 2007. 12. Cỏc tài liệu trờn Internet: • Nguyễn Tất Thu Chuyờn đề phương trỡnh- bất phương trỡnh, đặt ẩn phụ đưa vệ hệ phương trỡnh • Nguyễn Thành Văn ; Nguyễn Phi Hựng Phương phỏp đặt ẩn phụ giải phương trỡnh vụ tỉ • Trương Hồ Minh Duy Một phương phỏp giải phương trỡnh vụ tỉ • Lờ Sỹ Giảng Hệ số bất đĩnh trong đa thức • Diễn đàn Math.vn Tuyển tập 60 bài hệ phương trỡnh 381 382 • Phạm Kim Chung Cỏc phương phỏp giải hệ phương trỡnh • Đặng Đỡnh Sơn Ứng dụng định lý Lagrange 13. Diễn đàn 14. Diễn đàn 15. Diễn đàn 16. Bỏch khoa toàn thư mở Wikipedia.