Phương trình, bất phương trình vô tỷ

ợc 2u 3v 8 0       2 3 v u 4 4   . Thay  4 vào  3 , ta có:     23 2 3 5u 3 u 4 8 0 3          3 2435u u 8u 16 8 0      3 215u 4u 32u 40 0       2u 2 15u 26u 20 0      2 u 2 0 15u 26u 20 0 ' 131 0            u 2  . Thay u 2  vào  2a , ta được 3 3x 2 2    3x 2 8    x 2  . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2  . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 18 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 21 x 1 x 2 1 x 4      . 2) 23x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2        . 3)  33 2x 3x 2 x 2 6x 0     . 4)   3 x 6 x 3 3 x 6 x       . 5) 2 22x x 5x 6 10x 15     . 6) 27x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x        . 7) 5 1 5 x 2x 4 2x2 x     . 8) 2x 1 x 1 x 2 4      . Bài 2. Cho phương trình   3 x 6 x 3 x 6 x m       . 1) Giải phương trình với m 3 . 2) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 3. Tìm m để BPT  2m x 2x 2 1 x 2 x 0          có nghiệm x 0;1 3    . Bài 4. Tìm m để BPT    22 x 4 x x 2x m     nghiệm đúng với mọi  x 2;4  . Bài 5. Giải các PT sau: 1) 2 21 1 x 2x   . 2)     3 3 2 2x 1 x x 2 1 x    . 3) 2 31 x 4x 3x   . Bài 6. Giải các PT sau: 1)  3 25 x 1 2 x 2   . 2) 2 25x 14x 9 x x 20 5 x 1       . 3)  2 32x 5x 2 4 2 x 21x 20     . 4)  2 32 x 3x 2 3 x 8    . Bài 7. [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 23 x 1 m x 1 2 x 1     . Bài 8. Giải các phương trình: 1) 3 24 x 12 x 6    . 2) 3x 3 x 3   . 3) 4 4x 17 x 3   . 4)       2 23 3 32 x 7 x 2 x 7 x 3       . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 19 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com 5) 3 3 3x x 16 x 8    . 6) 4 4 4x x 1 2x 1    . Bài 9. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 31 x 1 x a    có nghiệm. Bài 10. Giải các phương trình sau 1) 3 3x 1 2 2x 1   . 2) 2 x 3 2x 4x 2    . 3) 3 3 x 1 2x 1 2    . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 20 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com D. Đáp số Bài 1 1) 0 . 2) 2 . 3) 2 , 2 2 3 . 4) 0 , 3 . 5) 5 3 5 5 3 5 2 2 ; ;               . 6) 6 7 ;6    . 7)    3 32 20; 2 2;    . 8)  1;1 . Bài 2 1) 3 , 6 . 2) 6 2 9 m 3 2    .Bài 3 2 m 3  . Bài 4 m 4 .Bài 5 1) 3 2  . 2) 2 2 , 1 2 2 2 2    . 3) 1 2  , 2 2 4   . Bài 6 1) 5 37 2  . 2) 5 61 2  , 8 . 3) 9 193 4  , 17 3 73 4  . 4) x 3 13  Bài 7 1 1 m 3    . Bài 8 1) 24 , 88 , 3 . 2) 1 . 3) 1 , 16 . 4) 1 , 6 . 5) 8 , 56 3010 7  . 6) 0 . Bài 9 0 a 2  . Bài 10 1) 1 , 1 5 2   . 2) 3 17 4   , 5 13 4   . 3) 1 2  . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 21 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích A. Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích. Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ. Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:  Biểu thức liên hợp của a b là a b :   a b a b a b    .  Biểu thức liên hợp của 3 3a b là     2 2 3 3 3a ab b  :       2 2 3 3 3 3 3a b a ab b a b           . . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 22 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình  2x 3 2x x 1 2x x 4x 3 1       . Giải  1    x 3 2x x 1 2x x 3 x 1       (ĐK: x 1  )     x 3 1 x 1 2x x 1 1 0          x 1 1 2x x 3 0      x 1 1 0 2x x 3 0          x 1 1 x 3 2x        2 x 1 1 2x 0 x 3 4x         x 0 x 1    . Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm của phương trình là  0;1 . Ví dụ 2. [ĐHD02] Giải bất phương trình    2 2x 3x 2x 3x 2 0 1    . Giải Đk: 22x 3x 2 0    1 2 x x 2       .  1  2 2 x 3x 0 2x 3x 2 0         hoặc 2 2 x 3x 0 2x 3x 2 0          1 2 x 0 x 3 x 2 x         hoặc 1 2 x 0 x 3 x x 2          1 2 x 0 x 3 x 2 x         hoặc 1 2 x x 3       . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 23 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Kết hợp với điều kiện để  1 có nghĩa, ta có tập nghiệm của  1 là:     12; 2 3;     . Ví dụ 3. Giải phương trình  3x x 2 0 1   . Giải Đk: x 0 . Ta có  1     3x 1 x 1 0       2 x 1x 1 x x 1 0 x 1           2 1 x 1 x x 1 0 x 1            x 1 0  (do 2 1x x 1 x 1     =   2 1 2 1 3 x 0 4x 1      x 0  )  x 1 (thỏa mãn điều kiện để  1 có nghĩa). Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1 . Ví dụ 4. [ĐHB10] Giải phương trình  23x 1 6 x 3x 14x 8 0 1       . Giải Đk: 3x 1 0 6 x 0        1 3 x 6 2   . Ta có  1      23x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0                3 x 5 x 5 x 5 3x 1 0 3x 1 4 1 6 x                 3 1 x 5 3x 1 0 3x 1 4 1 6 x               x 5 0  (do   3 1 3x 1 0 3x 1 4 1 6 x         1 3 x : x 6    )  x 5 (thỏa mãn  2 ). Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 5 . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 24 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình 1) 3 23 3x 1 x 2 1 x 3x 2       . 2) 3 32 23 3x 1 x x x x     . 3) 4 3 24 x 1 x 1 x x     . 4) 3 2 2 2x x 3x 3 2x x 3 2x 2x        . Bài 2. Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 4 1 5 x x 2x x x x      . 2) 2 2 4 2x x 6 x x 2 x x        . 3) 2 22x x 9 2x x 1 x 4       . 4) 2 2x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1         . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 25 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com D. Đáp số Bài 1 1) 0 , 1 . 2) 1 . 3) 0 , 1 . 4) 0 . Bài 2 1) 2 . 2) 1 . 3) 0 . 4) 2 x 3  . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 26 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 27 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD05] Giải phương trình  2 x 2 2 x 1 x 1 4 1      . Giải Đk: x 1 0    x 1 2  . Ta có   2 x 2 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1            Do đo  1   2 x 1 1 x 1 4      x 1 2   x 1 4   x 3 (thõa mãn  2 ). Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 3 . Ví dụ 2. Giải phương trình   4x x 3 4 x 1 x 3     . Giải Đk:  x 0 2 .  1   x 3 4x 4 x. x 3 0        2 x 3 2 x 0    x 3 2 x 0    x 3 2 x   x 3 4x   x 1 (thỏa mãn  2 ). Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1 . Ví dụ 3. Giải phương trình 24x 1 4x 1 1    . Giải ĐK: 2 4x 1 0 4x 1 0       1 4 1 2 1 2 x x x            1 x 2  . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 28 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Đặt   2f x 4x 1 4x 1    .Ta có   2 2 4x 1 f ' x 0 x 24x 1 4x 1         f đồng biến trên 12 ;  . Do đó nếu  1 có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Ta thấy 1 x 2  là nghiệm của  1 nên  1 có nghiệm duy nhất 1 x 2  . Ví dụ 4. [ĐHA10] Giải bất phương trình     2 x x 1 1 1 2 x x 1      . Giải Ta thấy   22 3 31 2 4 4 x x 1 x x       . Do đó  2 341 2 x x 1 1 2. 0 x       . Điều kiện để  1 có nghĩa:  x 0 2 .  1   2x x 1 2 x x 1       22 x x 1 x x 1           22 x x 1 0 2 x x 1 x x 1                     1 5 2 2 2 x 2x 2 x 1 x x 1 2 x 1 x                     1 5 2 2 x 3 x x 1 2 x 1 x 0 4          . Ta có  4    2 x x 1 0      2 x x 1 0    x x 1 0    x 1 x    2 1 x 0 x 1 x       2 x 1 x 3x 1 0       3 5 2 x 1 x      3 5 2 x  (thõa mãn  2 ,  3 ). Vậy  1 có nghiệm duy nhất 3 5 2 x  . Ví dụ 5. Giải phương trình   2 x x 1 x 1 3 1 x       . Giải Đk: 0 x 1  . Ta thấy:     2 VP 1 1 2 x 1 x 1         VP 1 1 . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 29 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Lại có:   3 3 VT 1 1 33 1 x      . Do đó  1     VT 1 VP 1 1   x 1 . Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1 . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 30 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com B. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình 1) 3 4 x 3 1 4x x     . 2) 22 x 3 9x x 4    . 3) 12 x 2 x 1 3x 9    . 4) 24x 3x 3 4x x 3 2 2x 1      . 5) 4 x 3 x 1 x 7     . 6) 2 22x x x 1 4 3x 1 2x 2x 6       . Bài 2. Giải các phương trình sau 1) x 4 x 1 x 3     . 2) 2 2 2 1 x 2 x x x     . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 31 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com C. Đáp số Bài 1 1) 1 . 2) 1 , 5 97 18   . 3) 1 , 77 3328 9  . 4) 1 . 5)1 . 6) 1 . Bài 2 1) 0 . 2) 1 .