Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề bất đẳng thức GV:Trịnh Quang Hòa-THPT Hiệp Hòa 3 –ĐT:0974.938.838 1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp này cơ bản nhất , nó dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức tương đương đơn giản hơn. Nếu chứng tỏ bất đẳng thức đơn giản này đúng thì bất đẳng thức phải chứng minh cũng đúng. Ví dụ 1: Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d       () Ví dụ 2 Chứng minh rằng :   2 2a b a b 2 2 () Ví dụ 3: Cho a, b > 0 . Chứng minh rằng :        33 3a b a b 2 2 (*) Ví dụ 4 Chứng minh: Với a  b  1:    2 2 1 1 2 1 ab1 a 1 b () Ví dụ 5 Cho a, b > 0 . Chứng minh:   a b a b b a () Ví dụ 6 Chứng minh:         2 2 2 2 2a b c d e a b c d e () Ví dụ 7 a. Chứng minh:     a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b) Chứng minh:          22 2 2a b c a b c 3 3 Ví dụ 8 Cho a , b là ba số không âm .Chứng minh rằng : 1 1 2 2 a b a b ab a b         () II.PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Nội dung: Cho hai số 0; 0a b  ta luôn có 2 a b ab   (1) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 ..xn ≥ 0 ta có:  Dạng 1: 1 2 1 2 ...... ...........n n n x x x x x x n     Dạng 2: 1 2 1 2 ...... ...........n n nx x x n x x x    Dạng 3: 1 2 1 2 ........... ...... n n n x x x x x x n          Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 ............ nx x x   1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Ví dụ 9: Chứng minh rằng:    2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,8 a b ca b b c c a a b c     Ví dụ 10: Cho: , , , 0 1 : 1 1 1 1 813 1 1 1 1 a b c d CMR abcd a b c d                Bài toán tổng quát 1: Cho:   1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , ,............., 1 0 1 : ...........1 1 1 1......... 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x CMR x x x x n x x x x                  Chuyên đề bất đẳng thức GV:Trịnh Quang Hòa-THPT Hiệp Hòa 3 –ĐT:0974.938.838 2 2.Kỹ thuật tách nghịch đảo. Ví dụ 11: CMR: 2 2 2 2 1 a a R a      3. Kỹ thuật chọn điểm rơi Ví dụ 12: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1S a a   Ví dụ 13: Cho , , 0 3 2 a b c a b c          . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1S a b c a b c       4.Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) Ví dụ 14: CMR    , , , 0ab cd a c b d a b c d      (1) 5.Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau: Phép cộng:        2 2 2 2 x y z x y y z z x x y y z z xx y z                     Phép nhân:      2 2 2 x ; xyz= xy x x, y, z 0x y z xy yz z yz z  Ví dụ 15: Chứng minh rằng: , , 0bc ca ab a b c a b c a b c        Ví dụ 16: Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR: a)     18p a p b p c abc    ; b) 1 1 1 1 1 12 p a p c a cp b b               Ví dụ 17: Chứng minh rằng : 6 , , 0b c c a a b a b c a b c        (1) 7. Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC Ví dụ 18:: Chứng minh rằng:    1 1 , 1a b b a ab a b      8.Kỹ thuật đổi biến số Ví dụ 19: Chứng minh rằng: 3 2 c a b a b b c c a       , , 0a b c  (BĐT Nesbit) Ví dụ 20: Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2a b c a b c b c a c a b a b c           8. Kỹ thuật đánh giá mẫu số Ví dụ 21:Chứng minh rằng , , 0a b c  ta có: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc          Ví dụ 22: Cho , . 0 2 2 2 1 a b c a b c        . Chứng minh rằng: 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c c a a b       . MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP Bài 1: Cho , , 0 1 1 1 : 1 1 1 8 1 a b c CMR a b ca b c                        (1) Chuyên đề bất đẳng thức GV:Trịnh Quang Hòa-THPT Hiệp Hòa 3 –ĐT:0974.938.838 3 Bài 2:CMR     0 0 a c c a c c b c ab b c             Bài 3: CMR    3 3 1 1 1 1 , , 0 abc a b c a b c      Ta có bài toán tổng quát 1: CMR:       1 2 1 2 1 1 2 2 ....... ....... ........ , 0 1,nn nn n n n i ia a a bb b a b a b a b a b i n        Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1.Chứng minh rằng: a b b c c a 1 1 1 3 ( 1) ( 1) ( 1) 2       Bài 5**: Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì : 1 1 1 1 2 2 2a b c       Bài 6: Cho , , 0 1 x y z xyz    . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x       Bài 7: Cho , , .0 1 1 1 1 x y z x y z       .Chứng minh rằng x y z x y z x y z           1 1 1 1 2 2 2 2 2 Bài 8: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 4a 9b 16c + + 26 b + c - a c + a - b a + b - c  Bài 9: Cho a, b, c dương và abc=1 .Chứng minh rằng: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 a b c b c c a a b          Bài 10: Cho ∆ABC. CMR:          2 2 2 1 1 1 p p a p b p cp a p cp b        Bài 11: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a b c b c a c a b a b c 3         Bài 12: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab bc ca 1   . Chứng minh rằng: a b c a b c2 2 2 3 21 1 1       Bài 13: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: 2         ba abc ac cab cb bca . Bài 14: Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1. Chứng minh rằng : 3 3 3 3 3 31 + a + b 1 + b + c 1 + c + a + + 3 3 ab bc ca  (TSĐH - Khối D - Năm 2005) Bài 15: Cho a, b, c dương và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 23 3 3 a b c P b c a       Hiệp Hòa ngày 20/11/2014 Chúc các em thành công