Ôn tập tốt nghiệp Toán 12

chung cuûa chuùng: a) b) c) d) e) f) g) Tìm giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2: a) b) c) d) Tìm m ñeå hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 caét nhau. Khi ñoù tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa chuùng: a) b) c) VAÁN ÑEÀ 3: Vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Ñeå xeùt VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng, ta coù theå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau: · Phöông phaùp hình hoïc: Döïa vaøo moái quan heä giöõa VTCP cuûa ñöôøng thaúng vaø VTPT cuûa maët phaúng. · Phöông phaùp ñaïi soá: Döïa vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình ñöôøng thaúng vaø maët phaúng. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm giao ñieåm (neáu coù) cuûa chuùng: a) b) c) d) e) f) g) Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm m, n ñeå: i) d caét (P). ii) d // (P). iii) d ^ (P). iv) d Ì (P). a) b) c) d) e) Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm m, n ñeå: a) cắt taïi ñieåm coù tung ñoä baèng 3. b) caét taïi ñieåm coù cao ñoä baèng –1. c) cắt VAÁN ÑEÀ 4: Vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët caàu Ñeå xeùt VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng vaø maët caàu ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau: · Phöông phaùp hình hoïc: Döïa vaøo khoaûng caùch töø taâm maët caàu ñeán ñöôøng thaúng vaø baùn kính. · Phöông phaùp ñaïi soá: Döïa vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình ñöôøng thaúng vaø maët caàu. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët caàu (S). Tìm giao ñieåm (neáu coù) cuûa chuùng: a) b) c) d) e) f) g) Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng d: a) b) c) d) e) Cho töù dieän ABCD. Vieát phöông trình maët caàu tieáp xuùc vôùi caùc caïnh cuûa töù dieän, vôùi: a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3). b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1). d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2). VAÁN ÑEÀ 5: Khoaûng caùch 1. Khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng d · Caùch 1: Cho ñöôøng thaúng d ñi qua M0 vaø coù VTCP . · Caùch 2: – Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa M treân ñöôøng thaúng d. – d(M,d) = MH. · Caùch 3: – Goïi N(x; y; z) Î d. Tính MN2 theo t (t tham soá trong phöông trình ñöôøng thaúng d). – Tìm t ñeå MN2 nhoû nhaát. – Khi ñoù N º H. Do ñoù d(M,d) = MH. 2. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2. d1 ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP Chuù yù: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2 baèng khoaûng caùch giöõa d1 vôùi maët phaúng (a) chöùa d2 vaø song song vôùi d1. 3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng naøy ñeán ñöôøng thaúng kia. 4. Khoaûng caùch giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng song song Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vôùi maët phaúng (a) song song vôùi noù baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm M baát kì treân d ñeán maët phaúng (a). Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng d: a) b) c) d) e) f) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng d1, d2 cheùo nhau. Tính khoaûng caùch giöõa chuùng: a) b) c) d) e) f) g) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng d1, d2 song song vôùi nhau. Tính khoaûng caùch giöõa chuùng: a) b) c) d) Chöùng minh ñöôøng thaúng d song song vôùi maët phaúng (P). Tính khoaûng caùch giöõa chuùng: a) b) c) d) VAÁN ÑEÀ 6: Moät soá vaán ñeà khaùc 1. Vieát phöông trình maët phaúng · Daïng 1: Maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø ñöôøng thaúng d: – Treân ñöôøng thaúng d laáy hai ñieåm B, C. – Moät VTPT cuûa (P) laø: . · Daïng 2: Maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng song song d1, d2: – Xaùc ñònh VTCP cuûa d1 (hoaëc d2). – Treân d1 laáy ñieåm A, treân d2 laáy ñieåm B. Suy ra A, B Î (P). – Moät VTPT cuûa (P) laø: . · Daïng 3: Maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau d1, d2: – Laáy ñieåm A Î d1 (hoaëc A Î d2) Þ A Î (P). – Xaùc ñònh VTCP cuûa d1, cuûa d2. – Moät VTPT cuûa (P) laø: . · Daïng 4: Maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng d2 (d1, d2 cheùo nhau): – Xaùc ñònh caùc VTCP cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. – Moät VTPT cuûa (P) laø: . – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 Þ M Î (P). · Daïng 5: Maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2: – Xaùc ñònh caùc VTCP cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. – Moät VTPT cuûa (P) laø: . 2. Xaùc ñònh hình chieáu H cuûa moät ñieåm M leân ñöôøng thaúng d · Caùch 1: – Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua M vaø vuoâng goùc vôùi d. – Khi ñoù: H = d Ç (P) · Caùch 2: Ñieåm H ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 3. Ñieåm ñoái xöùng M' cuûa moät ñieåm M qua ñöôøng thaúng d · Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân d. – Xaùc ñònh ñieåm M¢ sao cho H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM¢. · Caùch 2: – Goïi H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM¢. Tính toaï ñoä ñieåm H theo toaï ñoä cuûa M, M¢. – Khi ñoù toaï ñoä cuûa ñieåm M¢ ñöôïc xaùc ñònh bôûi: . 4. Xác định hình chieáu H cuûa moät ñieåm M leân maët phaúng (P) · Caùch 1: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua M vaø vuoâng goùc vôùi (P). – Khi ñoù: H = d Ç (P) · Caùch 2: Ñieåm H ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 5. Ñieåm ñoái xöùng M' cuûa moät ñieåm M qua maët phaúng (P) · Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân (P). – Xaùc ñònh ñieåm M¢ sao cho H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM¢. · Caùch 2: – Goïi H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM¢. Tính toaï ñoä ñieåm H theo toaï ñoä cuûa M, M¢. – Khi ñoù toaï ñoä cuûa ñieåm M¢ ñöôïc xaùc ñònh bôûi: . Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø ñöôøng thaúng d: a) b) c) d) e) f) Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua hai ñöôøng thaúng song song d1, d2: a) b) c) d) Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua hai ñöôøng thaúng caét nhau d1, d2: a) b) c) d) Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa d1 vaø song song vôùi d2: a) b) c) d) e) f) g) Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d vaø ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d: a) b) c) d) e) f) g) h) Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa ñieåm M treân maët phaúng (P) vaø ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi M qua maët phaúng (P): a) b) c) d) e) f) BAØI TAÄP OÂN PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG Tìm treân truïc Ox ñieåm M caùch ñeàu ñöôøng thaúng: vaø maët phaúng . Cho 2 ñieåm A(1; 0; 0) vaø B(0; 2; 0). Vieát phöông trình cuûa mp qua AB vaø taïo vôùi mp(Oxy) moät goùc 60. Vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (d) qua A(3; –1; 1) naèm trong mp: x – y + z – 5 = 0 vaø hôïp vôùi ñöôøng thaúng: moät goùc . Goïi laø maët phaúng qua A(2; 0; 1) vaø B(–2; 0; 5) vaø hôïp vôùi mp(Oxz) moät goùc 45. Tính khoaûng caùch töø O ñeán mp. Chöùng minh raèng 2 ñöôøng thaúng : vaø :cuøng naèm trong moät maët phaúng. Vieát phöông trình maët phaúng aáy. Cho hai ñieåm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) vaø ñöôøng thaúng a) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng d vaø ñöôøng thaúng AB cuøng thuoäc moät maët phaúng. b) Tìm ñieåm I thuoäc d sao cho IA + IB nhoû nhaát. Trong khoâng gian Oxyz cho 4 ñieåm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3). 1) Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän. Tính theå tích töù dieän ñoù. 2) Tìm ñieåm M sao cho :. 3) Xaùc ñònh toaï ñoä troïng taâm töù dieän ABCD. 4) Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa caùc ñoaïn thaúng AB, AC, BC. 5) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oz. 6) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng . 7) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi 2 maët phaúng 2x + 3y – z = 0, x + 2y – 3z = 0. 8) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø chaén caùc nöûa truïc döông Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi caùc ñieåm I , J, K sao cho theå tích töù dieän OIJK nhoû nhaát. 9) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø chaén caùc nöûa truïc döông Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi caùc ñieåm I , J, K sao cho OI + OJ + OK nhoû nhaát. 10) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua C, song song vôùi truïc Oy vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng x + 2y – 3z = 0. 11) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng : (P): x + y + z – 4 =0, (Q):3x – y + z – 1 = 0. 12) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø chöùa ñöôøng thaúng :. 13) Tìøm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d: vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng d: 14) Tìm treân truïc Oz ñieåm M caùch ñeàu ñieåm A vaø maët phaúng (P): x + 3y + 2 = 0. 15) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A, song song vôùi maët phaúng (P): x – y – z – 4 = 0 vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng D:. 16) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vaø caét ñöôøng thaúng: . 17) Tìm ñieåm P thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y – z +2 = 0 sao cho PA+PB nhoû nhaát. 18) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng AB vaø ñöôøng thaúng d : cuøng thuoäc moät maët phaúng. Tìm ñieåm N thuoäc d sao cho NA + NB nhoû nhaát. 19) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng: vaø caét ñöôøng thaúng: . 20) Vieát phöông trình hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng AB leân maët phaúng (P): x + 3y – z = 0. 21) Tính goùc taïo bôõi ñöôøng thaúng AB vôùi maët phaúng (BCD). 22) G laø troïng taâm DABC, G’ laø moät ñieåm baát kyø thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y + z +3 = 0. Chöùng minh raèng: nhoû nhaát khi vaø chæ khi G' laø hình chieáu cuûa G leân (P). Tìm toaï ñoä ñieåm G’. 23) Laäp phöông trình maët caàu ñi qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc mp(Oxy) 24) Laäp phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu (S): taïi B. 25) Laäp phöông trình maët phaúng qua A vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) coù phöông trình: . 26) Laäp phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD.