Ôn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức

ộ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 2 trục Ox, Oy, đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với là các véc tơ đơn vị tương ứng ở trên các trục Ox, Oy. Công thức tính độ dài đoạn thẳng. Công thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng Công thức tính góc giữa hai đường phẳng: với , lần lượt là các véctơ chỉ phương của Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm M(x0, y0) đến đường thẳng d : Ax + By + C = 0 : Phương trình đường thẳng (phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình đoạn chắn) Phương trình đường tròn. 2. Các kiến thức về số phức: Các phép toán về số phức (cộng , trừ, nhân , chia ) Căn bậc hai và giải phương trình bậc hai số phức. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. 3. Các bài toán số phức có vận dụng nhiều kiến thức hình giải tích phẳng: Quỹ tích điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức. Tìm số phức có môđun cho trước (nhỏ nhất , lớn nhất) Tìm số phức có Acrgumen cho trước. Điều kiện về phần thực và phần ảo. II- CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: ( Bài tập 5a trang 134, sách giải tích 12 ban cơ bản) và có modun nhỏ nhất ( lớn nhất ). và một acgumen của z bằng 0. Lời giải: z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Ta được: . Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn . Tương tự câu a): . Dựa vào hình vẽ ta được: Số phức có môdun nhỏ nhất thõa đề bài là z = 0 và số phức có môdun lớn nhất thõa đề bài là z = 2. Với kết quả câu a, b). Ta được: z = 2. Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát: Nếu quỹ tích là đường tròn: số phức có môdun lớn nhất, nhỏ nhất thì điểm biểu diễn số phức là giao điểm của đường tròn thu được với đường thẳng nối tâm đường tròn và gốc tọa độ. Nếu quỹ tích là đường thẳng : số phức có môdun nhỏ nhất thì điểm biểu diễn số phức là giao điểm của đường thẳng thu được với đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng đã cho. Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: ( Bài tập 9c trang 190, sách giải tích 12 ban nâng cao) và có mođun nhỏ nhất. và có một acgumen bằng Lời giải: z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Ta được: . Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng d:. Bài 2 Bài 3 Bài 2c b) Phương trình đường thẳng k đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng d có phương trình . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và k là . Vậy quỹ tích cần tìm là điểm . c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và đường thẳng y = x là A( 25/14; 25/14 ). Vậy quỹ tích cần tìm là điểm A( 25/14; 25/14 ). Bài 3: ( Đề thi Đại học 2009B) Tìm số phức z thõa mãn điều kiện : Lời giải: z = x + y.i; với x, y là hai số thực. ; . Giải hệ ta được . Vậy . Nhận xét: Bài toán trên là phức hóa của bài toán : Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn và trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Qua bài toán này ta kiểm tra được kỷ năng tìm giao điểm của hai đường tròn khi biết được phương trình. Tổng quát hơn, ta có thể thay giả thiết của bài toán để chuyển bài toán về việc tìm giao điểm của đường thẳng và đường tròn; giao điểm của các đường cônic. Bài 4: Cho ; m là số thực. Tìm m sao cho tích hai phần thực và tích hai phần ảo của và là hai số thực đối nhau. Lời giải: . Ta được Nhận xét: Xem A; B; C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức trong mặt phẳng tọa độ, ta có bài toán sau: Cho A(2; 1); B(4; -3); C(m; -2). Tìm m sao cho tam giác ABC vuông tại C ( Cao đẳng 2006 kinh tế kỹ thuật Cần Thơ) Bài 5: ( Đề thi Đại học 2009A) z1, z2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính Lời giải: Cách 1: Lời giải theo đáp án của bộ giáo dục. Cách 2: z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Ta được: Nhận xét: Với lời giải này, ta có thể xem bài toán trên là phức hóa của một bài toán hình học phẳng : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M, N lần lượt là giao điểm của hai đường cong có phương trình:và . Tính giá trị của biểu thức A= OA2 + OB2 Để tránh đi giả thiết nghiệm phương trình, ta có thể thay giả thiết bài toán thành: z1, z2 là hai số phức phân biệt thỏa mãn đẳng thức z2 + 2z + 10 = 0. Tính (ta có thể tổng quát cho phương trình có bậc tùy ý) Bài 6 : ( Đề thi Cao đẳng 2008A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: x -2y + 3 = 0. Tìm hai điểm lần lượt nằm trên Ox, Oy và đối xứng nhau qua d. Phức hóa: Tìm hai số phức z1 = x và z2 = yi, với x, y là hai số thực sao cho z1 + 2iz2 + 6 = 0 và z + 2 = 2iz1. Tìm hai số phức z1 = x và z2 = yi, với x, y là hai số thực sao cho điểm biểu diễn số phức (z1 + z2 )/2 nằm trên đường thẳng x -2y + 3 = 0 Bài 7: ( Đề thi Đại học 2007A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho A(0; 2), B(-2; -2), C(4; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN. Bài 7 Bài 8 Phức hóa: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức 2i, -2-2i, 4-2i . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN. Bài 8: ( Đề thi Đại học 2007B) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2), đường thẳng d1 có phương trình: x + y – 2 = 0, đường thẳng d2 có phương trình: x +y – 8 = 0. Tìm hai điểm B, C lần lượt nằm trên d1, d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Phức hóa: a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức z1 = 2+ 2i, z2 = m + (2-m).i, z3 = ( 8- n) + n.i . Tìm m, n sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức z1 = 2+ 2i, z2 = (m +2) –m.i, z3 = ( n + 2) + (6- n).i . Tìm m, n sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 9: Cho . Tìm z sao cho: . Lời giải: z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Nhận xét: Bài toán trên là phức hóa của bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 10 Cho . Tìm số thực z sao cho: nhỏ nhất. Nhận xét: Bài toán trên là phức hóa của bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; 2); B(3; 4); . Tìm tọa độ diểm M thuộc trục Ox sao cho MA + MB có độ dài nhỏ nhất. Bài 9 Bài 10 III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP. Kí hiệu: A(x; y) là điểm biểu diển số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Câu 1: Cho ; với x, y là hai số thực. Tìm x; y sao cho: . Câu 2: Chứng minh: Các điểm biểu diễn số phức z thỏa z3 = 1 trong mặt phẳng tọa độ tạo thành các đỉnh của một tam giác đều. Câu 3: Cho . Tìm . Câu 4: Cho . Tìm A; B đối xứng qua d. Câu 5: Cho , m là số thực. Tìm m sao cho tam giác GAB vuông tại G; với G là trọng tâm tam giác ABC. Câu 6: Cho , m là số thực. Tìm m : d(C; AB) = 6. Câu 7: Cho . Tìm . Tìm trực tâm của tam giác OAB. Câu 8: Cho , t là số thực. Tìm . Câu 9: Cho ; là hai số thực. Tìm sao cho A; B; C; D là 4 đỉnh của một hình vuông. CÁC BÀI TOÁN TÌM QUĨ TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHỨC. Câu 1: Hãy biểu diễn hình học của tập hợp các điểm phức z thoả mãn điều kiện: 1/ 2/ 3/ 4/ Nêu ý nghĩa hình học của mỗi hệ thức trên. Câu 2: Hãy biểu diễn hình học của tập hợp các điểm phức: trong các trường hợp sau: 1/ 2/ 3/ , 4/ , Câu 3: Hãy biểu diễn hình học của tập hợp các điểm phức trong các trường hợp sau: 1/ 2/ 3/ Câu 4: Hãy biểu diễn hình học tập hợp các điểm phức trong các trường hợp sau: 1/ với 2/ với . 3/ với với 4/ với 5/ với và . Câu 5: Tìm các tập điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: 1/ Môdun bằng 2. 2/ bằng . Câu 6: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau: 1/ Một acgumen của bằng 2/ Một acgumen của bằng một acgumen của Câu 7: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho có một acgumen bằng . Câu 8: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z .( 2 – 5.i) thoả mãn từng điều kiện sau: 1/ 2/ Câu 9: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z + 2 – 3i thoả mãn: 1/ là số ảo. 2/ Câu 10; Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức vơi thì thoả mãn điều kiện: 1/ . 2/ Câu 11: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức i.z thoả mãn một trong các điều kiện sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ Câu 12: Cho số phức . 1/ Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x. 2/ Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đưòng hypebol: . 3/ Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. Câu 13 (Đề thi Đại học 2009D): Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: . Câu 14: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4i/(i + 1); (1- i)(1 + 2i); (2 + 6i)/(3 – i) a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. PHẦN III: KẾT LUẬN Chúng ta đã biết rằng không có một “chìa khoá” vạn năng nào có thể mở được tất cả các kho tàng tri thức của nhân loại, phương pháp dùng chương số phức để ôn tập hình học phẳng cũng vậy, nhưng nếu biết vận dụng nó một cách hợp lý sẽ mang lại hiệu quả trong giảng dạy . Từ thực tế giảng dạy thu được kết quả khả quan tôi đã mạnh dạn viết nên đề tài này. Theo tôi đề tài có tác dụng: - Thể hiện mối quan hệ gần gũi giữa hình giải tích phẳng và số phức. - Giải quyết được tâm lí sợ khó khi ôn tập lại những kiến thức hình giải tích phẳng. - Gây được cho học sinh hứng thú và sự tự tin khi làm bài và đối với rất nhiều bài toán có thể giải quyết một cách dễ dàng hơn. - Bản thân cũng như đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh 12 . Đề tài này có nhiều vấn đề cần phải được bổ cứu, mong các bạn đọc, đồng nghiệp góp ý, và có gì sai sót mong các bạn lượng thứ. Xin chân thành cảm ơn!  MỤC LỤC. NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP. ....................................................