Ôn tập các chủ đề dao động cơ - Tạ Đức Lâm

CÁC CHỦ ĐỀ DAO ĐỘNG CƠ Chủ đề 1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT + Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh 1 vị trí cân bằng. + Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, trạng thái dao động (vị trí, vận tốc,..) được lặp lại như cũ. + Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian. x A cos t v x ' Asin t 2 a v'  A cos t 2 F ma m A cos t + Nếu x Asin t thì có thể biến đổi thành x A cos t 2 x A min xmax A a 2A A O A 2 max a max  A v 0 v 0 v đổi chiều v đổi chiều x 0 a 0 v A max a đổi chiều B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN 1. Các phương pháp biểu diễn dao động điều hòa và các đại lượng đặc trưng 2. Bài toán liên quan đến thời gian. 3. Bài toán liên quan đến quãng đường. 4. Bài toán liên quan đến vừa thời gian và quãng đường. 5. Bài toán liên quan đến chứng minh hệ dao động điều hòa. Dạng 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG Phương pháp giải Một dao động điều hòa có thể biểu diễn bằng: + Phương trình + Hình chiếu của chuyển động tròn đều + Véc tơ quay + Số phức. Khi giải toán nếu chúng ta sử dụng hợp lí các biểu diễn trên thì sẽ có được lời giải hay và ngắn gọn. 1. Các bài toán yêu cầu sử dụng linh hoạt các phương trình 1.1. Các phương trình phụ thuộc thời gian: x A cos t v x ' Asin t Gv: Tạ Đức Lâm a v' 2A cos t F ma m2A cos t kx2 m2A2 m2A2 W cos2 t 1 cos 2t 2 t 2 2 4 mv2 m2A2 m2A2 W sin2 t 1 cos 2t 2 d 2 2 4 m2A2 kA2 W = Wt + Wd 2 2 Phương pháp chung: Đối chiếu phương trình của bài toán với phưong trình tổng quát để tìm các đại lượng. Ví dụ 1: (ĐH − 2014) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x 3cos (x t tính bằng cm, t tính bằng s). Phát biểu nào sau đây đúng? A. Tốc độ cực đại của chất điểm là 9,4 cm/s. B. Chu ki của dao động là 0,5 s. C. Gia tốc của chất điểm có độ lớn cực đại là 113 cm/s2. D. Tần số của dao động là 2 Hz. Hướng dẫn Tốc độ cực đại: vmax = A = 9,4 cm/s => Chọn A. Ví dụ 2: (ĐH − 2012) Một vật nhỏ có khối lượng 250 g dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực kéo về có biểu thức F = − 0,4cos4t (N) (t đo bằng s). Dao động của vật có biên độ là A. 8 cm. B. 6 cm. C. 12 cm. D. 10 cm. Hướng dẫn Đối chiếu F = − 0,4cos4t (N) với biểu thức tổng quát F = − mω2Acos t  4 rad / s A 0,1 m 2 Chọn D m A 0,4 N Ví dụ 3: Một vật nhỏ khối lượng 0,5 (kg) dao động điều hoà có phương trình li độ x = 8cos30t (cm) (t đo bằng giây) thì lúc t = 1 (s) vật A. có li độ 4 2 (cm). B. có vận tốc − 120 cm/s. C. có gia tốc 36 3 (m/s2). D. chịu tác dụng hợp lực có độ lớn 5,55N. Hướng dẫn Đối chiếu với các phương trinh tổng quát ta tính được: x 0,08cos30t m x 0,08cos30.1 0,012 m v x ' 2,4sin 30t m / s v 2,4sin 30.1 2,37 m / s t 1 2 2 a v' 72cos30t m / s a v' 72cos30.1 11,12 m / s F ma 36cos30t N F ma 36cos30.1 5,55 N Chọn D. Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình vận tốc là v 3 cos3 t (cm/s). Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ và vận tốc là: A. x = 2cm, v = 0. B. x = 0, v = 3π cm/s. C. x= − 2 cm, v = 0. D. x = 0, v = − π cm/s. Hướng dẫn Đối chiếu với các phương trình tổng quát ta tính được: 2 Gv: Tạ Đức Lâm x A cos 3 t 2 v x ' 3 Asin 3 t 3 A cos 3 t 2 A 1 cm x 0 1cos 3 .0 0 2 Chọn B. v 3 cos 3 .0 3 cm / s 0 Ví dụ 5: (THPTQG – 2017) Một vật dao động x(cm) điều hòa trên trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t. Tần số góc của t(s) dao động là. 0 A. 10 rad/s. B. 10π rad/s. C. 5π rad/s. D. 5 rad/s. 0,2 Hướng dẫn * Chu kỳ T = 0,4s  2 / T 5 rad / s Chọn C. Chú ý: Bốn trường hợp đặc biệt khi chọn gốc thời gian là lúc: vật ở vị trí biên dương và qua vị trí cân bằng theo chiều âm, vật ở biên âm và vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.  t 2 x Asin t x A cost  t  t x A cost x Asin t  t 2 1.2. Các phương trình độc lập với thời gian 2 2 v 2 x 2 A  2 2 2 2 2 2 kx mv m A kA a  x ;W Wt Wd 2 2 2 2 F m2 x kx 2 k m Phương pháp chung: Biến đổi về phương trình hoặc hệ phương trình có chứa đại lượng cần tìm và đại lượng đã biết. Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà, khi vật có li độ x 1 = 4 (cm) thì vận tốc v1 40 3 (cm/s) và khi vật có li độ x2 4 2 (cm) thỉ vận tốc v1 40 2 cm / s (cm/s). Động năng biến thiên với chu kỳ A. 0,1 s. B. 0,8 s. C. 0,2 s. D. 0,4 s. Hướng dẫn v2 Áp dụng công thức: x2 A2 2 3 Gv: Tạ Đức Lâm 2 40 3 A2 42 2 2  10 rad / s T 0,2 s 2  2 40 2 A2 4 2 2 Động năng và thế năng đều biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ là: T T ' 0,1 s Chọn A. 2 Ví dụ 2: Vận tốc và gia tốc của con lắc lò xo dao động điều hoà tại các thời điểm t 1,t2 có giá trị 2 2 tương ứng là v1 = 0,12 m/s, v2 = 0,16 m/s, a1= 0,64 m/s , a2 = 0,48 m/s . Biên độ và tần số góc dao động của con lắc là: A. A = 5 cm, ω = 4 rad/s. B. A = 3 cm, ω = 6 rad/s. C. A = 4 cm, ω = 5 rad/s. D. A = 6 cm, ω = 3 rad/s. Hướng dẫn 2 2 2 v 2 a v Áp dụng công thức: x2 A2 a x A2 2 4 2 2 2 0,48 0,16 2 4 2 A   A 0,05 m Chọn A. 0,642 0,122  4 rad / s A2 4 2 Ví dụ 3: (ĐH − 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 30 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 15 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 90 3cm / s2 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là A. 5 cm. B. 4 cm. C. 10 cm. D. 8 cm. Hướng dẫn v2 Phối hợp với công thức: x2 A2 ;a 2 x;v A ta suy ra: 2 max 2 2 2 2 aA v 90 3 15 1 A 1 A 5 cm Chọn A. 2 2 vmax vmax 30 30 Ví dụ 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Tìm độ lớn li độ x mà tại đó công suất của lực đàn hồi đạt cực đại. A. A B. 0. C. A 2. D. 0,5A 2. Hướng dẫn Công suất của lực bằng tích độ lớn của lực F k x và tốc độ v. 2 2 k v k 2 v kA P F.v .2 x . x 2 2  2  2 2 2 2 kA 2 v A A Pmax x x Chọn D. 2 2 2 2 Ở trên ta đã áp dụng bất đẳng thức 2ab a2 b2 , dấu ‘=’ xẩy ra khi a = b. Ví dụ 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 40 N/m đầu trên được giữ cố định còn phía dưới gắn vật m dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ 2,5 cm. Khi ở vị trí cao nhất lò xo 4 Gv: Tạ Đức Lâm không biến dạng. Lấy g = 10 m/s2. Trong quá trình dao động, trọng lực của m có công suất tức thời cực đại bằng A. 0,41 W. B. 0,64 W. C. 0,5 W. sD. 0,32 W. Hướng dẫn Tại vị trí cân bằng: mg k  0 A. k g g Tần số góc:  m  0 A Công suất tức thời của trọng lực: Pcs F.v P.v mgv với v là tốc độ của vật m. g P mgv kA .A kA Ag 40.2,5.10 2 2,5.10 2.10 0,5W max max A Chọn C. Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì 2 s và biên độ 10 cm. Tại thời điểm t, lực hồi phục tác dụng lên vật có độ lớn F = 0,148 N và động lượng của vật lúc đó p = 0,0628 kgm/s. Tính khối lượng của vật nặng. A. 0,25 kg. B. 0,20 kg. C. 0,10 kg. D. 0,15 kg. Hướng dẫn Từ công thức tính độ lớn lực hồi phục F k x m2 x , độ lớn động lượng của vật p = mv ta v2 rút ra |x| và v rồi thay vào: x2 A2 ta được: 2 2 2 2  rad / s ;A 0,1 m F p 2 2 4 2 2 A mà T m  m  F 0,148 N ;p 0,0628 kgm / s nên suy ra: m 0,25 (kg) => Chọn A. Ví dụ 7: Gọi M là điểm của đoạn AB trên quỹ đạo chuyển động của một vật dao động điều hòa. Biết gia tốc tại A và B lần lượt là − 3 cm/s2 và 6 cm/s2 đồng thời chiều dài đoạn AM gấp đôi chiều dài đoạn BM. Tính gia tốc tại M. A. 2 cm/s2. B. 1 cm/s2. C. 4 cm/s2. D. 3 cm/s2. Hướng dẫn Áp dụng công thức a 2 x cho các điểm A, B, M và lưu ý AM = 2MB nên x 2x 2 x 22 x x x 2 x x x A B 2 x A B M A B M M 3 M 3 a A 2a B 2 a M 3 cm / s Chọn D. 3 Ví dụ 8: Một vật dao động điều hòa có chu kì 2 s, biên độ 10 cm. Khi vật cách vị trí cân bằng 5 cm, tốc độ của nó bằng A. 27,21 cm/s. B. 12,56 cm/s. C. 20,08 cm/s. D. 18,84 cm/s. Hướng dẫn v2 Từ công thức: x2 A2 suy ra: 2 2 2 v  A2 x2 A2 x2 102 52 27,21 cm / s Chọn A. T 2 Ví dụ 9: Một quả cầu dao động điều hoà với biên độ 5 (cm), chu kỳ 0,4 (s). Tính vận tốc cùa quả cầu tại thời điểm vật có li độ 3 (cm) và đang chuyển động theo chiều dương. A. v = 62,8 (cm/s). B. v = ± 62,8 (cm/s) C. v = − 62,8 (cm/s). D. v = 62,8 (m/s). 5 Gv: Tạ Đức Lâm Hướng dẫn 2 2 v 2 x A 2 2 2 2 2 2 v  A x A x 62,8 cm / s Chọn A T v 0 Chú ý: Các bài toàn đơn giản như: cho x tính v hoặc cho v tính x. Từ các công thức A 2 2 2 v A x 2 2 v A A x 2  2 ta suy ra các điểm đặc biệt v v A x A 1 max A A A x 0 v A. x v Wd Wt 2 2 A 3 A x A v 0 x v W 3W 2 2 t d A A 3 x v W W 2 2 d t 2 2 2 2 2 v x v Từ A x 2 1  A A Đồ thị liên hệ x, v là đường elip và các bán trục A và ωA. Ví dụ 10: Một vật nhỏ có khối lượng 0,3 kg dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Vị trí cân bằng của vật 2 trùng với O. Trong hệ trục vuông góc xOv, đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật như hình 0 x(cm) vẽ. Lực kéo về cực đại tác dụng lên vật trong quá trình 5 5 dao động là 2 A. 24N. B. 30N. C. 1,2N. D. 27N. Hướng dẫn 2 2 x v A 5 cm 0,05 m * Từ 1 A A A 2 m / s 2  40 rad / s Fmax kA m A 24 N Chọn A. Ví dụ 11: (THPTQG − 2016) Cho hai vật dao động v điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường thắng (1) vuông góc với trục Ox tại O. Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1, đường (2) là đồ thị biểu diễn mối x quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các (2) lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là  A. 1/3. B. 3. C. 1/27. D. 27. 6 Gv: Tạ Đức Lâm Hướng dẫn  A 1 1 3 2 2 2 2 2 x v 2A2 m  A m  A m2 1A1 A2 * Từ 1 1 11 2 2 2 27 A A A m  A A 2 3 1 2 2 1 A1 Chọn D. 2. Các bài toán sử dụng vòng tròn lượng giác Kinh nghiệm cho thấy, những bài toán không liên quan đến hướng của dao động điều hòa hoặc liên quan vận tốc hoặc gia tốc thì nên giải bài toán bằng cách sử dụng các phương trình; còn nếu liên quan đến hướng thì khi sử dụng vòng tròn lượng giác sẽ cho lời giải ngắn gọn! Ta đã biết, hình chiếu của chuyển động tròn đều trên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo biểu diễn một dao động điều hòa: x A cos t + Ở nửa trên vòng tròn thì hình chiếu đi theo chiều âm, còn ở dưới thì hình chiếu đi theo chiều dương! 2.1. Chuyển động tròn đều và dao động điều hoà Phương pháp chung: Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng trong dao động điều hòa và trong chuyển động tròn đều. x A cos t = Hình chiếu của CĐTĐ: bán kính bằng A, tần số góc ω, tốc độ dài vT A. 2 2 2 2 2 2 v x v x v x 2 A 1 1  A A A vT Ví dụ 1: (THPTQG − 2016): Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính 10 cm với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ cực đại là A. 15 cm/s. B. 50 cm/s. C. 250 cm/s. D. 25 cm/s. Hướng dẫn * Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính R với tốc độ góc  thì hình chiếu của nó trên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo sẽ dao động điều hòa với biên độ đúng bằng R và tần số góc đúng bằng  * Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm và tần số góc  = 5 rad/s => tốc độ cực đại là vmax A = 50 cm/s => Chọn B. Ví dụ 2: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính R với tốc độ 100 cm/s. Gọi P là hình chiếu cùa M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn 6 (cm) nó có tốc độ là 50 (cm/s). Giá trị R bằng A. 4 3 (cm). B. 2,5 (cm) C. 6 3 (cm). D. 5 (cm) Hướng dẫn 2 2 x v 62 502 * Sử dụng: 1 2 2 1 A 4 3 cm Chọn A. A vT A 100 7 Gv: Tạ Đức Lâm 2.2. Khoảng thòi gian để véc tơ vận tốc và gia tốc cùng chiều, ngược chiều. Phương pháp chung: Viết phương trìnnh dưới dạng: x A cos t ; t rồi phối hợp với vòng tròn lượng giác. Chú ý rằng v luôn cùng hướng với hướng chuyển động, a luôn hướng về vị trí cân bằng. / 2 a 0 Vật đi từ x = A đến x = 0 0  v 0 2 (II) (I) a 0 Vật đi từ x = 0 đến x = -A  v 0 2 0 2 a 0 3 Vật đi từ x = - A đến x = 0  v 0 2 (III) (IV) a 0 3 Vật đi từ x = 0 đến x = a  2 v 0 2 3 / 2 Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x = Acos(5πt + π/2) (cm). Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc sẽ có cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây? A. 0,2 s < t < 0,3 s. B. 0,0s < t < 0,l s. C. 0,3 s < t < 0,4 s. D. 0,1 s < t <0,2 s. Hướng dẫn Muốn v > 0, a > 0 thì chất điểm chuyển động tròn đều phải thuộc góc (III) (Vật đi từ x = − A đến x = 0): 3 5 t 0,1s t 0,2s Chọn D. 2 2 Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x= Acos(5πt + π/2) (cm). Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc sẽ có cùng chiều âm của trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây? A. 0,2s < t < 0,3 s. B. 0,0 s < t < 0,1 s. C. 0,3 s < t < 0,4 s. D. 0,1 s < t < 0,2 s. Hướng dẫn Muốn v < 0, a < 0 thì chất điểm chuyển động tròn đều phải thuộc góc (I) (Vật đi từ x = A đến x = 0). Vì  5t / 2 / 2 nên ( ) phải bắt đầu từ 2π : 5 2 5 t 0,3s t 0,4s Chọn C. 2 2 2.3. Tìm li độ và hướng chuyển động Phương pháp chung: Vật chuyển động về vị trí cân bằng là nhanh dần (không đều) và chuyển động ra xa vị trí cân bằng là chậm dần (không đều). x A cos .t x A cos t t t t0 0 Cách 1: 0 v x ' Asin t v Asin .t0 t0 + v > 0: Vật đi theo chiều dương (x đang tăng). t0 + v < 0: Vật đi theo chiều âm (x đang giảm), t0 Cách 2: Xác định vị trí trên vòng lượng giác ở thời điểm t0 :  .t0 . 8 Gv: Tạ Đức Lâm Nếu thuộc nửa trên vòng tròn lượng giác thì hình chiếu chuyển động theo chiều âm (li độ đang giảm). Nếu thuộc nửa dưới vòng tròn lượng giác thì hình chiếu chuyển động theo chiều dương (li độ đang tăng). Li độ dao động điều hòa: x A cos t0 Vận tốc dao động điều hòa: v = x' = in t0 Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình li độ x 2 2 cos 10 t 3 / 4 , trong đó x tính bằng xentimét (cm) và t tính bằng giây (s). Lúc t = 0 s vật có A. li độ − 2 cm và đang đi theo chiều âm. B. li độ − 2 cm và đang đi theo chiều dương. C. li độ +2 cm và đang đi theo chiều dương. D. li độ +2 cm và đang đi theo chiều âm. Hướng dẫn 3 x 0 2 2 cos 10 .0 2 cm 4 Cách 1: Chọn A. 3p v 0 x ' 20 2 sin 10 .0 0 4 / 2 / 2  3 / 4  25.2 / 4 0 2 3 / 2 3 / 2 3 3  0 10 .0 :Chuyen dong theochieu am 4 4 Cách 2: Chọn A. 3 x 2 2 cos 2cm 4 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có phương trinh li độ x 2cos 10 t / 4 , trong đó x tính bằng xentimét (cm) và t tính bằng giây (s). Lúc t = 5 s vật chuyển động A. nhanh dần theo chiều dương của trục Ox. B. nhanh dần theo chiều âm của trục Ox. C. chậm dần theo chiều dương của trục Ox. D. chậm dần theo chiều âm của trục Ox. Hướng dẫn  5 10 .5 25.2 (xem hình phía trên) 4 4 => Chuyển động theo chiều âm về vị trí cân bằng (nhanh dần) => Chọn B. Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x 2cos 2 t / 6 (cm), trong đó t được tính theo đơn vị giây (s). Động năng của vật vào thời điểm t = 0,5 (s) A. đang tăng lên. B. có độ lớn cực đại. C. đang giảm đi.  D. có độ lớn cực tiểu. Hướng dẫn 9 Gv: Tạ Đức Lâm  t 2 .0,5 hình chiếu đang chuyển 6 6 động về vị trí cân bằng nên động năng đang tăng => Chọn A. / 6 2.4. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai 2.4.1. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán chưa cho biết phương trình của x, v, a, F... Phương pháp chung: + Dựa vào trạng thái ở thời điểm t 0 để xác định vị trí Tương lai tương ứng trên vòng tròn lượng giác. t0 + Để tìm trạng thái ở thời điểm ( t0 t ) ta quét theo chiều âm một góc  t. Quá khứ + Để tìm trạng thái ở thời điểm ( t0 t ) ta quét theo chiều dương một góc  t Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 1 m/s trên đường tròn đường kính 0,5 m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường ưòn dao động điều hòa. Biết tại thời điểm t = t0, M’ đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Hỏi trước thời điểm và sau thời điểm t0 là 8,5 s hình chiếu M’ ở vị trí nào và đi theo chiều nào? Hướng dẫn Cách 1: Dùng VTLG 50 A 25 cm 2 Biên độ và tần số góc lần lượt là: v 100  T 4 rad / s A 25 Góc cần quét:   t 34rad 10,8225 5.2 0,08225 Tương lai M Quá khứ Tương lai M Quá khứ M ' 0,5 x x 0,5 M ' 0,32 0,32 + Để tìm trạng thái ở thời điểm t = t0 − 8,5 s ta chỉ cần quét theo chiều âm góc 0,8225π: 10