Một số bài toán tuổi thơ (dành cho tiểu học)

MỘT SỐ BÀI TOÁN TUỔI THƠ (Dành cho tiểu học) Bài 1: Bạn hãy khôi phục lại những chữ số bị xóa (để lại vết tích của mỗi chữ số là một dấu *) để phép toán đúng. Lời giải : Để thuận lợi, chúng ta đặt lại phép tính ở bài ra như sau : Từ phép tính trên dễ nhận thấy b2 = b3 = 0. Vì nhân với 2 được nên a1 ≥ 5. Lại vì nhân với b1 được => b1 = 1 (do a1 ≥ 5). Do đó Mặt khác (số có 7 chữ số) . Vậy phép toán đúng sau khi đã khôi phục những chữ số bị xóa đi là : (ở trên) Bài 2: Cho dãy số tự nhiên liêp tiếp : 150 O 149 O 148 O O 51 O 50. Chứng minh rằng, nếu điền vào các vòng tròn “O” dấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả không thể bằng 2003. Lời giải : Các bạn đã lí luận bằng nhiều cách để chỉ ra : khi điền vào các hình tròn dấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả là một số chẵn nên kết quả không thể bằng 2003. Cách 1 : Nếu điền vào tất cả các hình tròn dấu “+” ta có : S = 150 + 149 + 148 + + 51 + 50 = (150 + 50).101/2 = 10100, là số chẵn. Trong tổng S, nếu thay mỗi dấu “+” trước một số a bất kì bởi dấu “-” thì S sẽ giảm đi 2a (là một số chẵn). Như vậy, nếu thay bao nhiêu dấu “+” trong S bởi dấu “-” thì S sẽ vẫn là một số chẵn. Cách 2 : Ta thấy rằng, mỗi cặp số tự nhiên liên tiếp đều có tổng hoặc hiệu là một số lẻ. Các số tự nhiên liên tiếp từ 150 đến 51 có tất cả 50 (là số chẵn) cặp như vậy. Tổng hoặc hiệu của một số chẵn các số lẻ luôn là một số chẵn nên giữa các số tự nhiên liên tiếp từ 150 đến 51, đặt bất kì dấu “+” hay dấu “-” thì kết quả đều là số chẵn ; cộng hay trừ với số còn lại của dãy số đã cho là số 50 cho kết quả cuối cùng là một số chẵn. Bài 3: Trong một giải bóng đá Nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt. Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được tất cả 16 điểm. Chứng minh rằng vào bất kì lúc nào cũng tìm được ít nhất hai đội đã đấu cùng số trận. Lời giải : Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được 16 điểm nên tổng số điểm của các trận thắng là : 16 - 1 = 15 (điểm). Do đó đội này đã thắng 15 : 3 = 5 (trận) và thi đấu tất cả 7 trận. Vì giải đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số đội dự giải là : 7 + 1 = 8 (đội) Chia các đội thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm các đội có cùng số trận đã đấu thì nhiều nhất chỉ có 7 nhóm vì nếu có nhóm chưa đá trận nào thì không có nhóm đã đá 7 trận. Cụ thể chỉ có các nhóm với số trận đã đá là : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 hoặc 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7. Vì có 8 đội mà chỉ có 7 nhóm nên theo nguyên lí Đi-rích-lê thì tồn tại hai đội ở cùng một nhóm tức là hai đội đã đá cùng số trận. Bài 4: Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2 Lời giải : Cách 1: Ta có: 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5  (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11   (2) Từ (1) và (2) =>: A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cách 2 : Ta có: 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5   (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4   (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 Cách 3 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (5) 1/10 + 1/11 + ... + 1/17 : A < 1 + 1 = 2 Cách 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1   (7) ;1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2   (8) Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2   (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5   (11) Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. Bài 5: Tìm tổng các chữ số của 999999999982. Lời giải : Ta có : A = 999999999982= (99999999998 + 2)(99999999998 - 2) + 4 = 100 000 000 000 x 99999999996 + 4 = 99999999996000000000004 Từ đó ta có tổng các chữ số của A là 9 x 10 + 6 + 4 = 100.