Lý thuyết và bài tập tích phân - Bài 1: Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

iễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét: Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất định sau tồn tại      2x dx sin x cos xe dx; ; sin x dx; dx ; dx ln x x x nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 3 II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạch  bất kì của đoạn [a, b], tức là chia đoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia:      0 1 n 1 na x x ... x x b . Trên mỗi đoạn  k 1 kx ,x lấy bất kì điểm  1k k kx ,x  và gọi 1k k kx x    là độ dài của  1k kx ,x . Khi đó:              n k k 1 1 2 2 n n k 1 f f f ... f        gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch , số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm k. Nếu tồn tại      k n k k Max 0 k 1 lim f    (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là:   b a f x dx Khi đó hàm số y  f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b] 2. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b]. 3. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì   b a f x dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường: y  f(x), x  a, x  b, y  0 O y x 0 a=x 1 1x 2 x2 ...... k-1x xk xnxn-1 =b... ...k-1 k n-1 n C1 2C 3C k-1N kN n-1C nC nN N1 Ck B1 2B Bk BnBk+1 ...... Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 4 4. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định: 4.1. Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b] 4.2. Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)  g(x),x[a, b] thì      b b a a f x dx g x dx . Dấu bằng xảy ra  f(x)  g(x), x[a, b] 4.3. Công thức Newton - Leipnitz: Nếu      f x dx F x c thì           b b a a f x dx F x F b F a 4.4. Phép cộng:               b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx 4.5. Phép trừ:               b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx 4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:      b b a a kf x dx k f x dx , k  0 4.7. Công thức đảo cận tích phân:       b a a b f x dx f x dx ;    a a f x dx 0 4.8. Công thức tách cận tích phân:          b c b a a c f x dx f x dx f x dx 4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x  (t) khả vi, liên tục trên đoạn [m, M] và             t m,M t m,M Min t a; Max t b  ;     m a; M b  . Khi đó ta có:         b M a m f x dx f t t dt  4.10. Công thức tích phân từng phần: Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b], khi đó:                b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 5   1 1 1 1 ax b ax b dx c , a                   1 cos ax b dx sin ax b a     c 1dx ln ax b c ax b a      c    1sin ax b dx cos ax b c a      1ax b ax be dx e c a        1 tg ax b dx ln cos ax b c a      1ax b ax bm dx m c aln m        1 cotg ax b dx ln sin ax b c a     2 2 1dx x arctg c a aa x        2 1dx cotg ax b c asin ax b      2 2 1 2 dx a x ln c a a xa x         2 1dx tg ax b c acos ax b      2 2 2 2 dx ln x x a c x a       2 2 x x arcsin dx x arcsin a x c a a     2 2 dx x arcsin c aa x     2 2 x x arccos dx x arccos a x c a a     2 2 1dx x arccos c a ax x a      2 2 2 x x a arctg dx x arctg ln a x c a a     2 2 2 2 1dx a x a ln c a xx x a          2 2 2 x x a arccotg dx x arccotg ln a x c a a        bln ax b dx x ln ax b x c a              1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a     2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x dx arcsin c a        1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a       2 2 ax ax e a sinbx bcosbxe sinbx dx c a b       2 2 ax ax e acosbx b sinbxe cosbx dx c a b     Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 6 IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 1. Ví dụ 1: Chứng minh: 2 2 dx 1 x a ln c 2a x ax a      ; 2 2 dx 1 a x ln c 2a a xa x      Chứng minh: 2 2 dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a dx ln c 2a x a x a 2a x a x a 2a x ax a                            2 2 dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x dx ln c 2a a x a x 2a a x a x 2a a xa x                          2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  2 2 2 2 dx ln x x a x a       c Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:     2 2 2 2 2 2 1 x a ln x x a c x x a             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x x a 1 1 x x a x a x x a x a x a                  3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 2 2 dx 1 u c aa x     (với x tg u a  ) Đặt x tg u a  ,  u ,2 2        2 2 2 2 d a tg udx 1 1 du u c a aa x a 1 tg u          4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 2 dx u c a x     (với x sin u a  , a > 0) Đặt x sin u a  ,u , 2 2           2 2 2 2 dx d a sin u du u c a x a 1 sin u          Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 2 2 dx 1 x arctg c a aa x     và 2 2 dx x arcsin c aa x     (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 7 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:  1 n nx x ;   m m nn km mn nkx x ; x x   1 n n n n 1 1 x ; x x x ;   m n n m 1 x x ;   m nk n k m 1 x x 2. Biến đổi vi phân: dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)   d(x ± p) adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)   d(ax ± p)     x p1 x 1 x 2dx d d da a aa           V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 1. 3 dx 1 x x   3 21 1 1dx 1 dx 1 1 x x x x x                    2 3 21 1 11 dx ln 1 1 3 2 d x x x x x x x c x             2.   1 4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx 4 x x x x                  3 5 31 2 2 2 2 1 1 2 2 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7 16 16 5 3 x x d x x x c                   3.       17 2 2 2 d 2d 1 2 5 2 2 5 xx I x x       1 10 arctg 510 x c        4.      x dx 1 2 1 1 1 1 2 2 ln ln 2 5ln 2 5ln 22 + 5 2 2 5 2 52 2 5 x x x x x xx x d d c               5.     5 3 2 3cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx 1 sin x dx x x dx x x x x x                 3 4 2 3 sin cos1 sin sin cos cos sin 3 4 x x x d x xd x x c        V.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI      1 x 1 x 2 x 3 x 4 J dx x x       ; 2 7x 3 J dx 2x 5    ; 2 3 3x 7x 5 J dx x 2       3 2 2 2 4 5 6 10 2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9 J dx ;J dx ; J dx x 1 2x 1 x 1                 Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 8     3 2 3 2 7 815 30 x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4 J dx ; J dx x 2 x 1                         dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 332 11 152 10 3100 9         2 432 4 55 9 12 13 14 47 x 3x 5 J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx 2x 1               9 3 15 16 17 4 2 2 105 x x x J dx ; J dx ; J dx x x 1 x x 12 3x                    18 19 202 2 2 2 dx dx dx J ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3                      21 22 232 2 2 2 2 2 xdx dx dx J ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3             ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x x x 24 25 26 27 xx x 1 0 0 0 dx e dx 1 e J ; J ; J e 1dx ; J dx 1 ee 1 e 1                 2 2 x x1 1 1 1x 28 29 30 31x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1 ee dx dx J ; J ; J ; J dx 1 e 1 e e e e               ln 2 ln 4 1 e3x 32 33 34 35x 3 x x x 0 0 0 1 dx dx e dx 1 ln x J ; J ; J ; J dx xe e 4e 1 e                 3 1 1 6 5 2 5 3 3 2 36 37 38 0 0 0 J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx          2 x1 1 1 1 2x x 39 40 41 42x x x x 0 0 0 0 2 1 dxdx dx J ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4              Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com