Lý thuyết ôn thi Hình học vào lớp 10

t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. 5 . Quan hÖ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m : * §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®­êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m . * §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cña mét ®­êng trßn, d©y cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n . 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá trong mét ®­êng trßn: a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr­¬ng hai cung b»ng nhau. * §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá trong mét ®­êng trßn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr­¬ng cung lín h¬n. KHI CHøNG MINH H×NH CÇN KHAI TH¸C GI¶ THIÕT Vµ PH¢N TÝCH §I L£N Tõ KÕT LUËN A.Khai th¸c gi¶ thiÕt -Khi chøng minh H×nh cÇn khai th¸c nh÷ng ®iÒu cã ®­îc tõ ®Çu bµi ,nh÷ng ®iÒu ®· chøng minh ®­îc.§Æc biÖt cÇn chó ý nh÷ng ®iÒu sau: I.NÕu cã ®iÓm thuéc ®­êng trßn th× nghÜ tíi 1, C¸c b¸n kÝnh b»ng nhau 2, Tø gi¸c néi tiÕp 3,C¸c gãc víi ®­êng trßn.§Æc biÖt nÕu cã ®­êng kÝnh th× sÏ cã gãc vu«ng II. NÕu cã Tø gi¸c néi tiÕp th× nghÜ tíi 1,C¸c gãc ®èi bï nhau 2, 4 cÆp gãc néi tiÕp b»ng nhau(nÕu nèi 2 ®­êng chÐo) 3, Gãc trong b»ng gãc ngoµi ë ®Ønh ®èi( Ph¶i chøng minh) 4, §iÓm thuéc ®­êng trßn III. NÕu cã TiÕp tuyÕn th× nghÜ tíi 1,C¸c tÝnh chÊt Vu«ng gãc , c¸ch ®Òu , ph©n gi¸c 2, Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung IV. Quan hÖ Gãc - Cung - D©y - Kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y V .NÕu cã tam gi¸c c©n, tam gi¸c ®Òu , h×nh b×nh hµnh , h×nh ch÷ nhËt , h×nh thoi, h×nh vu«ngth× nghÜ tíi TÝnh chÊt cña c¸c h×nh Êy VI.NÕu cã gãc vu«ng , tam gi¸c vu«ng th× nghÜ tíi ®Þnh lý Pi ta go vµ c¸c hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng VII.NÕu cã 2 ®­êng th¼ng song song th× nghÜ tíi §Þnh lý Ta LÐt vµ c¸c cÆp gãc So le trong , §ång vÞ VIII.NÕu cã ®­êng ph©n gi¸c , ®­êng trung tuyÕn , ®­êng cao , trung trùc cña tam gi¸c th× nghÜ tíi tÝnh chÊt cña chóng B.ph©n tÝch ®i lªn tõ kÕt luËn(Dùa vµo c¸c phÐp chøng minh) I - Chøng minh c¸c yÕu tè b»ng nhau. 1. Chøng minh hai gãc b»ng nhau. C1 Th­êng CM chóng lµ hai gãc t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng. C2/ NÕu lµ hai gãc trong 1 tam gi¸c th­êng CM chóng lµ hai gãc ë ®¸y cña tam gi¸c c©n. C3/ NÕu lµ hai gãc ®èi trong mét tø gi¸c ta th­êng CM tø gi¸c ®ã lµ h×nh b×nh hµnh. C4/ NÕu lµ hai gãc kÒ trong mét tø gi¸c th­êng CM tø gi¸c lµ h×nh thang c©n. C6/ NÕu lµ hai gãc So le trong hoÆc ®ång vÞ th­êng chøng minh hai ®­êng th¼ng song song. C7/ NÕu lµ hai gãc trong ®­êng trßn ta th­êng chuyÓn vÒ chøng minh cung , d©y t­¬ng øng b»ng nhau. C8/ Ngoµi ra ta cã thÓ sö dông: hai gãc cã cïng sè ®o (tÝnh cô thÓ), tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c, hai gãc ®èi ®Ønh, cÆp gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc hay song song, *Chó ý: NÕu kh«ng cm ®­îc trùc tiÕp. Ta nghÜ tíi viÖc sö dông gãc thø 3 lµm trung gian. (CM chóng cïng b»ng ,cïng bï,cïng phô víi 1gãc .Hay 2 gãc cïng b»ng tæng ,hiÖu cña 2 gãc b»ng nhau.) 2. Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau. C1/ Th«ng th­êng g¾n vµo hai c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. C2/ CM lµ hai c¹nh bªn cña mét tam gi¸c c©n hoÆc h×nh thang c©n. C3/ CM lµ hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (HCN, H×nh thoi, H×nh vu«ng). C4/Södông®Þnh nghÜa:Trung ®iÓm ®­êng trung tuyÕn, ®­êng trung trùc,b¸n kÝnh , tiÕp tuyÕn C5/ Sö dông ®Þnh lÝ thuËn ®¶o vÒ ®­êng trung b×nh trong tam gi¸c, h×nh thang. C6/ NÕu lµ 2 ®­êng chÐo trong 1 tø gi¸c th­êng CM tø gi¸c lµ H×nh thang c©n, HCN, HV. C7/ NÕu lµ 2 d©y cung trong 1 ®­êng trßn th­êng chuyÓn vÒ d©y , gãc , kc ®Õn t©m t­¬ng øng. *Chó ý: Ngoµi ra ta cã thÓ chøng minh b»ng c¸ch: + BiÕn ®æi ®¹i sè trªn ®o¹n th¼ng b»ng nhau. + Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cã cïng sè ®o. + Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu hay CM ph¶n chøng. II-Chøng minh 2 ®­êng th¼ng song song, 2 ®­êng th¼ng vu«ng gãc 1. Chøng minh hai ®­êng th¼ng song song. C1/CM cïng song song hoÆc cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng thø ba. C2/ CM 1 cÆp gãc So le trong hoÆc ®ång vÞ b»ng nhau , hoÆc 1 cÆp Trong cïng phÝa bï nhau. C3/ NÕu lµ 2 c¹nh trong 1 tø gi¸c th­êng CM tø gi¸c lµ H×nh b×nh hµnh C4/ NÕu cã c¸c ®o¹n th¼ng tØ lÖ: ta sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ TalÐt. C5/ NÕu cã nhiÒu trung ®iÓm th­êng dïng ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c , h×nh thang. 2. Chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc. C1/ Cm chóng lµ 2 tia ph©n gi¸c cña 2 gãc kÒ bï hay hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹o ra gãc b»ng 900. C2/ Sö dông tÝnh chÊt ®ång qui cña ba ®­êng cao trong tam gi¸c. Sö dông tÝnh chÊt ®­êng cao øng víi c¹nh ®¸y trong tam gi¸c c©n hoÆc ®­êng trung trùc. C3/ Sö dông tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn. §­êng kÝnh cña ®­êng trßn ®i qua trung ®iÓm cña d©y cung hay tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn. C4/ NÕu cã ®é dµi: Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Pytago. C5/ NÕu lµ 2 ®­êng chÐo trong 1 tø gi¸c th­êng chøng minh tø gi¸c lµ h×nh thoi C6/ Chøng minh ®­êng th¼ng nµy vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng song song víi ®­êng kia hoÆc song song víi ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ®­êng kia. III - chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng, ba ®­êng th¼ng ®ång qui. 1. Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng: ( Cïng thuéc mét ®­êng th¼ng ) CÇn chøng minh ba ®iÓm: A, B, C th¼ng hµng : C1/ AB + BC = AC (hoÆc AC + CB = AB, BA + AC = BC). C2/ Chøng minh gãc ABC = 1800. C3/ CM: AB, AC cïng song song víi mét ®­êng th¼ng ( Sö dông tiªn ®Ò ¥clit).HoÆc cïng vu«ng gãc víi 1 ®­êng th¼ng. C4/ Dïng tÝnh chÊt: Trung ®iÓm 1 ®­êng chÐo vµ 2 ®Çu ®­êng chÐo kia trong h×nh b×nh hµnh th¼ng hµng. §­êng kÝnh ®i qua t©m. 2. Chøng minh ba ®­êng th¼ng ®ång qui. C1/ Chøng minh ®­êng th¼ng thø ba ®i qua giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng kia. C2/ Sö dông tÝnh chÊt c¸c ®­êng th¼ng ®ång qui trong mét tam gi¸c: 3 ®­êng cao ®ång qui, 3 ®­êng trung tuyÕn ®ång qui, 3 ®­êng ph©n gi¸c ®ång qui, 3 ®­êng trung trùc ®ång qui. C3/ Dïng tÝnh chÊt : C¸c ®­êng kÝnh ®ång quy t¹i t©m .C¸c ®­êng chÐo cña nh÷ng h×nh b×nh hµnh cã chung 1 ®­êng chÐo ®ång quy. C4/ §­a vÒ chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng. IV - chøng minh c¸c h×nh c¬ b¶n. 1. Chøng minh tam gi¸c c©n. C1/ CM tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau. C2/ CM tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau. C3/ CM tam gi¸c cã mét ®­êng ®i qua ®Ønh ®ång thêi lµ mét ®­êng kh¸c cña tam gi¸c. 2. Chøng minh tam gi¸c ®Òu. C1/ CM tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau. C2/ CM tam gi¸c cã hai gãc b»ng 600.hoÆc 3 gãc b»ng nhau. C3/ CM tam gi¸c c©n cã mét gãc b»ng 600.hoÆc c¹nh bªn b»ng c¹nh ®¸y. 3. Chøng minh tam gi¸c vu«ng. C1/ Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Pytago (nÕu cã ®é dµi). C2/ CM tam gi¸c cã mét gãc b»ng 900. C3/ CM tam gi¸c cã ®­êng trung tuyÕn b»ng 1/2 c¹nh t­¬ng øng. 4. Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng ®Æc biÖt. §Ó chøng minh mét ®­êng th¼ng lµ: §­êng cao, ®­êng ph©n gi¸c, ®­êng trung tuyÕn, ®­êng trung trùc, ®­êng trung b×nh, trong mét tam gi¸c. Ta chøng minh: C1/ Sö dông tÝnh chÊt ®ång qui cña c¸c ®­êng nµy trong mét tam gi¸c. C2/ Sö dông chÝnh tÝnh chÊt cña c¸c ®­êng Êy: VÝ dô: + §iÓm c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc th× thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc Êy. + §iÓm c¸ch ®Òu hai ®Çu mót cña ®o¹n th¼ng th× thuéc ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy. Iv - Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn C1/ CM bèn ®Ønh cïng c¸ch ®Òu mét ®iÓm nµo ®ã (gäi lµ t©m ®­êng trßn). C2/ CM tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800. C3/ Tõ hai ®Ønh liªn tiÕp cïng nh×n c¹nh t¹o bëi hai ®Ønh cßn l¹i d­íi hai gãc b»ng nhau. C4/ CM tø gi¸c cã tæng c¸c gãc ®èi b»ng nhau C5/Cm gãc trong b»ng gãc ngoµi ë ®Ønh ®èi. C6/CM tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt hoÆc h×nh thang c©n. C7/ Chøng minh 2 ®iÓm thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh lµ ®o¹n th¼ng nèi 2 ®iÓm cßn l¹i. Chó ý: NÕu CM 5 ®iÓm trë lªn cïng thuéc mét ®­êng trßn. Ta chän ba ®iÓm cè ®Þnh råi chon ®iÓm thø 4, sau ®ã CM 4 ®iÓm nµy cïng thuéc mét ®­êng trßn. Sau ®ã CM t­¬ng tù víi c¸c ®iÓm cßn l¹i. VI-chøng minh hÖ thøc , tØ lÖ thøc C1/ G¾n vµo 2 tam gi¸c ®ång d¹ng. C2/ NÕu cã ®­êng th¼ng song song th­êng dïng ®Þnh lý Ta LÐt. C3/NÕu cã gãc vu«ng th­êng dïng hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng C4/ NÕu cã ph©n gi¸c th­êng dïng tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c Chó ý: NÕu kh«ng chøng minh ®­îc trùc tiÕp th× dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu. VII-Chøng minh mét ®­êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn. C1/ Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i ®Çu thuéc ®­êng trßn. C2/ Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®­êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh. VIII-c¸c tr­êng hîp b»ng nhau vµ ®ång d¹ng cña 2 tam gi¸c. A)B»ng nhau: c. c. c ; c. g.c ; g.c.g B)§ång d¹ng : g. g ; c.c.c ; c.g.c IX-Khi gi¶i bµi tËp tÝnh to¸n cÇn ghi nhí 1.C«ng thøc tÝnh chu vi vµ diÖn tÝch c¸c h×nh 2.DiÖn tÝch tam gi¸c ®Òu 3.HÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng ( c¶ ®Þnh lý Pi- ta – go) vµ tØ sè l­îng gi¸c cña gãc nhän. X-Khi gi¶i bµi to¸n quü tÝch (Th­êng cho d­íi d¹ng “Khi mét ®iÓm chuyÓn ®éng th× ®iÓm ®ã di chuyÓn trªn ®­êng nµo hoÆc chøng minh ®iÓm ®ã di chuyÓn trªn mét ®­êng trßn, cung trßn, hay ®­êng th¼ng cè ®Þnh”) cÇn xÐt xem ®iÓm ®ã cã mét trong c¸c tÝnh chÊt sau: (Quü tÝch c¬ b¶n h×nh häc) Nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh mét gãc vu«ng lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh C¸ch mét ®iÓm cè ®Þnh mét kho¶ng kh«ng ®æi lµ ®­êng trßn t©m Nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh mét gãc kh«ng ®æi lµ cung chøa gãc C¸ch ®­êng th¼ng cè ®Þnh mét kho¶ng kh«ng ®æi lµ ®­êng th¼ng song song ( hoÆc vu«ng gãc) C¸ch ®Òu 2 ®iÓm cè ®Þnh lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng C¸ch ®Òu 2 c¹nh mét gãc cè ®Þnh lµ tia phËn gi¸c cu¶ gãc Chó ý : Quü tÝch ( cßn gäi lµ tËp hîp) ph¶i g¾n víi yÕu tè cè ®Þnh XI-Khi gi¶i bµi to¸n gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá nhÊt (bµi to¸n cùc trÞ)trong h×nh häc cÇn ghi nhí: 1.Trong tam gi¸c vu«ng c¹nh huyÒn lín h¬n c¹nh gãc vu«ng 2.Trong h×nh thang vu«ng c¹nh xiªn lín h¬n c¹nh vu«ng Kết quả: -Với tam giác đều cạnh là a, ta có: + ®­êng cao: + DiÖn tÝch: - B¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®Òu c¹nh a lµ: R= - B¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®Òu c¹nh a lµ: - H×nh vu«ng c¹nh a, cã ®é dµi ®­êng chÐo: - B¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng c¹nh a lµ: - B¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp h×nh vu«ng c¹nh a lµ: Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn co thÓ tÝnh ra ®­îc chu, diÖn tÝch cña ®­êng trßn néi tiÕp, ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cua tam gi¸c ®Òu, cña h×nh vu«ng.