Hình học giải tích - Chuyên đề: Tọa độ phẳng

CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: Cho a = ( , = ta có: G bG ) G G G G )1 2a , a ( 1 2b , b a = G b G ⇔ 1 2 1 2 a = b a = b ⎧⎨⎩ a + = ( , ) b 1 1a + b 2 2a + b a – = ( , ) b 1 1a - b 2 2a - b ka = (k , k ) (k G 1a 2a ∈ R) α + = ( + aG β bG α 1a β 1b , α 2a + β 2b ) a . = + G G b 1a 1b 2a 2b . Với các quan hệ về độ dài ta có: a = ( , ) G 1a 2a ⇒ aG = 2 21 2a + a ( ) ( ) A A B B A x , y B x , y ⎧⎪⎨⎪⎩ ⇒ ABJJJG = ( – , – ) Bx Ax By Ay và AB = ( ) ( )2 2B A B Ax - x y - y+ . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: a + = 0 G G G G ⊥ b ⇔ 1a 1b 2a 2b cùng phương a b ⇔ GGsin(a, b) = 0 ⇔ – = 0 1a 2b 2a 1b ⇔ 1 1 a b = 2 2 a b ( , 1b 2b ≠ 0) A, B, C thẳng hàng ⇔ ABJJJG cùng phương ACJJJG ⇔ B A B A C A C A x - x y - y x - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ aG , b G được suy từ công thức: cos(na, b GG ) = 1 1 22a b + a b a . b GG (1) - Số đo góc định hướng của hai vectơ aG , b G ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: GGsin(a, b) = 1 2 1GG 2 a b - a b a . b GGtg(a, b) = 1 2 1 1 1 2 2 2 a b - a b a b + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB Mx My ⇔ 2 2 A B M A B M x + xx = y + yy = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ . G( , ) là trọng tâm của Gx Gy Δ ABC ⇔ 3 3 ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ A B G A B G x + x + xx = y + y + yy = C C . I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ABC thì: Ix Iy Jx Jy Δ IB IC JJG JJG = − JJJGJB JC JJJG = − AB AC . Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là: Ax Ay Bx By Cx Cy S = 1 2 Δ với Δ = B A B A C A C A x - x y - y x - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3AM JJJJG BM JJJJG - 4 CM JJJJG = 0 G c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δ e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B B là trung điểm của AD ⇔ ⇔ A D B A D B x + xx = 2 y + yy = 2 ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ hay D(–2, 7) ⇔ ( )( ) − −⎧⎪⎨ −⎪⎩ D B A D B A x = 2x x = 2 0 2 = 2 y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 − JJJJG JJJJG b) Ta có: 2 + 3 BM – 4 CMAM JJJJG = 0 G = ( 0, 0 ) ⇔ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) − − − −⎧⎪⎨ − − −⎪⎩ M M M M M M 2 x 2 + 3 x 0 4 x 4 = 0 2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ hay M(–12, –1) −⎧⎨ −⎩ M M x = 12 y = 1 c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ Ey = 0 CE ⎧⎪⎨ ΑΒ⎪⎩ JJJG JJJG // ⇔ E E E y = 0 x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1 ⎧⎪⎨⎪⎩ ⇔ hay E(5, 0) E E y = 0 x = 5 ⎧⎨⎩ d) H là trực tâm của ABC Δ ⇔ AH BC BH AC ⊥⎧⎨ ⊥⎩ ⇔ AH.BC = 0 BH.AC = 0 ⎧⎪⎨⎪⎩ JJJJG JJJG JJJJGJJJG ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 2 4 2 3 2 1 0 − − + + − =⎧⎪⎨ − − + − + =⎪⎩ H H H H x 2 0 y x 0 y 3 0 2 3 9 H H H H x y x y − − =⎧⎨ + − =⎩ ⇔ 4 9 0 0 ⇔ 18 7 9 7 H H x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ hay H 18 7 9, 7 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ G là trọng tâm ABC ta có: Δ 2 0 4 2 3 3 1 3 2 4 3 3 A B C G A B C G x x xx y y yy + + + +⎧ = =⎪⎪⎨ + + − + +⎪ = =⎪⎩ 3 = = hay G 42 3 ,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ 2 2 2 2 IA IB IA IC ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ ⇔ ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 0 3 2 1 4 2 I I I I I I x y x x y x ⎧ − + − − = − + −⎪⎨ − + − − = − + −⎪⎩ ) ) 2 2 I I y y 0 0 ⇔ 4 8 4 4 6 15 I I I I x y x y − + − =⎧⎨ + − =⎩ ⇔ 24 12 14 7 19 14 I I x y ⎧ = =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ hay I 12 19 7 14 ,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ e) Ta có : = HG JJJJG 4 1 7 21 ,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ và HI JJJG = 6 1 7 14 ,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇒ 4 7 6 7 − − = 1 21 1 14 = 2 3 ⇒ cùng phương với HGJJJJG HIJJJG ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính cos ( AO JJJG , AB JJJG ) và diện tích tam giác ABC. Giải Ta có: AO JJJG = (–2, –2 3 ), AB JJJG = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) cos( AO JJJG , AB JJJG ) = 2 6 4 12 1 3. − + + = 1 2 − JJJG AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) ⇒ 1 2 2 112= −ABCS a b a b = 1 1 3 3 3 2 − − − −( )( ) ( ) = 2 3 * * *