Hình học giải tích - Chuyên đề: Hình cầu

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = 2 2 2a b c d+ + − nếu ta có điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0 3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng cách từ I đến (P) bằng bán kính R. Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d) 5 4 3 20 3 4 8 0 x y z x y z − + + =⎧⎨ − + − =⎩ 0 tại hai điểm A và B sao cho AB = 16 Giải Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d). Ta có phương trình tham số đường (d) là 14 1 2 2 2 x t y t z t = −⎧⎪⎪ = −⎨⎪ = −⎪⎩ 5 Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là aG = 11, , 1 2 ⎛ −⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ . Vậy phương trình (P) viết (x – 2) + 1 2 (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0 Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ ( t – 14, 1 2 t – 25 2 , –t ) thỏa phương trình (P). Vậy ta có 1 2(t – 14) + ( 1 2 t – 25 2 ) +2t – 9 = 0 Suy ra t = 11. Vậy ta có K (–3, –7, –11). Khoảng cách từ I đến (d) là IK = 25 100 100+ + = 15 Do đó bán kính mặt cầu là R = 2 2 4 ABIK + = 225 64+ Nên phương trình mặt cầu viết là : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) 2 4 7 0 4 5 14 0 x y z x y z + − − =⎧⎨ + + − =⎩ và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0 Giải Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P). Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ A(2, 1, 1) 2 4 7 0 4 5 14 2 2 2 0 x y z x y z x y z + − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − − =⎩ 0 0 ⇒ Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ B(–4, 5, 5) 2 4 7 0 4 5 14 2 2 4 0 x y z x y z x y z + − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − + =⎩ ⇒ Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1 Nên phương trình mặt cầu viết thành (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1. Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). Giải 2 Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta có: ⇔ + + = −⎧⎪ + = −⎪⎨ + + + = −⎪⎪ + + = −⎩ 4a 2c d 5 2a d 1 2a 2b 2c d 3 a b c 2 = −⎧⎪ =⎪⎨ = −⎪⎪ =⎩ a 1 b 0 c 1 d 1 ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu Giả thiết cho: 2 2IA IB IC I (P) ⎧ = =⎪⎨ ∈⎪⎩ 2 2 ⇔ ⎧ − + + − = − + +⎪⎪ − + + = − + − + −⎨⎪ + + − =⎪⎩ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x 2) y (z 1) (x 1) y z (x 1) y z (x 1) (y 1) (z 1) x y z 2 0 ⇔ ⇔ ⇒ I (1; 0; 1) + − =⎧⎪ + =⎨⎪ + + − =⎩ 2x 2z 4 0 y z 1 x y z 2 0 x 1 y 0 z 1 =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ Bán kính R = IB = 1 Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng d : và mặt cầu ⎩⎨ ⎧ =−−+ =+−− 04z2y2x 01zy2x2 (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9. Giải Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m ĐK : m < 13 (S) có tâm I(−2; 3; 0), R = 13 m− . Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = 9 2 (IH ⊥ MN) (d) cho x = 0 ⇒ ⇒2y z 1 0 2y 2z 4 0 − − + =⎧⎨ − − =⎩ y 1 z 1 =⎧⎨ = −⎩ ⇒ A(0; 1; −1) (d) có ⇒ = 3(2; 1; 2) 1 2 n (2, 2, 1) n (1, 2, 2) → → ⎡ = − −⎢⎢ = −⎢⎣ a → AI ⎯→ = (−2; 2; 1), [ AI⎯→ , ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) a→ IH = d(I, d) = ⎯→ → → ⏐ ⏐ + += =+ +⏐ ⏐ [ AI ,a ] 9 1 4 4 3 3 4 1 4a . Δ vuông IHN ta có : IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 + 81 117 4 4 = 3 ⇔ m = 65 4 − . Ví dụ 5 ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9 Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = 3. Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R ⇔ 1443m3m122 2 ++=−−+− ⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN) ⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0 Phương trình đường thẳng Δ qua I và ⊥ (P) : x 1 2t y 1 2 z 1 t = +⎧⎪Δ = − +⎨⎪ = +⎩ t Thế vào phương trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ Tiếp điểm M của P và (S) là M(3; 1; 2). Cách khác IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1 ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2) PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN ( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN ) 4